数值分析学期期末考试试题与答案AWord文档下载推荐.docx
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2分,共36
分)
已知数a的有效数为
0.01,则它的绝对误差限为
________,相对误差限为_________.
设A0
x
5,则A1_____,x
2______,Ax
_____.
已知f(x)
2x5
4x3
5x,则f[
1,1,0]
f[
3,2,
1,1,2,3]
.
为使求积公式
f(x)dx
A1f(
3)A2f(0)A3f(
3)的代数精度尽量高,应使
A1
,A2
,A3
,此时公式具有
次的代数精度。
5.
n阶方阵A的谱半径
(A)与它的任意一种范数
A的关系是
6.
用迭代法解线性方程组
AX
B时,使迭代公式
X(k1)
MX(k)
N(k
0,1,2,
)产
生的向量序列
X(k)
收敛的充分必要条件是
7.
使用消元法解线性方程组
AXB时,系数矩阵
A可以分解为下三角矩阵
L和上三角矩
1/13
阵U的乘积,即A
LU.若采用高斯消元法解
B,其中A
,则
L_______________
,U
______________
;
若使用克劳特消元法解
B,则
u11
____;
若使用平方根方法解AX
B,则l11与u11
的大小关系为_____(选填:
>
,
<
,=,不一定)。
8.
以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题
y
x
y(0)
的数值解,其迭代公式为
___________________________.
三、计算题(第1~3、6小题每题
8分,第4、5小题每题
7分,共46
以x0
2为初值用牛顿迭代法求方程
f(x)x3
3x
0在区间(1,2)
内的根,要求
(1)
证明用牛顿法解此方程是收敛的;
(2)
给出用牛顿法解此方程的迭代公式,并求出这个根(只需计算
x1,x2,
计算结果
取到小数点后
4位)。
2/13
2.给定线性方程组
x10.4x2
0.4x3
0.4x1
x2
0.8x3
0.8x2x3
(1)分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式;
(2)试分析以上两种迭代方法的敛散性。
3.已知函数yf(x)在如下节点处的函数值
-1
(1)
建立以上数据的差分表;
(2)
根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式
P2(x),并计算
y(1.1)的近似值;
(3)
采用事后估计法计算(
2)中近似值的截断误差(结果保留四位小数)
。
3/13
4.已知如下数据表,试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。
4/13
5.已知函数y
f(x)在以下节点处的函数值,利用差商表求
f(3)和f
(3)的近似值。
8
6.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式,并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解下列常微分方程的数值解。
yx2y2
(0x1,h0.2)
y(0)0
5/13
四、(8分)已知n+1个数据点(xi,yi)(i0,1,2,
n),请用多种方法建立这些数据点之间
的函数关系,并说明各种函数的适用条件。
6/13
期末考试答案及评分标准(A卷)
数值分析
一、判断题:
(每小题
2分,共
10分)
×
√
3.×
二、填空题:
(每空2
分,共36
0.005
10
0.5
或0.5
5,
26,15
0,2
1,0,1,3
(A)
A
(M)
1,
yn
xn
y)
(1
y)y
1.5xn2.5yn
0.5,n0,1,2,
n或
三、解答题(第
1~4小题每题
8分,第5、6小题每题
7分,共
46分)
1.
(1)证明:
f(x)x33x1,由于
a)
f
(1)
0,f
(2)
0,
b)
f(x)
3x2
30
(x(1,2)),
c)
6x
(x
(1,2)),即f
(x)在(1,2)上不变号,
d)对于初值x02,满足f
(2)f
(2)0,
所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)解:
牛顿迭代法的迭代公式为
7/13
xn1
f(xn)
xn3
3xn1
3xn2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
取初值x02进行迭代,得
x11.8889,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
x21.8795.
2.解:
(1)Jacobi迭代公式为
x1(k1)
0.4x2(k)
0.4x3(k)
x2(k1)
0.4x1(k)
0.8x3(k)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
x3(k1)
0.8x2(k)
Gauss-Seidel迭代公式为
x1(k1)
0.4x2(k)
0.4x1(k1)
0.8x3(k)
0.8x2(k1)
0.4
(2
)Jacobi
迭代矩阵的特征方程为
.4
0.8
,展开得
0.96
0.256
0,即(
0.8)(
0.40.505)(
0.4
0.505)
0,
从而得1
-1.0928,
20.8000,
0.2928,(或由单调性易判断必有一个大于
的特征根,)因此迭代矩阵的谱半径等于必大于
1,所以Jacobi迭代法发散。
Gauss-Seidel
0.8
0.832
0.128)0,解得
0,2
0.628,30.204,迭代矩阵的谱半径
小于1,所以Gauss-Seidel迭代法收敛。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
3.解:
(1)建立差分表
8/13
2y
3y
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(2)建立牛顿后插公式为
P2(x)0
(x2)
(x2)(x1)
1!
2!
3(x2)(x2)(x1)
则所求近似值为
P2(1.1)
2.79
3分
(3)根据前三个节点建立牛顿后插公式为
P2
(1)(x)3
1(x1)
4(x1)x
2!
1)
2x(x1)
2x2
则
P2
(1)(1.1)2.68
根据事后误差估计法
R2(x)
2P2(0.9)P2
(1)(0.9)
故截断误差
R2(1.1)
0.9
(2.792.68)0.0471
2.1
4.解:
设所求二次最小平方逼近多项式为P2(x)a0a1xa2x2.根据已知数据,得
a0
A
a1
M
Y
a2
9/13
MM2
MY
18
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
建立法方程组为
解得
a03.5,a11.5,a21.5.
从而得所求一次最小平方逼近多项式为P1(x)3.51.5x1.5x2.
5.解:
设P2(x)为已知节点数据的插值二次多项式。
构造如下差商表:
一阶差商
二阶差商
7
P2[3,3]
P2[4,3,3]
P2(3)
P2[3,3,3]
因为二次多项式的二阶差商为常数,又
P2(x)是f(x)的插值函数,故有
P2
[4,3,3]
[3,3,3]
而
P2[4,3,3]
P2[3,3]7
5,
因此得
10/13
9
P2[3,3],
由于
f(k)(x)k!
Pn[x,x,x,,x],
k1
从而得
f(3)P2[3,3]
9,
f(3)2!
P2[3,3,3]5.
6.解:
前进欧拉公式:
yn1
h
f(xn,yn)yn
0.2xn2
0.2yn2
⋯⋯⋯⋯1分
后退欧拉公式:
yn1
f(xn1,yn
0.2yn2
1⋯⋯1分
预估时采用欧拉公式
yn*
1分
校正时采用后退欧拉公式
0.2xn21
0.2yn*
由初值
知,节点分别为
xi
0.2i,(i1,2,3,4,5)
0,h0.2
x00,y0
当x10.2,
y1*
y0
0.2x02
0.2y02
y1
0.2x120.2
0.008,
当x20.4,
y*2y10.2x120.2y120.0160,
11/13
y2y10.2x22
0.2y2*
0.0401.
当x30.6,
y3*
y2
0.2x22
0.2y22
0.0724,
0.2x32
0.2y3*
y3
0.1131.
当x40.8,
y4*
0.2x32
0.2y32
0.1877,
0.2x42
0.2y4*
y4
0.2481.
当x51.0,
y5*
0.2x42
0.2y42
0.3884,
y5
*
0.2x5
0.2y5
0.4783.
四、(8分)
答:
1、可以建立插值函数:
(1)Newton基本差商公式
Pn(x)f(x0)(xx0)f[x1,x0](xx0)(xx1)f[x2,x1,x0](xx0)(xx1)(xxn1)f[xn,,x1,x0]
(2)Lagrange插值多项式
Ln(x)a0f(x0)a1f(x1)
aif(xi)
anf(xn)
其中ai
(xx0)(xxi
1)(xxi1)(xxn)
0,1,,n).
(xix0)(xi
(i
1)(xixi1)(xixn)
这两类插值函数的适用条件是:
n不太大;
而且要求函数严格通过已知数据点。
2、可以建立拟合函数:
12/13
Pm(x)a0a1xa2x2amxm
其中系数a0,a1,a2,
an满足法方程组MMA
MY,
x0
x02
x0m
f(x0)
x1
x12
x1m
f(x1)
xn2
xnm
am
拟合函数的适用条件是:
n比较大,而且并不要求函数严格通过已知数据点,或者已知数据点本身的误差较大。
13/13
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- 数值 分析 学期 期末考试 试题 答案
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