浙教版八年级竞赛培优训练第26讲 正方形文档格式.docx
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A.(-
,1)B.(-1,
)
C.(
,1)D.(-
,-1)
7.如图8-26-6,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG,CF.则下列结论:
①△ABG≌△AFG;
②BG=CG;
③AG∥CF;
④S△EGC=S△AFE;
⑤∠AGB+∠AED=145°
.
其中正确的个数是( )
图8-26-6
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如图8-26-7,将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )
图8-26-7
A.n B.n-1
D.
n
9.如图8-26-8,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上.下列结论:
①CE=CF;
②∠AEB=75°
;
③BE+DF=EF;
④S正方形ABCD=2+
.其中正确的序号是____(把你认为正确的都填上).
图8-26-8
10.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图8-26-9放置,连DE,BH,两线交于M.
求证:
(1)BH=DE;
(2)BH⊥DE.
图8-26-9
11.如图8-26-10①,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的点,且AF⊥BE.
(1)求证:
AF=BE;
(2)如图8-26-10②,在正方形ABCD中,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?
请说明理由.
图8-26-10
12.如图8-26-11①,正方形ABCD的边AB,AD分别在等腰直角△AEF的腰AE,AF上,点C在△AEF内,则有DF=BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°
<α<90°
)后,连结BE,DF.请在图8-26-11②中用实线补全图形,这时DF=BE还成立吗?
图8-26-11
13.
(1)如图8-26-12①,已知△ABC,以AB,AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE.连结BE,CD.请你完成图形,并证明:
BE=CD;
(尺规作图,不写做法,保留作图痕迹)
图8-26-12
(2)如图8-26-12②,已知△ABC,以AB,AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE.连结BE,CD.BE与CD有什么数量关系?
简单说明理由;
(3)运用
(1)
(2)解答中积累的经验和知识,完成下题:
如图8-26-12③,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°
,∠CAE=90°
,AB=BC=100m,AC=AE,求BE的长.
【思维升华】
14.如图8-26-13,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连结BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,若AP=CQ=2,则正方形ABCD的面积为( )
图8-26-13
A.6+4
B.16
C.12+8
D.32
15.如图8-26-14,四边形ABHK是边长为6的正方形,点C,D在边AB上,且AC=DB=1,点P是线段CD上的动点,分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP,E,F分别为MN,QR的中点,连结EF,设EF的中点为G,则当点P从点C运动到点D时,点G移动的路径长为( )
图8-26-14
A.1 B.2 C.3 D.6
16.如图8-26-15,已知正方形ABCD的边长为4,M点为CD边上的中点,若M点是A点关于线段EF的对称点,则
等于
( )
图8-26-15
A.
B.
C.2D.
17.如图8-26-16,已知正方形ABCD中,点M在边CD上,且DM=3,MC=1,把线段AM绕点A顺时针旋转,使点M落在BC所在的直线上的点N处,则N,C两点的距离为____.
图8-26-16 第17题答图
18.如图8-26-17,已知四边形ABCD为正方形,△AEP为等腰直角三角形,∠EAP=90°
,且D,P,E三点共线,若EA=AP=1,PB=
,则DP=____.
图8-26-17
19.如图8-26-18,四边形ABCD是正方形,∠1=∠2=∠3.
(1)∠1=30°
,DG=
,求正方形ABCD的边长;
(2)求证:
AG-GF=GE.
图8-26-18
,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是( B )
2.如图8-26-1,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为( C )
3.如图8-26-2,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是( B )
【解析】如答图,连结AC,CF,
第3题答图
∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,
∴AC=
,CF=3
,
∠ACD=∠GCF=45°
∴∠ACF=90°
由勾股定理得,
AF=
=
=2
∵H是AF的中点,
∴CH=
×
2
4.如图8-26-3,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为__6__.
证明:
在正方形ABCD中,BC=DC,∠PCB=∠PCD,
又∵PC=PC,
∴△PCB≌△PCD(SAS),∠PBC=∠PDC.
∵PB=PE,
∴∠PBC=∠PEC.
∴∠PDC=∠PEC.
),则点C的坐标为( A )
其中正确的个数是( C )
【解析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG;
在直角△ECG中,根据勾股定理可证BG=GC;
通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,由平行线的判定可得AG∥CF;
分别求出S△EGC与S△AFE的面积比较即可;
求得∠GAE=45°
,∠AGB+∠AED=180°
-∠GAE=135°
8.如图8-26-7,将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放,点A1,A2,…,An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是( B )
【解析】由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的
,即
4=1,
5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×
4,n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×
(n-1)=n-1.
.其中正确的序号是__①②④__(把你认为正确的都填上).
(1)∵四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形,
第10题答图
∴CB=CD,CE=CH,∠BCD=∠ECH=90°
∴∠BCH=90°
+∠DCH,∠DCE=90°
+∠DCH.
∴∠BCH=∠DCE.
在△BCH和△DCE中,
∵CB=CD,∠BCH=∠DCE,CH=CE,
∴△BCH≌△DCE(SAS).
∴BH=DE.
(2)如答图,连结BD.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBC+∠BDC=90°
∵△BCH≌△DCE,
∴∠CBH=∠CDE.
∴∠DBM+∠BDM=∠DBM+∠CDE+∠BDC
=∠DBM+∠CBH+∠BDC=∠DBC+∠BDC=90°
∴∠BMD=180°
-(∠DBM+∠BDM)=180°
-90°
=90°
∴BH⊥DE.
解:
(1)证明:
如答图①,设AF与BE交于点G,
∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°
∴∠FAD+∠AFD=90°
∵AF⊥BE,
第11题答图①
∴∠AGE=90°
∴∠FAD+∠AEG=90°
∴∠AFD=∠AEG.
∴△DAF≌△ABE.
∴AF=BE.
(2)如答图②,过点A作AF∥MP交CD于点F,过点B作BE∥NQ交AD于E.得到▱BEQN和▱AFPM,
∴AF=MP,BE=NQ,
由
(1)得AF=BE,
第11题答图②
∴MP=NQ.
补全图形如答图所示.DF=BE还成立.
第12题答图
理由:
∵四边形ABCD是正方形,△AEF是等腰直角三角形,∴AD=AB,AF=AE,∠FAE=∠DAB=90°
∴∠FAD=∠EAB.
在△ADF和△ABE中,
∴△ADF≌△ABE(SAS).
∴DF=BE.
(1)如答图①,完成作图,字母标注正确.
∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°
第13题答图①
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠CAD=∠EAB.
∴△CAD≌△EAB.
∴BE=CD.
(2)BE=CD.
理由同
(1):
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形,
∴AD=AB,AC=AE,
∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠EAB,
(3)由
(1),
(2)的解题经验可知,如答图②,过AB作等腰直角三角形ABD,∠BAD=90°
,则AD=AB=100m,∠ABD=45°
.∴BD=100
m.连结CD,则由
(2)可知BE=CD.
∵∠ABC=45°
在Rt△DBC中,BC=100m,BD=100
m.
∴CD=
=100
(m).
∴BE的长为100
14.如图8-26-13,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连结BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,若AP=CQ=2,则正方形ABCD的面积为( C )
图8-26-13 第14题答图
【解析】如答图,过P分别作PE,PF,PG垂直于AB,CD,AD,垂足分别为E,F,G.易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP,所以FQ=FD=EP=
,因此正方形ABCD的边长为2+2
,所以面积为(2+2
)2=12+8
15.如图8-26-14,四边形ABHK是边长为6的正方形,点C,D在边AB上,且AC=DB=1,点P是线段CD上的动点,分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP,E,F分别为MN,QR的中点,连结EF,设EF的中点为G,则当点P从点C运动到点D时,点G移动的路径长为( B )
【解析】如答图,设KH中点为S,连结PE,ES,SF,PF,PS,可证明四边形PESF为平行四边形,
第15题答图
∴G为PS的中点,即在点P运动过程中,G始终为PS的中点,所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,
∵CD=AB-AC-BD=6-1-1=4,
∴点G移动的路径长为2.
( A )
图8-26-15第16题答图
【解析】如答图,连结EM,∵M,A关于EF对称,
∴EA=EM,设AE=x,则ED=4-x,EM=x,而DM=2,在直角△DEM中,由勾股定理得(4-x)2+22=x2,解得x=
.∴4-x=
,∴
17.如图8-26-16,已知正方形ABCD中,点M在边CD上,且DM=3,MC=1,把线段AM绕点A顺时针旋转,使点M落在BC所在的直线上的点N处,则N,C两点的距离为__1或7__.
【解析】如答图,把线段AM绕点A画弧,可见N,C两点的距离存在两种情况:
①点N在边BC上,②点N在边CB的延长线上;
可以证明△ADM≌△ABN≌△ABN′,所以有BN=BN′=DM=3,所以N,C两点的距离是1或7.
,则DP=__
__.
图8-26-17 第18题答图
【解析】如答图,连结BE,易证△AEB≌△APD,故PD=EB,∠APD=∠AEB.
∵△AEP为等腰直角三角形,∠EAP=90°
∴∠AEP=∠APE=45°
.∴∠APD=135°
故∠AEB=135°
∴∠PEB=∠AEB-∠AEP=135°
-45°
可求PE=
,再由勾股定理可求得BE=
,所以PD=
图8-26-18第19题答图
(1)在Rt△ADG中,
∠D=90°
,∠DAG=30°
所以AG=2
AD=
=3,即正方形ABCD的边长是3.
(2)如答图,延长FG,交BC的延长线于点M,过点M作AD的垂线,交AD的延长线于点N.
在Rt△ADG和Rt△MNF中,∠NMF=∠3=∠1=∠DAG,MN=BA=AD,
所以△ADG≌△MNF,AG=MF.
在Rt△MCG与Rt△ECG中,
∠MGC=∠3=∠2.
所以△MCG≌△ECG,GM=GE,
于是AG-GF=MF-GF
=GM=GE.
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