#用C语言求解N阶线性矩阵方程Axb的简单解法Word文件下载.docx

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外第j行以下的其他元素通过第二种初等行变换化为0，这样，就能使系数矩阵通过这样的行变换化为一个上三角矩阵，即

，

当系数矩阵A进行初等行变换时，常数矩阵也要进行对应的初等行变换，即此时 

那么有

接下来，进行“反代”，由 

可求出 

，再往上代入 

即可求出 

以此类推，即可从 

xn推到 

xn-1 

，再推到xn-2 

直至 

x1 

。

至此，未知矩阵x的所有元素就全部求出，即求出了原方程组有且仅有的唯一一组解。

基本原理示意图：

三、编写程序

1.#include<

stdio.h>

2.#include<

stdlib.h>

3.#include<

math.h>

4.#definedim10 

//定义最大的维数10，为防止计算值溢出

5.doublea[dim+1][dim+1],b[dim+1],x[dim+1];

//定义双精度数组

6.doubletemp;

7.doublegetarray（intn）;

//定义输入矩阵元素的函数

8.doubleshowarray（intn）;

//定义输出化简系数矩阵过程的函数

9.intn,i,j,k,p,q;

10.doublemain（）

11.{

12. 

13.printf（"

请输入系数矩阵的阶数n（n<

10）:

"

）;

14.scanf（"

%d"

&

n）;

15. 

/*判断矩阵阶数是否超过界定值*/

16. 

if（n>

dim）

17. 

{

18. 

printf（"

错误：

元数超过初设定的值%d，请重启程序重新输入\n"

dim）;

19. 

exit（0）;

20. 

}

21. 

/*输入系数矩阵和常数矩阵（即增广矩阵）的元素*/

22. 

getarray（n）;

23. 

24. 

/*使对角线上的主元素不为0*/

25. 

for（j=1;

j<

=n-1;

j++）

26. 

27. 

if（a[j][j]==0）

28. 

for（i=j+1;

i<

=n;

i++）

29. 

{

30. 

if（a[i][j]!

=0）

31. 

32. 

/*交换增广矩阵的第i行和第j行的所有元素*/

33. 

for（k=1;

k<

k++）

34. 

35. 

a[i][k]+=a[j][k];

36. 

a[j][k]=a[i][k]-a[j][k];

37. 

a[i][k]-=a[j][k];

38. 

}

39. 

b[i]+=b[j];

40. 

b[j]=b[i]-b[j];

41. 

b[i]-=b[j];

42. 

43. 

continue;

//找到第j列第一个不为0的元素即跳回第一层循环

44. 

45. 

46. 

/*开始用高斯简单迭代消元法进行求解计算*/

47. 

48. 

49. 

/*使系数矩阵转化为上三角矩阵，常数矩阵相应进行变换*/

50. 

51. 

52. 

temp=a[i][j]/a[j][j];

53. 

b[i]=b[i]-temp*b[j];

54. 

55. 

a[i][k]=a[i][k]-temp*a[j][k];

56. 

\n通过初等行变换增广矩阵矩阵C化为：

\n"

57. 

/*输出进行初等行变换的过程*/

58. 

C="

59. 

for（p=1;

p<

p++）

60. 

61. 

for（q=1;

q<

q++）

62. 

\t%.3f"

a[p][q]）;

63. 

printf（"

\t%.3f\n"

b[p]）;

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

/*输出最终的增广矩阵C*/

69. 

showarray（n）;

70. 

/*开始按顺序反代求解x[i]（i=n,n-1,n-2,…,2,1）*/

71. 

x[n]=b[n]/a[n][n];

72. 

for（j=n-1;

j>

=1;

j--）

73. 

74. 

x[j]=b[j];

75. 

for（k=n;

k>

=j+1;

k--）

76. 

x[j]=x[j]-x[k]*a[j][k];

77. 

x[j]=x[j]/a[j][j];

78. 

79. 

\n原方程组的唯一一组实数解为：

80. 

81. 

x[%d]=%.3f\n"

j,x[j]）;

82.}

83./*定义矩阵输入函数getarray（n）并打印以作检查*/

84.doublegetarray（intn）

85.{

86.printf（"

\n请输入该矩阵各行的实数（以空格隔开）\n"

87.for（i=1;

88. 

89.printf（"

\n第%d行:

\t"

i）;

90.for（j=1;

91. 

92. 

scanf（"

%lf"

a[i][j]）;

93. 

a[%d][%d]=%.3f"

i,j,a[i][j]）;

94. 

95. 

96. 

97. 

\nA="

98.for（i=1;

99. 

100.for（j=1;

101.printf（"

a[i][j]）;

102.printf（"

103. 

104. 

105. 

/*输入常数矩阵的各个数*/

106. 

for（i=1;

++i）

107. 

108. 

请输入常数b[%d]="

109. 

b[i]）;

110. 

111.}

112./*定义增广矩阵C输出函数showarray（n）*/

113.doubleshowarray（intn）

114.{

115.printf（"

\n通过初等行变换最终增广矩阵矩阵C化为：

116. 

117. 

118. 

119. 

for（j=1;

120. 

121. 

b[i]）;

122. 

123. 

124. 

temp=1;

125. 

126. 

temp*=a[i][i];

127. 

\n矩阵的行列式|A|=%f\n"

temp）;

128. 

/*判断原线性方程组是否有唯一解*/

129. 

if（temp==0）

130. 

131. 

\n该方程组无唯一解，请重新启动程序输入\n"

132. 

133. 

134.}

复制代码

程序执行结果：

四、误差分析

由程序执行结果图可知，该C语言程序所求得的该N阶矩阵方程即N维线性方程组的解为

由于程序中所有变量除了增广矩阵的角标以外都定义为double型，而double型变量的精确度是16位，所以程序运行过程中变量的有效数字至多有15位，而为了程序执行时界面的清爽，将每个变量的有效数字只取了小数点后3位，就运行的具体程序来说，这小数点的后三维数字均为有效数字，所以本程序的误差至多为0.001即小数点后三位。

而在该具体的5维线性方程组中，用克拉默法则计算出系数行列式 

|A|=665，其精确解为

所以各个解均在误差范围内。