北航数字信号处理上机实验一实验报告Word格式文档下载.docx
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在t轴上等间隔(宽度为T)分段,每一段用一个矩形脉冲代替,脉冲的幅度为其起始点的抽样值
,然后把所有矩形脉冲的面积相加。
该方法实际为平顶处理,利用采样和零阶保持器就可以完成,则有:
2、将序列
截断成从t=0开始长度为
的有限长序列,包含有N个采样,即时域加矩形窗,则上式又可以进一步近似为:
由于时域采样,采样频率为
,则频域产生以
为周期的周期延拓,如果是限带信号,则有可能不产生混叠,成为连续周期频谱序列,频域周期为
。
3、由于数值计算的限制,在频域上也只能计算离散点(频域抽样)上的数值。
我们将频域的一个周期
中也分成N段,即
每个频域采样点间的间隔为
则上式可以进一步化简为:
由此我们看到了DFT与CTFT之间的近似关系。
如果将T和
取得尽量小,则我们可以得到模拟信号的较精确的时频特性。
实验解答
一、低通采样
考虑以下模拟信号xa(t),xa(t)=cos(2*pi*f0*t)+2*cos(2*pi*10*f0*t),令f0=100Hz。
显然该信号的最高频率1kHz。
1.采样频率fs大于信号最高频率10f0的2倍是信号的恢复。
1)对信号以fs1=2.2kHz的频率进行采样,得到抽样信号x(n)=xa(t)|t=nT;
2)利用内插公式xr(t)=x(n)*[sin(pi*(t-n*Ts)/Ts)/(pi*(t-n*Ts)/Ts)]恢复出原始信号x^a(t);
3)绘出Δx(t)=xa(t)-x^a(t)的时域波形;
4)利用前面介绍的画频谱的方法画出xa(t)和x(n)的频谱,对应3)中的误差曲线和频谱图说明是否有新的频率分量产生,是何原因?
2.采样频率fs低于信号最高频率10f0的2倍是信号的恢复。
分别取fs=6*f0和fs=14*f0,重复1中的操作,注意观察时域波形和频谱的对应变化。
(一)、MATLAB源代码
clear;
f0=100;
Fs=3000;
Ts=1/Fs;
ts=0:
0.1;
X=xa(ts);
t=0:
Ts/10:
L=length(t);
Xa=xa(t);
Xr=zeros(1,L);
forn=1:
L
Xr(n)=xr(X,Ts,t(n));
end
subplot(6,1,1);
plot(t,Xa);
title('
原始信号'
);
subplot(6,1,2);
stem(ts,X);
采样信号'
subplot(6,1,3);
plot(t,Xr);
恢复信号'
subplot(6,1,4);
plot(t,Xa-Xr);
原信号与恢复信号之差'
fs=20000;
y1=fft(Xa,fs);
mag=abs(y1);
f=(0:
length(y1)-1)'
*(10*Fs)/length(y1);
subplot(6,1,5)
plot(f(1:
fs/2),mag(1:
fs/2));
axis([0120003000]);
fs=3000;
y2=fft(X,fs);
原信号频谱'
mag=abs(y2);
length(y2)-1)'
*(Fs)/length(y2);
subplot(6,1,6)
抽样信号频谱'
functionf=xa(t)
f=cos(2*pi*f0*t)+2*cos(2*pi*10*f0*t);
functionx=xr(X,Ts,t)
x=0;
length(X)
x=x+X(n)*sinc((t-(n-1)*Ts)/Ts);
(二)、运行结果
1、
fs=2200Hz
2、fs=600Hz
3、fs=1400Hz
(三)、分析及结论
1(4):
当fs=2200Hz时,基本可认为没有新的频率分量产生,当fs=600Hz或fs=1400Hz时,有新的频率分量产生。
可能原因之一是当不满足fs>
2f0时,采样信号不能完全恢复原始信号,因此在频域上会产生新的频率分量。
2、当不满足fs>
2f0时,可以看到时域恢复信号出现失真,且fs越小,恢复信号与原信号差距越大。
在频域上表现为产生了新的频率分量(200/400Hz)。
综上所述,欲使采样信号能无失真地恢复原信号,要求是fs>
=2f0,若不满足该条件,会出现恢复波形失真的情况。
二、带通采样
通过该题目进一步加深对带通信号采样定理的认识,即不需要象低通采样那样需要信号最高频率的2倍才能恢复出原始信号。
带通信号的采样定理可描述如下:
如果模拟信号f(t)为带通信号,其角频率限制在fL和fm之间,则必须的最低采样频率fs>
=2(fm-fL)。
且当采样率满足fs=4f0/(2n+1)(f0=(fm+fL)/2为信号的中心频率,n=0,1,2,……),则可以无失真的从采样信号中恢复原始信号。
注意当fs的取值大于2fm时,与低通采样定理意义相同。
考虑模拟信号xa(t),xa(t)=cos(2*pi*f0*t)+2*cos(2*pi*f1*t),令f0=1.6kHz,f1=2kHz。
该信号带宽0.4k<
f0=2kHz,显然为带通信号。
1.请你根据带通采样定理,选取适当的采样速率以得到抽样信号x(n),然后同样用内插公式恢复成模拟信号,并思考如何由该模拟信号得到原来的带通信号。
2.请绘出带通信号的频谱及x(n)的频谱,观察并比较它们。
1、fc=400;
%信号带宽400HZ
fmin=2*fc;
fc0=(1600+2000)/2;
fc1=1600;
%信号一的频率
fc2=2000;
%信号二的频率
fs1=400;
%欠采样的采样频率
fs2=800;
%临界采样采样频率
n=0;
fs3=4*fc0/(2*n+1);
%n取1时的采样速率
%fs3=5000;
f0=80000;
%用以模拟连续信号的离散信号采样速率
%(大nyquist率)
1/f0:
1;
N=1*f0;
xt0=cos(2*pi*fc1*t)+2*cos(2*pi*fc2*t);
figure
(1);
subplot(3,1,1);
plot(t,xt0);
axis([00.03-44]);
待采样信号波形'
xlabel('
x'
ylabel('
xt'
yjw0=fft(xt0,N);
absy0=abs(yjw0);
N-1)*f0/N;
%subplot(2,1,2);
%plot(f,absy0);
%axis([08000-410000]);
%title('
正常采样信号频谱'
)
%xlabel('
数字频率'
幅度谱'
1/fs3:
N=1*fs3;
xts=cos(2*pi*fc1*t)+2*cos(2*pi*fc2*t);
subplot(3,1,2);
plot(t,xts);
采样信号波形'
yjw0=fft(xts,N);
fs=fs3;
%采样频率
Ts=1/fs3;
%采样周期
T0=0.01;
n=0:
(3*T0)/Ts;
t1=0:
3*T0;
%disp('
t1='
+t1);
%x1=sin(2*pi*f0*n/fs)+1/3*sin(6*pi*f0*n/fs);
%采样信号
x1=cos(2*pi*fc1*n/fs)+2*cos(2*pi*fc2*n/fs);
T_N=ones(length(n),1)*t1-n'
*Ts*ones(1,length(t1));
%表示t-nT
xa=x1*sinc(fs*T_N);
subplot(3,1,3);
plot(t1,xa);
恢复信号波形'
2、fc=400;
%用以模拟连续信号的离散信号采样速率
subplot(2,1,1);
plot(f,absy0);
待采样信号频谱'
subplot(2,1,2);
axis([080000-410000]);
2、
1、对采样信号及频谱,这里n取0;
对恢复信号:
通过内插公式由采样信号得到恢复信号,可以看到,采样信号比较完整的恢复了原始信号。
2、可以看到,采样信号的频谱发生了一定搬移,但包含和了原始信号的所有频谱信息。
总的来说,当采样率满足fs=4f0/(2n+1)(f0=(fm+fL)/2为信号的中心频率,n=0,1,2,……)时,即正常采样下的信号可以恢复出原信号一个完整周期的频谱。
可能是由于采样频率和信号长度的问题,恢复信号有一定的失真,但这已经能够证明带通采样定理的正确性,即采样后的信号没有丢失原信号的信息。
三、加窗后信号幅频特性的变化
考虑一个以指数率衰减的信号xa(t)=e-atcos(2*pi*f0*t),为简便起见,衣复述形式表示为xa(t)=e-ate2*pi*f0。
现在以fs=1/T抽样,则得到抽样信号x(n)=xa(nT),n=…,-3,-2,-1,0,1,2,…。
这样的无限长序列计算机是无法存储的,通常的做法是令xL(nT)=x(nT),n=0,1,.…,L-1,它是长度为L的加窗信号。
模拟、采样、加窗后信号的频谱幅度如下:
我们有极限
,
其中:
α=0.2s-1,f0=0.5Hz,fs=1Hz。
1、请在同一图中绘出模拟信号频谱|Xa(f)|2及采样信号频谱T|Xa(f)|2,在另外一张图中绘出三个频谱|Xa(f)|2,T|Xa(f)|2,T|XL(f)|2(频率范围:
0<
f<
3Hz)
2、改变xL(nT)=x(nT)的长度L并重复1,观察其中的变化。
f=[0:
0.01:
3];
a=0.2;
f0=0.5;
fs=1;
T=1/fs;
L=25;
xa=1./(a.^2+(2*pi*(f-f0)).^2);
xf=1./(1-2*(exp(-a*T))*cos(2*pi*(f-f0))+exp(-2*a*T));
xl=(1-2*(exp(-a*T*L))*cos(2*pi*(f-f0)*L)+exp(-2*a*T*L))./(1-2*(exp(-a*T))*cos(2*pi*(f-f0))+exp(-2*a*T));
plot(f,xa);
模拟信号频谱幅度'
holdon
plot(f,xf);
采样信号频谱幅度'
subplot(3,1,3)
plot(f,xl);
长度为100的加窗信号'
holdoff
取α=0.2s-1,f0=0.5Hz,fs=1Hz
1、模拟信号频谱,采样后频谱和加窗长度为2时处理的信号频谱
2、模拟信号频谱,采样后频谱和加窗长度为25时处理的信号频谱
3、模拟信号频谱,采样后频谱和加窗长度为100时处理的信号频谱
对模拟信号进行数字处理时,首先要对模拟信号进行采样,采样频率由奈奎斯特采样定理决定。
对采样而来的数字信号进行DTFT处理得到其频谱。
由DTFT的计算公式可知,DTFT的计算需要用到信号的所有采样点,当信号为无限长或者是相当长时,这样的计算不可行也没有实际意义。
因此会把信号分成许多一定长度的数据段,然后分段处理。
如果把数据进行分段,相当于对信号进行了加矩形窗的处理。
当窗信号长度较低时,这时候频谱会有较大的失真,这是因为此时由于窗函数是一个频带无限的函数,所以即使原信号x(t)是限带宽信号,而在截断以后也必然成为无限带宽的函数,即信号在频域的能量与分布被扩展了。
又从采样定理可知,无论采样频率多高,只要信号一经截断,就不可避免地引起混叠,因此信号截断必然导致一些误差。
那么加长截断长度T,即矩形窗口加宽,则窗谱W(ω)将被压缩变窄(π/T减小)。
虽然理论上讲,其频谱范围仍为无限宽,但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快,因而泄漏误差将减小。
当窗口宽度T趋于无穷大时,则谱窗W(ω)将变为δ(ω)函数,而δ(ω)与X(ω)的卷积仍为X(ω),这说明,如果窗口无限宽,即不截断,就不存在泄漏误差。
这些在实验结果中得到了体现。
四、信号的抽取和内插
设离散时间信号为汉宁窗信号(升余弦):
当N=32时:
1、给出
的幅频特性曲线;
2、给出x(n)经两倍抽取之后的幅频特性;
3、给出x(n)经两倍内插之后的幅频特性;
4、当N=16时,重复1、2、3。
n=1:
32;
x=0.5*(1-cos(2*pi*n/31));
X=fft(x);
fs=2000;
f=n*fs/32/1000;
subplot(3,2,1);
plot(f,abs(X));
相位(单位pi)'
'
fontsize'
13);
幅值'
(N=32)幅频特性曲线1'
x2=dyaddown(x);
n2=1:
16;
X2=fft(x2);
f2=n2*fs/16/1000;
subplot(3,2,3);
plot(f2,abs(X2));
(N=32)幅频特性曲线2'
x3=dyadup(x);
n3=1:
65;
X3=fft(x3);
f3=n3*fs/65/1000;
subplot(3,2,5);
plot(f3,abs(X3));
(N=32)幅频特性曲线3'
N=500;
y=0.5*(1-cos(2*pi*n/15));
Y=fft(y);
f=n*fs/16/1000;
subplot(3,2,2);
plot(f,abs(Y));
(N=16)幅频特性曲线1'
y2=dyaddown(y);
8;
Y2=fft(y2);
f2=n2*fs/8/1000;
subplot(3,2,4);
plot(f2,abs(Y2));
(N=16)幅频特性曲线2'
y3=dyadup(y);
33;
Y3=fft(y3);
f3=n3*fs/33/1000;
subplot(3,2,6);
plot(f3,abs(Y3));
(N=16)幅频特性曲线3'
(二)、运行结果及分析
1、N=32时的仿真结果
(1)(N=32)幅频特性曲线1为x(n)的幅频特性曲线。
可以看出,横轴零处为直流分量的频谱,0-2pi内两个上升沿为余弦信号的频谱体现。
(2)(N=32)幅频特性曲线2为x(n)经两倍抽取之后的幅频特性。
可以看出,经过抽取之后,频谱图形变宽,上升沿和直流分量图形更加明显。
(3)(N=32)幅频特性曲线3为x(n)经两倍内插之后的幅频特性。
可以看出,经过内插,频域被挤压缩小,频谱图形被压缩,1pi处分别是直流分量和余弦信号经过内插后的频域图形表示。
2、N=16时的仿真结果
(1)(N=16)幅频特性曲线1为x(n)的幅频特性曲线。
(2)(N=16)幅频特性曲线2为x(n)经两倍抽取之后的幅频特性。
(3)(N=16)幅频特性曲线3为x(n)经两倍内插之后的幅频特性。
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