人教版初二数学三角形知识点归纳文档格式.docx
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5.等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角
(1)∵ΔABC是等腰三角形
-1-
形.(如图)∴AB=AC
(2)∵AB=AC
∴ΔABC是等腰三角形
6.等边三角形的定义:
有三条边相等的三角形叫做等边三角
(1)∵ΔABC是等边三角形
形.(如图)∴AB=BC=AC
(2)∵AB=BC=AC
∴ΔABC是等边三角形
7.三角形的内角和定理及推论:
(1)三角形的内角和180°
;
(如图)
(1)∵∠A+∠B+∠
(2)直角三角形的两个锐角互余;
(如图)C=180°
(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和(;
如图)
∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
※(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(2)∵∠C=90°
AA
∴∠A+∠B=90°
(3)∵∠ACD∠=A+∠B
BCC
B
D
(1)
(2)(3)(4)
(4)∵∠ACD>∠A
8.直角三角形的定义:
有一个角是直角的三角形叫直角三
(1)∵∠C=90°
角形.(如图)∴ΔABC是直角三角形
CB
(2)∵ΔABC是直角三角形
∴∠C=90°
9.等腰直角三角形的定义:
-2-
两条直角边相等的直角三角形叫等
(1)∵∠C=90°
CA=CB
腰直角三角形.(如图)∴ΔABC是等腰直角三角形
(2)∵ΔABC是等腰直角三角B
C
形
10.全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等;
(如图)
(1)∵ΔABC≌ΔEFG
(2)全等三角形的对应角相等.(如图)∴AB=EF⋯⋯⋯
(2)∵ΔABC≌ΔEFGAE
∴∠A=∠E⋯⋯⋯
BCG
F
11.全等三角形的判定:
“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.(如图)
(1)∵AB=EF
AE∵∠B=∠F
又∵BC=FG
(1)
(2)∴ΔABC≌ΔEFG
(2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯AE
(3)在RtΔABC和RtΔEFG中
CG
∵AB=EF
(3)又∵AC=EG
∴RtΔABC≌RtΔEFG
12.角平分线的性质定理及逆定理:
(1)在角平分线上的点到角的两边
(1)∵OC平分∠AOB
距离相等;
(如图)又∵CD⊥OACE⊥OB
(2)到角的两边距离相等的点在角∴CD=CE
-3-
平分线上.(如图)
(2)∵CD⊥OACE⊥OB
又∵CD=CE
OEB
∴OC是角平分线
13.线段垂直平分线的定义:
E
(1)∵EF垂直平分AB垂直于一条线段且平分这条线段的
AOB
直线,叫做这条线段的垂直平分线.∴EF⊥ABOA=OB
(如图)
(2)∵EF⊥ABOA=OB
∴EF是AB的垂直平分线
14.线段垂直平分线的性质定理及逆
定理:
(1)∵MN是线段AB的垂直平分
M
P
(1)线段垂直平分线上的点和这条
线
ACB
线段的两个端点的距离相等;
(如图)∴PA=PB
N
(2)和一条线段的两个端点的距离
(2)∵PA=PB
相等的点,在这条线段的垂直平分线∴点P在线段AB的垂直平分线
上.(如图)
上
15.等腰三角形的性质定理及推论:
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(即等边对等角)(如图)
(1)∵AB=AC
(2)等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”∴∠B=∠C
三线合一;
(如图)
(2)∵AB=AC
(3)等边三角形的各角都相等,并且都是60°
.(如图)又∵∠BAD∠=CAD
∴BD=CD
AD⊥BCA
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
BC
(1)BDC
(2)BC(3)
(3)∵ΔABC是等边三角形
-4-
∴∠A=∠B=∠C=60°
16.等腰三角形的判定定理及推论:
(1)如果一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边
(1)∵∠B=∠C
也相等;
(即等角对等边)(如图)∴AB=AC
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(如图)
(2)∵∠A=∠B=∠C
(3)有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形;
(如图)∴ΔABC是等边三角形
(4)在直角三角形中,如果有一个角等于30°
,那么它所对(3)∵∠A=60°
的直角边是斜边的一半.(如图)又∵AB=AC
∴ΔABC是等边三角形AA
(4)∵∠C=90°
∠B=30°
BC
(1)
BC
(2)(3)
CB(4)
1
∴AC=2AB
17.关于轴对称的定理
(1)关于某条直线对称的两个图形
(1)∵ΔABC、ΔEGF关于
E
O
是全等形;
(如图)MN轴对称
G
(2)如果两个图形关于某条直线对∴ΔABC≌ΔEGF
称,那么对称轴是对应点连线的垂
(2)∵ΔABC、ΔEGF关于
直平分线.(如图)MN轴对称
∴OA=OEM⊥NAE
18.勾股定理及逆定理:
(1)直角三角形的两直角边a、b
(1)∵ΔABC是直角三角形
的平方和等于斜边c的平方,即∴a2+b2=c2
a2+b2=c2;
(如图)
(2)∵a2+b2=c2
(2)如果三角形的三边长有下面关∴ΔABC是直角三角形
-5-
系:
a2+b2=c2,那么这个三角形是
直角三角形.(如图)
19.RtΔ斜边中线定理及逆定理:
(1)直角三角形中,斜边上的中线∵ΔABC是直角三角形
是斜边的一半;
(如图)
∵D是AB的中点
1
(2)如果三角形一边上的中线是这
∴CD=2AB
边的一半,那么这个三角形是直角
(2)∵CD=AD=BD
三角形.(如图)
∴ΔABC是直角三角形
几何B级概念:
(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一基本概念:
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角
平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线
的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二常识:
1.三角形中,第三边长的判断:
另两边之差<第三边<另两边之和.
2.三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中
前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意:
三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3.如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:
若CD⊥AB,BE⊥CA,则CD·
AB=B·
ECA.
4.三角形能否成立的条件是:
最长边<另两边之和.
5.直角三角形能否成立的条件是:
最长边的平方等于另两边的平方和.
6.分别含30°
、45°
、60°
的直角三角形是特殊的直角三角形.
7.如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即:
2
-6-
(1)AC·
CB=C·
DAB;
(2)∠1=∠B,∠2=∠A.
8.三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角.
9.全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对
的边是对应边.
10.等边三角形是特殊的等腰三角形.
11.几何习题中,“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明.
12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.
13.几何习题经常用四种方法进行分析:
(1)分析综合法;
(2)方程分析法;
(3)代
入分析法;
(4)图形观察法.
14.几何基本作图分为:
(1)作线段等于已知线段;
(2)作角等于已知角;
(3)作已
知角的平分线;
(4)过已知点作已知直线的垂线;
(5)作线段的中垂线;
(6)过已知
点作已知直线的平行线.
15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角
形”、“等腰直角三角形”的作图.
16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什
么;
注意:
每步作图都应该是几何基本作图.
17.几何画图的类型:
(1)估画图;
(2)工具画图;
(3)尺规画图.
※18.几何重要图形和辅助线:
(1)选取和作辅助线的原则:
①构造特殊图形,使可用的定理增加;
②一举多得;
③聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;
④作辅助线必须符合几何基本作图.
(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)
-7-
①在BA上截取BE=BC构造全等,转移线②过D点作DE∥BC交AB于E,构造等腰三
AA段和角;
角形.
DD
BCBC
(3)已知三角形中线(若AD是BC的中线)
①过D点作DE∥AC交AB于②延长AD到E,使DE=AD③∵AD是中线
E,构造中位线;
连结CE构造全等,转移线段∴SΔABD=SΔADC
和角;
(等底等高的三角形等A
面积)
DB
(4)已知等腰三角形ABC中,AB=AC
DC
①作等腰三角形ABC底边的中线AD②作等腰三角形ABC一边的平行线DE,构造
(顶角的平分线或底边的高)构造全
新的等腰三角形.
AA等三角形;
(5)其它
作等边三角形ABC②作CE∥AB,转移角;
③延长BD与AC交于E,
一边的平行线DE,构造
不规则图形转化为规则图A
新的等边三角形;
形;
BD
-8-
④多边形转化为三角
⑤延长BC到D,使CD=B,C⑥若a∥b,AC,BC是角平
连结AD,直角三角形转化为分线,则∠C=90°
.
A等腰三角形;
Aa
b
-9-
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