高中数学第一章导数及其应用1函数中的应用133函数的最大小值与导数二学案新人教A版选修221022342Word文档格式.docx
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a≤2.
反思与感悟 函数在开区间内存在最值,则极值点必落在该区间内.
跟踪训练1 若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有最小值,则实数b的取值范围是( )
A.(0,1)B.(-∞,1)
C.(0,+∞)D.
答案 D
解析 由题意得,函数f(x)=x3-6bx+3b的导数f′(x)=3x2-6b在(0,1)内有零点,
且f′(0)<
0,f′
(1)>
0,即-6b<
0,且(3-6b)>
0,
∴0<
b<
,故选D.
类型二 与最值有关的恒成立问题
例2 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<
c2恒成立,求实数c的取值范围.
题点 利用导数求恒成立中参数的取值范围
解
(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,
得f′(x)=3x2+2ax+b,
因为f′
(1)=3+2a+b=0,f′=-a+b=0,
解得a=-,b=-2,
所以f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f′(x)=0,得x=-或x=1,
极大值
极小值
所以函数f(x)的单调递增区间为,(1,+∞);
单调递减区间为.
(2)由
(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],
当x=-时,f
=+c为极大值,
因为f
(2)=2+c,所以f
(2)=2+c为最大值.
要使f(x)<
c2(x∈[-1,2])恒成立,只需c2>
f
(2)=2+c,
解得c<
-1或c>
2.
故实数c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
引申探究
若本例中条件不变,“把
(2)中对x∈[-1,2],不等式f(x)<
c2恒成立”改为“若存在x∈[-1,2],不等式f(x)<
c2成立”,结果如何?
解 由典例解析知当x=1时,f
(1)=c-为极小值,
又f(-1)=+c>
c-,
所以f
(1)=c-为最小值.
因为存在x∈[-1,2],不等式f(x)<
c2成立,
所以只需c2>
f
(1)=c-,即2c2-2c+3>
解得c∈R.故实数c的取值范围为R.
反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练2
(1)已知函数f(x)=2xlnx,g(x)=-x2+ax-3对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,则a的取值范围是________.
答案 (-∞,4]
解析 由2xlnx≥-x2+ax-3,
得a≤2lnx+x+.
设h(x)=2lnx++x(x>
0).
则h′(x)=,
当x∈(0,1)时,h′(x)<
0,h(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,h′(x)>
0,h(x)单调递增.
∴h(x)min=h
(1)=4.
∴a≤4.
(2)设L为曲线C:
y=在点(1,0)处的切线.
①求L的方程;
②证明:
除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.
题点 恒成立中的证明问题
①解 设f(x)=,
则f′(x)=,
所以f′
(1)=1,所以L的方程为y=x-1.
②证明 设g(x)=x-1-f(x),除切点外,曲线C在直线L的下方等价于∀x>
0且x≠1,g(x)>
0.
g(x)满足g
(1)=0,且g′(x)=1-f′(x)=.
当0<
x<
1时,x2-1<
0,lnx<
所以g′(x)<
故g(x)在(0,1)上单调递减;
当x>
1时,x2-1>
0,lnx>
所以g′(x)>
故g(x)在(1,+∞)上单调递增;
所以,∀x>
g
(1)=0.
所以除切点外,曲线C在直线L的下方.
1.函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最大值是( )
A.0B.C.D.
考点 利用导数求函数的最值
题点 利用导数求不含参数函数的最值
答案 B
解析 f′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x),
∴当0≤x≤1时,f′(x)≥0,f(x)单调递增,
当1≤x≤4时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,
∴当x=1时,f(x)max=f
(1)=.故选B.
2.函数f(x)=xlnx的最小值为( )
A.e2B.-e
C.-e-1D.-
解析 ∵f(x)=xlnx,定义域是(0,+∞),
∴f′(x)=1+lnx,
令f′(x)>
0,解得x>
,
令f′(x)<
0,解得0<
∴函数在上单调递减,在上单调递增,
故当x=时,函数取最小值-,故选C.
3.已知函数f(x)=ex-x+a,若f(x)>
0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)
C.[-1,+∞)D.(-∞,-1]
答案 A
解析 f′(x)=ex-1,
0,解得x<
故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
故f(x)min=f(0)=1+a,
若f(x)>
0恒成立,
则1+a>
0,解得a>
-1,故选A.
4.已知函数f(x)=x3-3x2+2,x1,x2是区间[-1,1]上任意两个值,M≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,则M的最小值是________.
答案 4
解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
当-1≤x<
0时,f′(x)>
0,f(x)单调递增,
x≤1时,f′(x)<
0,f(x)单调递减,
所以当x=0时,f(x)取得极大值,也为最大值,f(0)=2,
又f(-1)=-2,f
(1)=0,
所以f(x)的最小值为-2,
对[-1,1]上任意x1,x2,
|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=4,
所以M≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,等价于M≥4,即M的最小值为4.
5.已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x>
0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.
(1)试确定a,b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调区间;
(3)若对任意x>
0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求实数c的取值范围.
解
(1)由f(x)在x=1处取得极值-3-c知f
(1)=b-c=-3-c,得b=-3.
又f′(x)=4ax3lnx+ax4·
+4bx3
=x3(4alnx+a+4b),
由f′
(1)=0,得a+4b=0,a=-4b=12.
(2)由
(1)知f′(x)=48x3lnx(x>
令f′(x)=0,得x=1.
1时,f′(x)<
0,f(x)为减函数;
1时,f′(x)>
0,f(x)为增函数.
因此,f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).
(3)由
(2)知f
(1)=-3-c既是极小值,也是(0,+∞)内的最小值,要使f(x)≥-2c2(x>
0)恒成立,只需-3-c≥-2c2,即2c2-c-3≥0.
从而(2c-3)(c+1)≥0,解得c≥或c≤-1.
故实数c的取值范围为(-∞,-1]∪.
1.若函数在开区间内存在最值,则极值点必落在已知区间内.
2.已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围:
一般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解;
若不能分离,则构造函数,利用函数的性质求最值.
一、选择题
1.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)在[-1,1]上的最大值、最小值分别为( )
A.0,-4B.,-4
C.,0D.2,0
解析 由题意得
即得
则f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1,
令f′(x)=0得x=1或x=,
由f
=,f(-1)=-4,f
(1)=0,
∴f(x)max=,f(x)min=-4.
2.已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为( )
A.0B.
C.-2D.2
题点 利用导数求含参数函数的最值
解析 因为a,b为正实数,
所以f(x)=ax3+bx+2是增函数,
函数f(x)=ax3+bx+2在[0,1]上的最大值f
(1)=a+b+2=4,a+b=2.
在[-1,0]上的最小值为f(-1)=-(a+b)+2=0.
3.若关于x的不等式x3-3x+3+a≤0恒成立,其中-2≤x≤3,则实数a的最大值为( )
A.1B.-1
C.-5D.-21
题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围
解析 若关于x的不等式x3-3x+3+a≤0恒成立,
则a≤-x3+3x-3在[-2,3]上恒成立,
令f(x)=-x3+3x-3,x∈[-2,3],
则f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),
0,解得-1<
1,
1或x<
-1,
故f(x)在[-2,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在(1,3]上单调递减,
而f(-2)=-1,f(-1)=-5,f
(1)=-1,f(3)=-21,
故a≤-21,故a的最大值是-21.
4.当x∈(0,3)时,关于x的不等式ex-x-2mx>
0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.B.
C.(-∞,e+1)D.(e+1,+∞)
解析 当x∈(0,3)时,关于x的不等式ex-x-2mx>
即为2m+1<
在(0,3)上的最小值,
令f(x)=,则f′(x)=,
0,f(x)单调递减;
当1<
3时,f′(x)>
0,f(x)单调递增.
可得f(x)在x=1处取得最小值e,
即有2m+1<
e,可得m<
5.若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则a的取值范围是( )
A.[-3,+∞)B.(-3,+∞)
C.(-3,0)D.[-3,0]
考点 导数在最值问题中的应用
题点 已知最值求参数
解析 ∵f(x)=-x3-3x2+1,
∴f′(x)=-3x2-6x,
令f′(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,
(-∞,-2)
(-2,0)
(0,+∞)
由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,
解得x=0或x=-3.
0时,f(x)<
f(0)=1,
当x<
-3时,f(x)>
f(-3)=1,
又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,
∴a的取值范围为[-3,0].
6.关于函数f(x)=(2x-x2)ex的命题:
①f(x)>
0的解集是{x|0<
2};
②f(-)是极小值,f()是极大值;
③f(x)没有最小值,也没有最大值.
其中正确的命题是( )
A.①②B.①②③
C.②③D.①③
题点 最值与极值的综合应用
解析 ①由于ex>
0,所以f(x)>
即需2x-x2>
0解得{x|0<
2},①正确.
②因为f(x)=(2x-x2)ex的定义域是R,
f′(x)=(2-2x)ex+(2x-x2)ex=(2-x2)ex,
令f′(x)=0,得x=-或x=.
(-∞,-)
(-,)
(,+∞)
所以f(-)是极小值,f()是极大值,②正确.
③由图象(图略)知f()为最大值,无最小值,③错误.
7.若函数f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是( )
A.(-,-1)B.(-,-1]
C.(-,-2)D.(-,-2]
解析 由题意知f(x)=x3-3x,
所以f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
-1或x>
0;
当-1<
故x=-1是函数f(x)的极大值点,
f(-1)=-1+3=2,令x3-3x=2,解得x=2,
由题意得
解得-<
a≤-2.
二、填空题
8.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是________.
答案 [-4,-2]
解析 f′(x)=m-2x,令f′(x)=0,得x=.
由题意得∈[-2,-1],故m∈[-4,-2].
9.已知e是自然对数的底数,若函数f(x)=ex的图象始终在函数g(x)=x-a图象的上方,则实数a的取值范围是________.
答案 (-1,+∞)
解析 由题意知f(x)-g(x)=ex-x+a>
0,对一切实数x恒成立,
令h(x)=ex-x+a,则h(x)min>
∵h′(x)=ex-1,
令h′(x)=0得x=0,
0时,h′(x)<
0,则h(x)在(-∞,0)上单调递减,
0时,h′(x)>
0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴当x=0时,h(x)取得极小值,即最小值为h(0)=1+a,
∴1+a>
0,即a>
-1.
10.已知函数f(x)=ax3-3x+1,且对任意x∈(0,1],f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 [4,+∞)
解析 当x∈(0,1]时,不等式ax3-3x+1≥0可化为a≥.
设g(x)=,x∈(0,1],
则g′(x)==-.
令g′(x)=0,得x=.
当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:
g′(x)
g(x)
因此g(x)的最大值等于极大值g=4,则实数a的取值范围是[4,+∞).
11.已知函数f(x)=ax-lnx,g(x)=ex-ax,其中a为正实数,若f(x)在(1,+∞)上无最小值,且g(x)在(1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围为________.
答案 [1,e]
解析 ∵f(x)=ax-lnx(x>
0),
∴f′(x)=a-=,
若f(x)在(1,+∞)上无最小值,
则f(x)在(1,+∞)上单调,
∴f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
或f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立,
∴a≥或a≤,而函数y=在(1,+∞)上单调递减,
∴当x=1时,函数y取得最大值1,
∴a≥1或a≤0,而a为正实数,故a≥1,①
又∵g(x)=ex-ax,∴g′(x)=ex-a,
∵函数g(x)=ex-ax在区间(1,+∞)上单调递增,
∴g′(x)=ex-a≥0在区间(1,+∞)上恒成立,
∴a≤(ex)min在区间(1,+∞)上恒成立.
而ex>
e,∴a≤e.②
综合①②,a∈[1,e].
三、解答题
12.已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R).
(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;
(2)在
(1)的条件下,当x∈[-2,6]时,f(x)<
2|c|恒成立,求实数c的取值范围.
解
(1)f′(x)=3x2-2ax+b,
∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,
∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.
∴∴
(2)由
(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,
令f′(x)=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3.
(-1,3)
3
(3,+∞)
而f(-1)=c+5,f(3)=c-27,f(-2)=c-2,
f(6)=c+54,
∴当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54,
2|c|恒成立,只需c+54<
2|c|.
当c≥0时,c+54<
2c,∴c>
54;
当c<
0时,c+54<
-2c,∴c<
-18.
故实数c的取值范围是(-∞,-18)∪(54,+∞).
13.已知函数f(x)=,若当x∈[0,2]时,f(x)≥恒成立,求a的取值范围.
解 f′(x)=
=.
当a=0时,令f′(x)=0,得x=1.
在(0,1)上,有f′(x)>
0,函数f(x)单调递增;
在(1,2)上,有f′(x)<
0,函数f(x)单调递减.
又f(0)=0,f
(2)=,故函数f(x)的最小值为f(0)=0,结论不成立.
当a≠0时,令f′(x)=0,得x1=1,x2=1-.
若a<
0,则f(0)=a<
0,结论不成立.
若0<
a≤1,则1-≤0.
只需得到
所以≤a≤1.
若a>
1,则0<
1-<
1,函数在x=1-处有极小值,
因为2a-1>
<
1,所以a>
综上所述,a的取值范围是a≥.
四、探究与拓展
14.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1B.C.D.
解析 由题意画出函数图象如图所示,
由图可以看出|MN|=y=t2-lnt(t>
y′=2t-==.
t<
时,y′<
0,可知y在上单调递减;
当t>
时,y′>
0,可知y在上单调递增.
故当t=时,|MN|有极小值也是最小值.
15.已知函数f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
解
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,则f′(x)>
0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
0,则当x∈时,f′(x)>
当x∈时,f′(x)<
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a>
0时,f(x)在上单调递增,
在上单调递减.
(2)由
(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
0时,f(x)在x=处取得极大值且为最大值,最大值为f
=ln+a=-lna+a-1.
因此f
>
2a-2等价于lna+a-1<
令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g
(1)=0.
于是,当0<
1时,g(a)<
1时,g(a)>
因此,a的取值范围是(0,1).
精美句子
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读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;
读太阳,读出了它普照万物的无私;
读春雨,读出了它润物无声的柔情。
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2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;
幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获.
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幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;
幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩:
从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;
从归雁的
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