最新文科立体几何线面角二面角专题带答案Word格式.docx

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（1）证明：

恒郎平面画;

（2）求直线瓯与平面画所成角的正弦值

形，运四例二31],叵回=1#=6

（i）求证：

平面画工平面H坦I；

（2）设回为线段区L一点，ii电亘，求二面角底里目的平面角的余弦值.

10.如图，在多面体画工空中，四边形世瓯I为等腰梯形，区匹亚，已知M1EC

AB=AF=|AD=AE=4|,四边形|ADEF]为直角梯形.恒地f,巨型三场.

匣工I平面口用，平面画卫三I平面画1E

（2）求三棱锥旧-ABFl的体积.

1.

（1）见解析

（2）

面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果详解：

（1）因为一=CP=AC=4],回为画的中点，所以恒三隹],且回[三建

L=bc=^ac]

连结西.因为I2I,所以三踵3为等腰直角三角形,

I

OB=AC=2

由应至远"

国知叵也由匿三理空运知蕾平面画:

（2）如图，以回为坐标原点，国的方向为国轴正方向，建立空间直角坐标系叵豆.

由已知得林0口0）用⑵。

⑼.AW-2⑼C（020）,P（0nR3）,AP=（口22回取平面画的法向量

=（2一04）

设国m函且红，则瓯逗匚画.

设平面E邈的法向量为正函②.

b2y+邓£

=I

由原五二0-AM五0|得隆十｛4：

叨=可取回匹互匹且

2V3（a-4）

3m4炉4

所以（33J.又p「⑴2一地）|,所以

所以因与平面画］所成角的正弦值为m点睛：

利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：

第一，破“建系关”，构建恰当的

空间直角坐标系；

第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；

第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；

第四，破“应用公式关”.

2.解：

（1）因为AP=CP=AC=4,。

为AC的中点，所以OPLAC,且OP=|E回.

连结OB.因为AB=BC=|2I.所以△ABC为等腰直角三角形，且OB^AC,OB=P1=2.

由叵已三讨三回］知，op^ob.

由OP^OB,OPLAC知POL平面ABC.

（2）作CHXOM,垂足为H.又由

（1）可得OPLCH,所以CH，平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离.

QSB

由题设可知OC=E_1=2,CM=E__HJLI,/ACB=45°

.

至

所以OM=3

DCMCsin^ACBl附

CH=OM=5

空

所以点C到平面POM的距离为国.

【解析】分析：

（1）连接眄，欲证匡工口平面瓯，只需证明庭运曳三码即可；

（2）过点目作画三四I,垂足为回，只需论证国的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可详解：

（1）因为AP=CP=AC=4,。

为AC的中点，所以OPLAC,且OP=回回.

眼］JacI

连结OB.因为AB=BC=|2I.所以△ABC为等腰直角三角形，且OB^AC,OB惇1=2.

由巨三困乏亘引知，OP^OB.

由OP^OB,OPLAC知PO,平面ABC.

由题设可知OC=?

―1=2,CM=5―WJLI,/ACB=45°

所以点C到平面POM的距离为

点睛：

立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明

为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；

本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决

同

3.（D见解析；

（n）叵.

方法一：

（I）通过计算，根据勾股定理得LAFyABi三日,再根据线

面垂直的判定定理得结论，（n）找出直线ACi与平面ABBi所成的角，再在直角三角形中求解.

方法二：

（I）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出

AB】'

LAR，再根据线面垂直的判定定理得结论,（n）根据方程组解出平面瓯*

的一个法向量，然后利用叵与平面避i］法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.

详解：

（I）由即=正心当="

AKBB—理得酝酝叫

所以

由第三更三踵三变I得叵三亚,由国三日，得左咆，所以近豆US,故应亚

（H）如图，过点目作笆包交直线阻］于点0,连结瓯.

方法二:

（I）如图，以AC的中点。

为原点，分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴，建立空间

直角坐标系O-xyz.

由题意知各点坐标如下:

世d-杷⑼川1。

。

）小（。

「也,4）』九（1一d2）,匚]（0/3,1）,

因此

AE=（1峭,2）人用=（1一机-2）,A]Q=6「可

但1AjB,

%B£

由（I）可知

A5=（0,2也1）八£

=（1一也SM%=（0,0,2）：

设平面也叫］的法向量n二（x,y，£

）

iI

!

n•智=0,仔+小¥

=01

由叵竺史弓二&

|可取叵R回

sinG-IcosfAC^n}=：

=

所以IlAC-lnl13.

阿

因此，直线画与平面场E1所成的角的正弦值是叵

利用法向量求解空间线面角的关键在于四破”：

第一，破建系关”，构建恰当的空间

直角坐标系；

第二，破尿坐标关”，准确求解相关点的坐标；

第三，破尿法向量关”，求出

平面的法向量；

第四，破应用公式关”.

0日

4.（I）L£

J（n）见解析（出）E

（I）由题意得匹因//AB,故/G画是异面直线瓯与AB所成的角，解

三角形可得所求余弦值.（n）在三棱柱1c-A|B|G|中,由Rk平面ABC可得西LaiG,于是眄］，AiG,又AiG，瓯I,根据线面垂直的判定定理可得结论成立.（出）取区的中

点H,连接AH,HG;

取HG的中点O,连接OP,国.由PO//AiG可得区汪］平面睡回,故得/PCiO是PCi与平面区三固所成的角，然后解三角形可得所求.

（I）。

向1//AB,

・••/G陋）是异面直线瓯与AB所成的角.

田川芈1cLl=2,G为BC的中点,

--AiG±

BiCi,

在ptAGA同中,H*GB]

AtG

CGA][=

11人四

：

即异面直线AG与AB所成角的余炫值为闺.

平面ABC,

AiG,

又AiG!

平面pCJB[

（III）解：

取胆的中点H,连接AH,HG;

取HG的中点O,连接OP,回

.PO//A1G,

•••/PCiO是PCi与平面pCC]Bj|所成的角.

由已知得,

POsm^PC,O=——PC1

所成角的正弦值为

用几何法求求空间角的步骤:

①作：

利用定义作出所求的角，将其转化为平面角；

②证：

证明作出的角为所求角；

③求:

问题.

【解析】试题分析：

（1）由题意，可取田中点回，连接叵叵U，则易知平面国|//平面画,由条件易证亚口平面画，则瓯口平面瓯，又巨三I平面瓯，根据线面垂直的定义，从而问题可得证；

（2）由题意，采用坐标法进行求解，可取回中点回为坐标原点，过回点作平行于回的直线为国轴，画为日轴，回I为。

轴，建立空间直角坐标系，分别算出平面瓯和

平面时的法向量,结合图形，二面角B-EF-。

为锐角,从而问题可得解.

试题解析：

（1）取画中点回，连结画］,空I,..•度瓯I是正方形，止lap|.

又•「pA=AB=l［恒三也，曲工面画］,，叵叵

又「国，日，闻都是中点，，EM./BCl.匣过吼阳，|面［MF

同理得平面恒I的法向量为怛一（°

」姬）

一、,出在⑸

:

os<

n1?

n2>

=^^-一陌

'

—同向—□,所以他的余弦值是回

此题主要考查立体几何中异面直线垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；

二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；

三是将运算得到的结果翻译为几何结论

承

6.

（1）见解析

（2）见解析（3）区

（1）先证明

巴叫，再证明画平面也巴1.

（2）先证明叵□面色竺川，再

证明平面平面网ABBJ（3）利用异面直线所成的角的定义求直线角的正弦值为H.

连接回，

•「回、目分别是瓯、回的中点，

i

DE=-AC

1DE*AC|,[2I,

2.・三棱柱11vBe1-画中,.pC〔A£

14cl=A[C]

又同为棱回卬的中点..•・EZ二四，生"

困，

（2）证明：

回是眄的中点，，曳三电[

又:

回曰面瓯，晅平面画:

285.AAi「】AB=A

乂-，

，巨汪扁也旭，又巨过面也E?

.中商fVCD~^~|中商fVABB?

-平面।I平面-l

EF/.Q'

ABf/A向

3•.f四为直线因与直线也列所成的角.

In

设三棱柱1ABe一的棱长为礼则[

—；

Tnraia2<

5

NJ）=iA^3+AD3=?

&

inZAiDA==:

即直线团与直线内因所成角的正弦值为区.

（1）本题主要考查空间位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这

些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.

（2）求空间的角，方法一是利用几何法，找日作

日证日指日求.方法二是利用向量法.

国

7.

（1）见解析

（2）正

（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE，平面BDEF;

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；

也可

以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解^

（I）在AABD中，/ABD=30°

由AO2=AB2+BD2—2ABBDcos30°

解得BD=V3,所以AB2+BD2=AB2,根据勾股定理得/ADB=90°

AD,BD.

又因为DEL平面ABCD,AD叵］平面ABCD,ADXDE.

又因为BD®

DE=D,所以ADL平面BDEF,又AD匚平面ABCD,

・•・平面ADEL平面BDEF,

（II）方法一：

如图，由已知可得匕9—9腔L1ABD=30"

|.则

4耽二行|,则三角形BCD为锐角为30。

的等腰三角形.

过点C做巨!

丝I,交DB、AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG,则

区三瓯，DEL平面ABCD,则恒©

平面晅亘1

过G做包亘于点I,则BF区中面回，即角区U为

面角cE]bf[I]d的平面角，则巨有口=[60。

.

GIiBF

G为BD中点，

在直角梯形BDEF中,

I;

G<

6

CCi-=

8则

用

鱼n上FUG=―—11

即CF与平面ABCD所成角的正弦值为

II

（H）方法

可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空

间直角坐标系D-xyz.

设DE=h,则D（0,0,0）,B（0,5,0）,C（—£

—乎，h）.

—।Ji—

SC=（—*10）BF=（0»

Jj）

22,2

设平面BCF的法向量为m=（x,v,z）,

[m,BC-0tmBF-0

取平面BDEF的法向量为n=（1,0,0）,

设CF与平面ABCD所成角为臼,

故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为H

该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正

弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化,在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法

8.

（1）见解析；

（2）口

BMBNp--=3

M口NP所以画画I,然后根据线面平行的判定定理可得结论成立.

（2）由因旺平

面反瓯।可得瓯叵1,于是瓯口平面回©

.又亟匹，所以直线画与平面晅所成角即直线匹।与平面匹，所成角，从而得到巨顿即为所求角，然后根据解三角形可得所求.

（1）因为AB=RUAD=BD|所以垂直平分线段瓯］.

又叵匚至吐

ir

MD--AD,所以I2Z.

在回区］中，由余弦定理得

AC*二口川+2ABkDCxsgADC=1+I-2乂IxI父烟120口二J

）

所以区=6

BMBN==3所以恒DKP

所以阿亚更工

又MN史库面pDCND匚］平面pDC|,

所以叵平面恒.

（2）因为叵引平面忖鱼，叵引平面世区n,

所以叵亘困，

又BD^AUPArA「=A|,

所以叵工平面区］.

由

（1）知NIN.：

PP|,

所以直线画与平面画©

所成角即直线回与平面国©

所成角,故由酗即为所求的角.

在叵亚国中，匹亘］,

1

DM2］siMDPM==一=一

所以IDP24|.

所以直线回।与平面叵©

所成角的正弦值为Q.

（1）证明空间中的位置关系时要注意解题的规范性和严密性，运用定理证明时要体现出定理中的关键性词语.

（2）用几何法求空间角时可分为三步，即“一找、二证、三计算”，即首先根据所求角的定

义作出所求的角，并给出证明，最后利用解三角形的方法得到所求的角（或其三角函数值）

（1）由勾股定理的逆定理可得晅三"

］，叵EDD；

又由条件可得到叵三亚,于是巨江］平面返回，可得叵匚返，从而得到瓯卫平面巨近I,根据面面垂直的判定定理得平面目!

四平面画.

（2）由题意得可得困，区I,座I两两垂直，故可建立空间直角坐

标系，结合题意可得点

于是可求得平面

亚回的法向量为何=（-又

=（-1.L0）|是平面画的一个法向量,求得

^os<

m,BC>

=—

U后结合图形可得所求余弦值

（1）由|AD=l|,恒三，区三回，得州+3二•••生区为直角三角形，且叵二区同理恒回为直角三角形，且叵工区.

又四边形迺正］是正方形，

•-Lni'

l

又恒迈区

.•.：

.1<

■!

在梯形中，过点作同作Bh~lc，n|于同,故四边形通回是正方形，

，KADR=45。

］.

在瓯同中.RH=CH=1|,.¥

BCH=4¥

乙BDC=45”

△DBC=90口

.巫巫］,巨亘□亚西三.•.叵忤面画瓯］,

又围上］平面包2

•^b-LbcI

又叩”口二以

...区壬乐面Rbd又区三平面|EB（・•・平面区口三I平面巨迫.

E,国所在直线为国轴

（2）由

（1）可得回，区］,日I两两垂直，以回为原点，叵］,建立如图所示的空间直角坐标系DM,

则上上上

令竺电画则皿=（0,光，&

1）［,反=（oz-1）

.R3y»

3Zp-3a）=（02-1）

22

M的坐标为（0「「）

・•・点•；

•彳

，C二（-是平面画的一个法向量

令EHI,得应三互通

M-BD-耳为锐角,

由图形知二面角

二.二面角M-BD-F

的平面角的余弦值为

利用空间向量求二面角的注意点

（1）建立空间直角坐标系时，要注意证明得到两两垂直的三条直线.然后确定出相应点的坐标，在此基础上求得平面的法向量.

（2）求得两法向量的夹角的余弦值后，还要结合图形确定二面角是锐角还是钝角，然后才能得到所求二面角的余弦值.这一点在解题时容易忽视，解题时要注意.

10.

（1）见解析

（2）12

CM=-AD

（1）通过取AD中点M,连接CM,利用2得到直角;

再利用‘EC可得区引平面踵］；

再根据线面垂直判定定理即可证明。

由前面已经证明的线面垂直，可得叵三回，而|DE~L|平面|ARC口1川匚］平面|A!

»

F

所以可得面面垂直。

（2）根据等体积法，变换顶点即可求得体积。

取匣|的中点0,连接国，回=AF==21回国］,

CM--AD,,,由四边形回面为平行四边形，可知I2I,在瓯国中，有巨巨三度］,.•.区工区］.

又匣二回，ne「=Q，匣二］平面回§

二叵三］平面®

，匹三纹］.

又恒工巫，皿DEf，恒口平面座迎@00平面1APEF］，，平面座8_L|平面|ADEF

（2）解：

由

（1）知平面恒①工］平面匣巨正

作RH1AD］，瓯口平面画面，BH-在

连接回I,

本题综合考查了线面垂直、面面垂直的判定，等体积法在立体几何中的应用等，关键注意书写的格式和步骤，属于中档题。