届高三数学 章末综合测试题3函数基本初等函数Ⅰ 函数的应用Word文件下载.docx
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B
3.已知函数f(x)=ln(x+),若实数a,b满足f(a)+f(b-1)=0,则a+b等于( )
A.-1B.0
C.1D.不确定
观察得f(x)在定义域内是增函数,而f(-x)=ln(-x+)=ln=-
f(x),∴f(x)是奇函数,则f(a)=-f(b-1)=f(1-b).
∴a=1-b,即a+b=1.
C
4.已知函数f(x)=则不等式f(x)>0的解集为( )
A.{x|0<x<1}B.{x|-1<x≤0}
C.{x|-1<x<1}D.{x|x>-1}
当x>0时,由-log2x>0,得log2x<0,即0<x<1.
当x≤0时,由1-x2>0,得-1<x≤0.故不等式的解集为{x|-1<x<1}.
5.同时满足两个条件:
①定义域内是减函数;
②定义域内是奇函数的函数是( )
A.f(x)=-x|x|B.f(x)=x3
C.f(x)=sinxD.f(x)=
为奇函数的是A、B、C,排除D.A、B、C中在定义域内为减函数的只有A.
A
6.函数f(x)=x与函数g(x)=
在区间(-∞,0)上的单调性为( )
A.都是增函数
B.都是减函数
C.f(x)是增函数,g(x)是减函数
D.f(x)是减函数,g(x)是增函数
f(x)=x在x∈(-∞,0)上为减函数,g(x)=
在(-∞,0)上为增函数.
7.若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则( )
A.a<b<cB.c<a<b
C.b<a<cD.b<c<a
a=lnx,b=2lnx=lnx2,c=ln3x.
∵x∈(e-1,1),∴x>x2.故a>b,排除A、B.
∵e-1<x<1,∴-1<lnx<ln1=0.
∴lnx<ln3x.∴a<c.故b<a<c,选C.
8.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若a=f(log47),
,c=f(0.2-0.6),则a、b、c的大小关系是( )
A.c<b<aB.b<c<a
C.c<a<bD.a<b<c
函数f(x)为偶函数,b=f(log3)=f(log23),c=f(0.2-0.6)=f(50.6).∵50.6>2>log23=log49>log47,f(x)在(0,+∞)上为减函数,∴f(50.6)<f(log23)<f(log47),即c<b<a.
9.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:
万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:
辆),若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )
A.45.606万元B.45.6万元
C.46.8万元D.46.806万元
设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆,总利润
L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30,
当x==10.2时,L最大.
但由于x取整数,∴当x=10时,能获得最大利润,
最大利润L=-0.15×
102+3.06×
10+30=45.6(万元).
10.若f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+3)=f(x),f
(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )
A.5 B.4
C.3 D.2
f(5)=f(2+3)=f
(2)=0,又∵f(-2)=f
(2)=0,∴f(4)=f
(1)=f(-2)=0,
∴在(0,6)内x=1,2,4,5是方程f(x)=0的根.
11.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为( )
A.[0,]B.[,]
C.[,]D.[,1]
因为f(x)在定义域内为单调递增函数,而在四个选项中,只有f·
f<0,所以零点所在区间为.
12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则当x∈[-4,-2]时,f(x)的最小值是( )
A.-B.-
C.D.-1
f(x+2)=3f(x),
当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,当x=1时,f(x)取得最小值.
所以当x∈[-4,-2]时,x+4∈[0,2],
所以当x+4=1时,f(x)有最小值,
即f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f
(1)=-.
第Ⅱ卷 (非选择 共90分)
二、填空题:
本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.若函数f(x)=ax2+x+1的值域为R,则函数g(x)=x2+ax+1的值域为__________.
要使f(x)的值域为R,必有a=0.于是g(x)=x2+1,值域为[1,+∞).
[1,+∞)
14.若f(x)是幂函数,且满足=3,则f=__________.
设f(x)=xα,则有=3,解得2α=3,α=log23,
15.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k的取值范围是__________.
设函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,结合图像可知,
即解得
故实数k的取值范围是.
16.设函数f(x)=
若f(x)为奇函数,则当0<x≤2时,g(x)的最大值是__________.
由于f(x)为奇函数,当-2≤x<0时,f(x)=2x有最小值为f(-2)=2-2=,故当0<x≤2时,f(x)=g(x)-log5(x+)有最大值为f
(2)=-,而当0<x≤2时,y=log5(x+)为增函数,考虑到g(x)=f(x)+log5(x+),结合当0<x≤2时,f(x)与y=log5(x+)在x=2时同时取到最大值,故[g(x)]max=f
(2)+log5(2+)=-+1=.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.
17.(10分)已知函数f(x)=()x,x∈[-1,1],函数g(x)=f2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a),求h(a).
∵x∈[-1,1],∴x∈.
设t=x,t∈,
则φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,
当a<时,g(x)min=h(a)=φ=-;
当≤a≤3时,g(x)min=h(a)=φ(a)=3-a2;
当a>3时,g(x)min=h(a)=φ(3)=12-6a.
∴h(a)=
18.(12分)设直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3.
(1)证明:
f(x)是奇函数;
(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.
(1)∵x=1是f(x)的图像的一条对称轴,
∴f(x+2)=f(-x).
又∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
(2)∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
若x∈[3,5],则(x-4)∈[-1,1],
∴f(x-4)=(x-4)3.
又∵f(x-4)=f(x),
∴f(x)=(x-4)3,x∈[3,5].
若x∈(5,7],则(x-4)∈(1,3],f(x-4)=f(x).
由x=1是f(x)的图像的一条对称轴,可知
f[2-(x-4)]=f(x-4),
且2-(x-4)=(6-x)∈[-1,1],
故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3,x∈(5,7]
综上,可知f(x)=
19.(12分)已知函数f(x)=-,常数a>0.
(1)设m·
n>0,证明:
函数f(x)在[m,n]上单调递增;
(2)设0<m<n,且f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值.
(1)任取x1,x2∈[m,n],且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=·
,
因为x1<x2,x1,x2∈[m,n],且m·
n>0
所以x1x2>0,即f(x1)<f(x2),
故f(x)在[m,n]上单调递增.
(2)因为f(x)在[m,n]上单调递增,f(x)的定义域、值域都是[m,n]⇔f(m)=m,f(n)=n,即m,n是方程-=x的两个不相等的正根⇔a2x2-(2a2+a)x+1=0有两个不相等的正根,
所以Δ=(2a2+a)2-4a2>0,>0⇒a>.
∴n-m==,a∈,∴a=时,n-m取取最大值.
20.(12分)如图所示,图①是定义在R上的二次函数f(x)的部分图像,图②是函数g(x)=loga(x+b)的部分图像.
(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)如果函数y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,求m的取值范围.
(1)由题图①得,二次函数f(x)的顶点坐标为(1,2),
故可设函数f(x)=a(x-1)2+2.
又函数f(x)的图像过点(0,0),故a=-2.
整理,得f(x)=-2x2+4x.
由题图②得,函数g(x)=loga(x+b)的图像过点(0,0)和(1,1),
故有∴
∴g(x)=log2(x+1)(x>-1).
(2)由
(1)得,y=g(f(x))=log2(-2x2+4x+1)是由y=log2t和t=-2x2+4x+1复合而成的函数,
而y=log2t在定义域上单调递减,要使函数y=g(f(x))在区间[1,m)上单调递减,必须t=-2x2+4x+1在区间[1,m)上单调递减,且有t>0恒成立.
由t=0,得x=.
又t的图像的对称轴为x=1,
所以满足条件的m的取值范围为1<m<.
21.(12分)金融风暴对全球经济产生了影响,温总理在广东省调研时强调:
在当前的经济形势下,要大力扶持中小企业,使中小企业健康发展.为响应这一精神,某地方政府决定扶持一民营企业加大对A、B两种产品的生产.根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②.(注:
利润与投资单位:
万元)
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:
怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元?
(精确到1万元)
(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元.
设f(x)=k1x,g(x)=k2.
由题图①知,f
(1)=,所以k1=.
又由题图②知,g(4)=,所以k2=.
从而f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设A产品投入x万元,则B产品投入(10-x)万元.
设企业利润为y万元,
则y=f(x)+g(10-x)=+(0≤x≤10).
令=t,
则y=+t=-(t-)2+(0≤t≤).
当t=时,ymax=≈4.此时x=10-=3.75.
故当A产品投入3.75万元,B产品投入6.25万元时,企业获得的最大利润约为4万元.
22.(12分)已知函数f(x)=(常数a>0),且f
(1)+f(3)=-2.
(1)求a的值;
(2)试研究函数f(x)的单调性,并比较f(t)与2的大小;
(3)设g(x)=-m(x+2)-2,是否存在实数m,使得y=g(x)有零点?
若存在,求出实数m的取值范围;
若不存在,请说明理由.
(1)由f
(1)+f(3)=+=-2,
得a(a-2)=0.
又a>0,所以a=2.
(2)由
(1)知,函数f(x)=,
其定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).
设x1,x2∈(-∞,2),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-
=<0,
即f(x1)<f(x2),
故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数.
同理,可得f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.
令h(x)==+2,
则函数h(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数.
当t∈时,f(t)>f=,h(t)<h=
(3)由
(1)得,g(x)=-m(x+2)-2.
函数g(x)的定义域为{x|x≥-2,且x≠2}.
故g(x)=-m(x+2)-2(x≥-2,且x≠2),
令t=(t≥0),
所以g(x)=0可转化为方程-mt2+t-2=0.
要使g(x)有零点,则方程-mt2+t-2=0必有正实数根,
当m=0时,t=2,=2,∴x=2,这与定义域不符.
当m>0时,>0,>0,所以如果方程存在实数根,则必为正实数根,故只需使Δ=1-8m≥0即可.
故m>0时,满足条件的m的取值范围为0<m≤,
当m<0时,方程有一正根一负根,符合题意.
所以m的取值范围是(-∞,0)∪.
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