初二上学期知识点总结.docx
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初二上学期知识点总结
人教版初二上册知识点总结
第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1三角形的有关概念
1•三角形:
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图
形叫做三角形。
△ABC中,线段AB、BC、CA叫做三角形的三条边,点A、B、C
叫做三角形的三个顶点,/A、/B、/C叫做三角形的三个内角,
简称三角形的角。
顶点是A、B、C的三角形,记做“△ABC”,读
作“三角形ABC”
11.1.2三角形的分类
一、按边分类:
1、等边三角形,2、等腰三角形(腰和底不等的三角形)3、不等边三角形
二、按角分类:
1、斜角三角形:
锐角三角形,钝角三角形2、直角三角形
11.1.3三角形的三边的关系
1•三角形中,第三边长的判断:
另两边之差V第三边V另两边之和.
2•三角形能否成立的条件是:
最长边v另两边之和.
3•直角三角形能否成立的条件是:
最长边的平方等于另两边的平方和.
4•分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.
11.1.4三角形的高、中线、角平分线
注意:
三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。
(2)三
角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。
而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。
(3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。
我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。
1三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外•注意:
三角形的角平分线、中线、高线都是线段•
2.三角形中的中位线:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
3•中线性质:
(1)、平分三角形一边
(2)、平分三角形的面积
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
常用结论:
任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:
三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分,根据结论3形成的平行
四边形的对角线平分可以推出结论4。
结论5:
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等,结论3中平行四边形的对角相等。
4•角平分线:
(1)、平分角到两边距离相等。
(2)、AABC有3个外角平分线交点,一个内角平分线交点,外角平分线交点是有2根外角平分线和一根内角平分线相交组成。
5•三角形的高:
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形的高有三条,特别强调:
锐角三角形的三条高都在三角形内部;钝角三角形的高有两条在三角形外部,一条在三角形内部;直角三角形的两直角边就是高线.任何三角
形的三条高所在直线交于一点,这点叫三角形的垂心.
11.1.5三角形的稳定性
三角形的形状是固定的,三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
11.2与三角形有关的角
11.2.1三角形内角和定理
三角形的三个内角和是180°
11.2.2直角三角形的性质与判定
1.直角三角形的两个锐角互余
2.直角三角形记做RtAABC
3.有两个角互余的三角形是直角三角形
11.2.3三角形的外角
1.定义:
三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形
的外角
2•三角形外角的性质:
①三角形的外角等于与它不相邻的两个内
角的和;②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
3•三角形的外角和为360°
11.3多边形及内角和
11.3.1多边形及正多边形
1•在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。
⑴多边形按照组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边
形三角形是最简单的多边形,如果一个多边形由n条线段
组成,那么这个多边形就叫做n边形。
⑵多边形相邻两边组成的角叫做它的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角;⑶多边形可分为凸多边形和凹多边形。
11.3.2多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
11.3.3n边形的内、外角和公式
1.n边形内角和公式:
n边形内角和等于(n—2)x180°
2.多边形的外角和是360°
三角形
儿何A级概念,(要求深刻理解、熟紡
k运用.主要用于几何证明)
1.三角形的角平分线定义:
:
•角形的一个角的平分线与这个角的对边相交•这个角的顶点和交点Z间的线段叫做0角形的角平分线.
(如图)
A
△
BCC
几何表达式举例:
(1)VAD平分ZBAC:
.ZBAD=ZCAD
(2)VZBAD=ZCADAAD是角半分线
2.三角形的中线定义1
在三角形中•连结•个顶点和它的对边的中点的线段叫做三用形的中线.
(如图)
A
△
B0C
儿何衣达式举例:
⑴TAD是三角形的中线
•••BD=CD
(2)TBD=CD
•••AD是三角形的中线
3.三角形的高线定义*
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
(如图)
A吕BDC
几何表达式举例,
(1)VAD是AABC的高・•・ZADB=90n
(2)•・•ZADB=90'
・•・AD是厶ABC的岛
※第三角形的三边关系定理,三角形的两边之和大于第三边•三角形的两边之差小于第三边.(如图)
A
A
△
儿何农达式举例,
(1)VAB+BOAC
■
(2)•・•AB・BC ■ BC 5.等腰三角形的定义* 有两条边相等的二角形叫做等腰三角形.(如图) A △ BC 儿何表达式举例: (1)•••△ABC是等腰三角形 ・•・AB=AC (2)•.*AB=AC AAABC是等腰三角形 6.等边三角形的定义, 有三条边相等的二角形叫做等边三角形.(如图) A A 几何表达式举例: (1)VAABC是等边三角形 ・・・AB=BC=AC (2)TAB=BC=AC AAABC是等边三角形 9■等直角三角形的定义: 两条直角边相等的点角三角形叫等腰直角: M.(如图) 几何表达式举例」 (1)VZC=90°CA=CB AAABC是等腰直角上角形 (2)TAABC是等腰直角三角形 ZC=905CA=CB 儿何农达式举例* (1)VZA+ZB+ZC=180n (2)VZC=90^ : 、ZA-ZB=90fi (3)ZACD=ZA-ZB 7.三角形的内角和定理及推论’ <1)三角形的内角和Mb: (如图〉 (2)直角三角形的两个锐角互余;(如图) (3)三角形的一个外角等于和它不相邻的卿个内角的和I(如图) 涙(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角” (4)VZACD>ZA 儿何表达式举例: (1)VZC=90* AZkABC屋茂角三角形 (2)VAABC是直角三角形 : .ZC=90” 7.幼因,以垂圈形屮,有两个車芟的性质,即】a (1)AC・CB=CD・AB( (2)Zl-ZB*Z2=ZA.yX. 8.三兄形屮,E寥右一个内角是钝角,但最少有■两牛外曲是钝価芮 »企等三和形中,扈合的点是对应顶点•对应顶点所甘的角足对脸你对应昭所对的边是对应边, 10.等边三角形是特殊的等腫三角形. 11.几何习题中■“丈字溉述题"需螫口己画隆L写已知、求证、证明, 12.符合“AAA”“SSA”条件的二怖形不能刿定全答. 13•几何习题经常用四种方法进行分析: (1)分析综合法; (2)方程分析法;(3)代入 分析法;(4)图形观察法. 14•几何基本作图分为: (1)作线段等于已知线段; (2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线. 15•作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注 意: 每步作图都应该是几何基本作图 16.几何画图的类型: (1)估画图; (2)工具画图;(3)尺规画图. 17.几何重要图形和辅助线: (1)选取和作辅助线的原则: 1构造特殊图形,使可用的定理增加;②一举多得; ③聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;④作辅助线必须符合几何基本作图 第十二章全等三角形 11.1全等三角形 1•形状,大小相同的图形放在一起能够完全重合。 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2•能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3•—个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但形状,大小都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。 4.把两个全等的三角形重合到一起。 重合的顶点叫做对应顶点。 重合的边叫做对应边,重 合的角叫做对应角。 5.全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等;有公共边的,公共边是对应边; 有对顶角的,对顶角是对应角; 一对最长的边是对应边•一对最短的边是对应边•;一对最大的角是对应角;一对最小的角是对应角• 11.2三角形全等的判定 1•三角形全等的判定方法一边边边 三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成”边边边”或”SSS')知识点二三角形全 2•三角形全等的判定方法二边角边 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”) 3.三角形全等的判定方法三角边角 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”) 4.三角形全等的判定方法四角角边 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或 “AAS”) 5•三角形全等的判定方法五斜边、直角边 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或 “HL”) 6•把两个全等的三角形重合到一起。 重合的顶点叫做对应顶点。 重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角。 7•全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等;有公共边的, 公共边是对应边;有对顶角的,对顶角是对应角;一对最长的边是对应边•一对最短的边是对应边•;一对最大的角是对应角;一对最小的角是对应角• 8.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 11.3角的平分线的性质 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 2证明一个几何中的命题的步骤: 1.明确命题中的已知和求证; 2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; 3.经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。 4.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 U.角平分线的性质定理及逆宦 儿何表达式举例T 理: (1)7OCT分ZAOB (1)在角平分蜿上的点到角的两 A 乂TCD丄OACE丄OE 边距离相竽;(如图) : .CD=CE (2)到角的两边距离相蒔的点在 (2)VCD丄OACE丄OB 角平分线匕(如图) XVCD=CE GE—B AOC是角平分践 第十二章轴对称 12.1轴对称 1•一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形。 这条直线叫做对称轴; 我们也说这个图形关于这条直线的轴对称。 2•把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。 3•性质: 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;在轴对称图形中,对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。 4•线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 判定: 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 [17.关于轴对称的定理 几何表达式举例* (1)关于某条直践对称的两个图 (1)ViABC.AEGF关 形是全等形! (如图) A M tTMN轴讨称 ⑵如果两个图形关丁•某条直线 0A AAABC^AEGF 对称,那么对称轴是对应点连线 > (2)VAABC.AEGF关 的垂直平分线.(如图) FMN轴对称 OA=OEMN1AE 1S.勾腔定理及逆定理: 儿何衣迖式举例: (1)直角三角形的两直角边茲 ⑴T/kABQ是直角三角 b的平方和等F斜边c的平方. 形 即a2+b2=c2;(如图) K Aa2-b2=c2 (2)如果三角形的三边长冇下而 \ ⑵Va2+bj=cj 关系: a2+b2=c2,那么这个形 LA AAABC是直拜三角修 足直角三角形.(如图) CB 13.线段眶直半分线的宦义: 诞育丁…条线段且平分这茶线段的直线,叫做这条线段的垂岗平分线.(如图) E 几何表达式举例: (1)VEF垂直平分AB /.EF丄ABOA-OB (2)VEF_ABOA=OB「•EF是AB的垂宜平分线 A0 B F 14.线设砺直平分线的性质宦理及逆定理: (1)线段淮11平分线1: 的点和这条线段的两个端点的距离相等; (如图〉 ⑵和一条线段的两个端点的距离相等的点.在这条线段的垂直平分线I.-(如图) A. 几何表达式举例* (1)VMN是线段AB的垂直平分践 /.PA=PB (2)VPA=PB 二点P在线曲AB的垂克半分线上 AICs ti 12.2作轴对称图形 12.2.1作轴对称图形 1•轴对称变换的特征: ①由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形,这个 图形的形状,大小完全相同。 ②新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的 对称轴;③连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 12.2.2用坐标表示轴对称 1•点(x,y)关于X轴对称的点的坐标为(x,-y); 2•点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y); 3•点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y). 12.3等腰三角形 12.3.1等腰三角形 1.性质: 等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上 的高相互重合。 (三线合一) 2.判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。 (等角对等边) 116.等腰三角形的判工疋理及推论: 1 丿L何衣达式举例: (1)如果•个丄角形有两个谢都相等*那么这两个和所 (1)VZB=ZC 对边也相等! (即等角对等边)(如图1 化AB=AC (2)三个角都相等的订fj形是等边三角形$(如图) (2)VZA=ZB=ZC 有一个角等于60°的等腫: 角形是等边三角形八如 AAABC是等边一角形 (3)VZA=60n “)在直角三角形中.如果仔•个角等『30“,那么它 又TAB=AC 所对的直角边是斜边的一半.(如图) AAABC是等边二角形 A (4)TZC=90*Z AAK I Bc(I)BC(2><3)cB(4) …AC=—A.B 12.3.2等边三角形 1.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等与60° 2•三个角都相等的三角形是等边三角形 3•有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 4•在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角三角形等于斜边的一半。 第十四章整式的乘除与因式分解 14.1整式的乘除 14.1.1同底数幕的乘法 同底数幕相乘,底数不变,指数相加。 14.1.2幕的乘方 幕的乘方,底数不变,指数相乘。 14.1.3积的乘方 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘。 14.1.4整式的乘法 1•单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的 字母,则连同它的指数作为积的一个因式。 2•单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。 3•多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 4•十字交叉法: (x+p)(x+q)=(x)2+(p+q)x+(pxq) 14.2乘法公式 14.2.平方差公式 1.平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b21522 完全平方公式 2•完全平方和公式: (a+b)2=a2+2ab+b2 完全平方差公式: (a-b)2=a2-2ab+b2 3•添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面的负号, 括到括号里的各项都改变符号。 14.3整式的除法 14.3.1同底数幕的除法 1•同底数幕相除,底数不变,指数相减。 2任何不等于0的数的0次幕都等于1。 14.3.2整式的除法 1・单项式相除,把系数与同底数幕分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 2•多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。 14.4因式分解 1.把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。 注意: 因式分解与乘法是相反的两个转化 2•因式分解的方法: 常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法” 14.4.1提公因式法 1、把ma+mb+me分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m, 另一个因式(a+b+C)是ma+mb+me除以m所得的商。 这种分解因式的方法叫做提公因式法。 2、公因式的确定: 系数的最大公约数•相同因式的最低次幕 注意公式: a+b=b+a;a—b=—(b—a);(a—b)2=(b—a)2;(a—b)3=—(b—a)3. 14.4.2公式法 1.公式: ①a2—b2=(a+b)(a—b) 2a2+2ab+b2=(a+b)2 3a2—2ab+b2=(a—b)2 2•因式分解的解题技巧: (1)换位整理,加括号或去括号整理; (2)提负号;(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项. 第十五章分式 15.1分式 1.分式: 一般地,用A、B表示两个整式,A—B就可以表示为B/A的形式,如果B中含有字母,式子B/A叫做分式. 2.有理式: 整式与分式统称有理式;即分式+整式=有理式. 3•对于分式的两个重要判断: (1)分式的分母中必须含有未知数,若分式的分母为零,则 分式无意义,反之有意义; (2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;注意: 若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义 4•分式的基本性质与应用: (1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变; 用式子表示为: A/B=A*C/B*CA/B=(A十C)/(B十C)(A,B,C为整式,且B、C丰0) (2)注意: 在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变; -分子-分子分子分子即一询厂而厂而厂顾 (3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单 15.2分式的运算 15.2.1•分式的约分: 把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;注意: 分式约分前经常需要先因式分解• 1522•最简分式: 一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;注意: 分式计算的最后结果要求化为最简分式• ❻为正整数) 分式的乘方八卩 9.负整指数计绎法则; _1_ (1)公式*aO=l(a^O).3-n=a°(aZO); CO正整指数的运算法则都可用于负整脂敷计算; 15.2.3•分式的通分: 根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意: 分式的通分前要先确定最简公分母 15.24最简公分母的确定: 系数的最小公倍数•相同因式的最高次幕 12・冋分却与异分密的彷式加减法法则t aba±bacadbead土be 一±—=;—士一=——t——= cccbdbdbdbd 15.2.5含有字母系数的一元一次方程: 在方程ax+b=0(a丰0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程. 注意: 在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数. 15.2.6公式变形: 把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意: 公式变形的本质就是解含有字母系数的方程 特别要注意: 字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不 为0. 15.2.7科学记数法: 把一个数表示成ax10? 曲疗」1「耳屮1 法叫做科学记数法。 用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时,其中10的指数是1n。 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数 (包括小数点前面的一个0)。 (m,n是整数) 15.2.8正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂. (1)同底数的幕的乘氐fd=am~n| (2)幕的乘方*(心)—a™; (3)积的乘方: (&占)'=『bfi• (4)同底数的歸的除法=/2=严(a#0), fl (5)简的乘方* (一)='■b/0) hb1 15.2.9.分式的四则运算: (1)同分母分式加减法则: 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。 用字母 表示为: a/c±/c=a土b/c (2)异分母分式加减法则: 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后 再按同分母分式的加减法法则进行计算。 用字母表示为: a/b±/d=(ad±cb)/bd (3)分式的乘法法则: 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分
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