届高考数学二轮复习第4讲导数与函数的单调性极值最值问题学案全国通用Word下载.docx
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(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=--1+=-.
(ⅰ)若a≤2,则f′(x)≤0,
当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
(ⅱ)若a>
2,令f′(x)=0得,
x=或x=.
当x∈∪时,f′(x)<
当x∈时,f′(x)>
所以f(x)在,上单调递减,
在上单调递增.
(2)证明 由
(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a>
2.
由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,
所以x1x2=1.
又∵x2>
x1>
0,所以x2>
1.
又t=f(x1)-f(x2)-(a-2)(x1-x2)
=--(x1-x2)+a(lnx1-lnx2)-(a-2)(x1-x2)
=a=-a.
设φ(x)=-x+2lnx,x>
由第
(1)问知,φ(x)在(1,+∞)单调递减,且φ
(1)=0,
从而当x∈(1,+∞)时,φ(x)<
所以+2lnx2-x2<
0,故t>
考点整合
1.导数的几何意义
函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
易错提醒 求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.
2.四个易误导数公式
(1)(sinx)′=cosx;
(2)(cosx)′=-sinx;
(3)(ax)′=axlna(a>
0,且a≠1);
(4)(logax)′=(a>
0,且a≠1,x>
0).
3.利用导数研究函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系.
①f′(x)>
0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常数函数.
(2)利用导数研究函数单调性的方法.
①若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>
0或f′(x)<
②若已知函数的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
4.利用导数研究函数的极值、最值
(1)若在x0附近左侧f′(x)>
0,右侧f′(x)<
0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;
若在x0附近左侧f′(x)<
0,右侧f′(x)>
0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.
(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
易错提醒 若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.
热点一 导数与定积分的几何意义
【例1】
(1)(2016·
全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.
(2)(2018·
邯郸调研)展开式的中间项系数为20,如图阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=a及x轴围成的封闭图形,则封闭图形的面积S=________.
解析
(1)令x>
0,则-x<
0,f(-x)=lnx-3x,
又f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),
∴f(x)=lnx-3x(x>
0),则f′(x)=-3(x>
∴f′
(1)=-2,
∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),
即2x+y+1=0.
(2)因为展开式的中间项系数为20,中间项为第四项,系数为C=20,解得a=2,
所以曲线y=x2和圆x2+y2=2在第一象限的交点为(1,1),所以阴影部分的面积为-(x-x2)dx=-=-.
答案
(1)2x+y+1=0
(2)-
探究提高 1.利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化,其中关键是确定切点的坐标.
2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点
(1)正确画出几何图形,结合图形位置,准确确定积分区间以及被积函数,从而得到面积的积分表达式,再利用微积分基本定理求出积分值.
(2)根据图形的特征,选择合适的积分变量.在以y为积分变量时,应注意将曲线方程变为x=φ(y)的形式,同时,积分上、下限必须对应y的取值.
【训练1】
(1)(2018·
武汉调研)设曲线y=在点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=________.
成都质检)
在平面直角坐标系内任取一个点P(x,y)满足则点P落在曲线y=与直线x=2,y=2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为________.
解析
(1)y′=
=,则曲线y=在点处的切线的斜率为k1=1.因为直线x+ay+1=0的斜率k2=-,
又该切线与直线x+ay+1=0垂直,
所以k1k2=-1,解得a=1.
(2)由解得
所以阴影部分的面积为dx=(2x-lnx)=(2×
2-ln2)-=3-2ln2,因此所求概率为=.
答案
(1)1
(2)
热点二 利用导数研究函数的单调性
考法1 确定函数的单调性(区间)
【例2-1】(2017·
全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x,其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
解
(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且a≤0.
f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)上单调递增.
②若a<
0,则由f′(x)=0,得x=ln.
当x∈时,f′(x)<
故f(x)在上单调递减,
在区间上单调递增.
综上所述,当a=0时,f(x)在R上单调递增;
当a<
0时,f(x)在上单调递减;
(2)①当a=0时,f(x)=e2x≥0恒成立.
0,则由
(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2,
故当且仅当a2≥0,
即0>
a≥-2e时,f(x)≥0.
综上,a的取值范围是[-2e,0].
考法2 根据函数的单调性求参数的取值范围
【例2-2】(2018·
广州质检)已知x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点.
(1)求函数f(x)的单调递减区间.
(2)设函数g(x)=f(x)-,若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增,求a的取值范围.
解
(1)f(x)=2x++lnx,定义域(0,+∞).
∴f′(x)=2-+=.
因为x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点,
所以f′
(1)=0,即2-b+1=0.
解得b=3,经检验,适合题意,所以b=3.
所以f′(x)=2-+=,
令f′(x)<
0,得0<
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1).
(2)g(x)=f(x)-=2x+lnx-(x>
0),
g′(x)=2++(x>
因为函数g(x)在[1,2]上单调递增,
所以g′(x)≥0在[1,2]上恒成立,
即2++≥0在[1,2]上恒成立,
所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立,
所以a≥(-2x2-x)max,x∈[1,2].
因为在[1,2]上,(-2x2-x)max=-3,所以a≥-3.
所以a的取值范围是[-3,+∞).
探究提高 1.求函数的单调区间,只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>
2.
(1)已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f′(x)=0在(a,b)上有解.
【训练2】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
解
(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)·
ex,
所以f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.
令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,
因为ex>0,所以-x2+2>0,解得-<x<.
所以函数f(x)的单调递增区间是(-,).
(2)因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增,
所以f′(x)≥0对x∈(-1,1)都成立.
因为f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex=[-x2+(a-2)x+a]ex,
所以[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈(-1,1)都成立.
因为ex>0,所以-x2+(a-2)x+a≥0,
则a≥==(x+1)-对x∈(-1,1)都成立.
令g(x)=(x+1)-,则g′(x)=1+>0.
所以g(x)=(x+1)-在(-1,1)上单调递增.
所以g(x)<g
(1)=(1+1)-=.
所以a的取值范围是.
热点三 利用导数研究函数的极值和最值
考法1 求函数的极值、最值
【例3-1】(2018·
北京卷)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行,求a;
(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
解
(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,
所以f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.
f′
(1)=(1-a)e.
由题设知f′
(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.
此时f
(1)=3e≠0.
所以a的值为1.
(2)f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.
若a>
,则当x∈时,f′(x)<
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>
所以f(x)在x=2处取得极小值.
若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<
0,ax-1≤x-1<
0,
所以f′(x)>
0.所以2不是f(x)的极小值点.
综上可知,a的取值范围是.
探究提高 1.本题利用导数的几何意义曲线在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行,求a值,切记,需检验切线是否与x轴重合.
2.
(1)可导函数在极值点处的导数一定为零,但导数为零的点不一定是极值点,是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点.
(2)求函数f(x)在闭区间[a,b]的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
【训练3】已知函数f(x)=excosx-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解
(1)∵f(x)=ex·
cosx-x,∴f(0)=1,
f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,∴f′(0)=0,
∴y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y-1=0·
(x-0),即y=1.
(2)f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,令g(x)=f′(x),
则g′(x)=-2sinx·
ex≤0在上恒成立,且仅在x=0处等号成立,
∴g(x)在上单调递减,
∴g(x)≤g(0)=0,∴f′(x)≤0且仅在x=0处等号成立,
∴f(x)在上单调递减,
∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f=-.
考法2 与函数极值点个数有关问题
【例3-2】(2018·
潍坊三模)已知函数f(x)=lnx+x2+ax(a∈R),g(x)=ex+x2.
(1)讨论函数f(x)极值点的个数;
(2)若对x>
0,不等式f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
解
(1)f′(x)=+x+a=(x>
令f′(x)=0,即x2+ax+1=0,其中Δ=a2-4.
①当a2-4≤0时,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立.
∴f′(x)≥0,则f(x)在(0,+∞)上递增,函数无极值点.
②当a2-4>
0时,由x2+ax+1=0,
得x1=,x2=(x1<
x2).
2,则x1<
x2<
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
∴f(x)在(0,+∞)上无极值点.
若a<
-2,则0<
x1<
x2,
∴x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>
当x∈(x1,x2)时,f′(x)<
故x1是f(x)的极大值点,x2是f(x)的极小值点.
综上:
-2时,f(x)有两个极值点,
当a≥-2时,f(x)无极值点.
(2)f(x)≤g(x)等价于lnx+x2+ax≤ex+x2,
则ex-lnx+x2≥ax,因此a≤,
设h(x)=(x>
h′(x)=
=.
当x∈(0,1)时,ex(x-1)+lnx+x2-1<
即h′(x)<
0,h(x)单调递减;
x∈(1,+∞)时,ex(x-1)+lnx+x2-1>
即h′(x)>
0,h(x)单调递增.
因此x=1为h(x)的极小值点,即h(x)≥h
(1)=e+1,故a≤e+1.
探究提高 1.求函数f(x)的极值,则先求方程f′(x)=0的根,再检查f′(x)在方程根的左右附近函数值的符号.
2.若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f′(x)=0根的大小或存在情况来求解.
【训练4】已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的最大值.
解
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a-=.
当a≤0时,f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点.
当a>
0时,由f′(x)<
;
由f′(x)>
0,得x>
,
∴f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)在x=处有极小值.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上没有极值点;
0时,f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.
(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值,
∴f′
(1)=a-1=0,则a=1,从而f(x)=x-1-lnx.
因此f(x)≥bx-21+-≥b,
令g(x)=1+-,则g′(x)=,
令g′(x)=0,得x=e2,
则g(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(e2)=1-,即b≤1-.
故实数b的最大值是1-.
1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个,这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用逗号或“和”字隔开.
2.可导函数在闭区间[a,b]上的最值,就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.
3.可导函数极值的理解
(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,也有可能极小值大于极大值;
(2)对于可导函数f(x),“f(x)在x=x0处的导数f′(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件;
(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系,导函数由正变负的零点是原函数的极大值点,导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.
4.求函数的单调区间时,若函数的导函数中含有带参数的有理因式,因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关,则需对参数进行分类讨论.
5.求函数的极值、最值问题,一般需要求导,借助函数的单调性,转化为方程或不等式问题来解决,有正向思维——直接求函数的极值或最值;
也有逆向思维——已知函数的极值或最值,求参数的值或范围,常常用到分类讨论、数形结合的思想.
一、选择题
1.曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为( )
A.y=x+1B.y=x-1
C.y=3x+1D.y=-x+1
解析 求导函数y′=ex+2,当x=0时,y′=e0+2=3,所以曲线y=ex+2x在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1.
答案 C
2.(2018·
安徽江淮十校联考)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(1,2]B.[4,+∞)
C.(-∞,2]D.(0,3]
解析 易知f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=x-.
因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,所以f′(x)≤0在[a-1,a+1]上恒成立,即0<
x≤3在[a-1,a+1]上恒成立,
所以解得1<
a≤2.
3.函数f(x)=3x2+lnx-2x的极值点的个数是( )
A.0B.1C.2D.无数
解析 函数定义域为(0,+∞),
且f′(x)=6x+-2=,
由于x>
0,g(x)=6x2-2x+1的Δ=-20<
所以g(x)>
0恒成立,故f′(x)>
0恒成立,
即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.
4.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
解析 利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)>0的解集对应y=f(x)的增区间,f′(x)<0的解集对应y=f(x)的减区间,验证只有D选项符合.
5.(2018·
郑州质检)若函数y=f(x)存在n-1(n∈N*)个极值点,则称y=f(x)为n折函数,例如f(x)=x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex-x(x+2)2,则f(x)为( )
A.2折函数B.3折函数
C.4折函数D.5折函数
解析 f′(x)=(x+2)ex-(x+2)(3x+2)=(x+2)(ex-3x-2),令f′(x)=0,得x=-2或ex=3x+2.
易知x=-2是f(x)的一个极值点,
又ex=3x+2,结合函数图象,y=ex与y=3x+2有两个交点.又e-2≠3(-2)+2=-4.
∴函数y=f(x)有3个极值点,则f(x)为4折函数.
二、填空题
6.(2018·
全国Ⅱ卷)曲线y=2ln(x+1)在点O(0,0)处的切线方程为________________.
解析 由题意得y′=.在点O处切线斜率k=y′|x=0=2.∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.
答案 y=2x
7.(2018·
郴州三模)已知奇函数f(x)=则函数h(x)的最大值为________.
解析 当x>
0时,f(x)=-1,f′(x)=,
∴当x∈(0,1)时,f′(x)<
0,函数f(x)单调递减;
当x>
0,函数f(x)单调递增.
∴x=1时,f(x)取到极小值e-1,即f(x)的最小值e-1.
又f(x)为奇函数,且x<
0时,f(x)=h(x),
∴h(x)的最大值为-(e-1)=1-e.
答案 1-e
8.对于函数y=f(x),若其定义域内存在两个不同实数x1,x2,使得xif(xi)=1(i=1,2)成立,则称函数f(x)具有性质P.若函数f(x)=具有性质P,则实数a的取值范围为________.
解析 依题意,xf(x)=1,即=1在R上有两个不相等实根,
∴a=xex在R上有两个不同的实根,令φ(x)=xex,
则φ′(x)=ex(x+1),
-1时,φ′(x)<
0,φ(x)在(-∞,-1)上是减函数;
-1时,φ′(x)>
0,φ(x)在(-1,+∞)上是增函数.
因此φ(x)极小值为φ(-1)=-.在同一坐标系中作y=φ(x)与y=a的图象,
又当x<
0时,φ(x)=xex<
由图象知,当-<
a<
0时,两图象有两个交点.
故实数a的取值范围为.
答案
三、解答题
9.(2018·
天津卷选编)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.
(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若d=3,求f(x)的极值.
解
(1)由已知,得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,
故f′(x)=3x2-1.因此f(0)=0,f′(0)=-1,
又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为
y-f(0)=f′(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.
(2)由已知得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3t-9)x-t+9t2.
故f′(x)=3x2-6t2x+3t-9.
令f′(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,t2-)
t2-
(t2-,t2+)
t2+
(t2+,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
极大值
极小值
所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×
(-)=6;
函数f(x)的极小值为f(t2+
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- 高考 数学 二轮 复习 导数 函数 调性 极值 问题 全国 通用