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3.7,11.15,……,这个等差数列的第100项是多少?
【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4,项数是100。
要求第100项,可根据“末项=首项+公差×
(项数-1)”进行计算。
第100项=3+4×
(100-1)=399.
练习2:
1.一等差数列,首项=3.公差=2.项数=10,它的末项是多少?
2.求1.4,7,10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2,6,10,14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列:
1.2.3.4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4,…,99,100与列100,99,…,3.2.1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×
100÷
2=5050
上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:
等差数列总和=(首项+末项)×
项数÷
2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习3:
计算下面各题。
(1)1+2+3+…+49+50
(2)6+7+8+…+74+75
(3)100+99+98+…+61+60
【例题4】求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。
要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:
公差+1=(50-2)÷
2+1=25
首项=2.末项=50,项数=25
等差数列的和=(2+50)×
25÷
2=650.
练习4:
(1)2+6+10+14+18+22
(2)5+10+15+20+…+195+200
(3)9+18+27+36+…+261+270
【例题5】计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
【思路导航】容易发现,被减数与减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。
进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。
因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。
(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)
=1+1+1+…+1
=50
练习5:
用简便方法计算下面各题。
(1)(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)
(2)(2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999)
(3)(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
挑战奥数
1.将14个互不相同的自然数,从小到大依次排成一列,已知它们的总和是170,如果去掉最大数和最小数,那么剩下的总和是150,在原来排成的次序中,第二个数是多少?
2.小明读一本英语书,第一次读时,第一天读35页,以后每天都比前一天多读5页,结果最后一天只读了35页便读完了;
第二次读时,第一天读45页,以后每天都比前一天多读5页,结果最后一天只需读40页就可以读完,问这本书有多少页?
第2讲:
盈亏问题
在日常生活中常有这样的问题:
一定数量的物品分给一定数量的人,每人多一些,物品就不够;
每人少一些,物品就有余。
盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是:
(1)(盈+亏)÷
两次分配差=份数
(大盈-小盈)÷
(大亏-小亏)÷
(2)每次分得的数量×
份数+盈=总数量
每次分得的数量×
份数-亏=总数量
例1:
一个植树小组植树。
如果每人栽5棵,还剩14棵;
如果每人栽7棵,就缺4棵。
这个植树小组有多少人?
一共有多少棵树?
由题意可知,植树的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案,结果相差14+4=18棵,即第一种方案的结果比第二种多18棵。
这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差7-5=2棵。
所以植树小组有18÷
2=9人,一共有5×
9+14=59棵树。
练习一
1,幼儿园把一些积木分给小朋友,如果每人分2个,则剩下20个;
如果每人分3个,则差40个。
幼儿园有多少个小朋友?
一共有多少个积木?
2,某校安排宿舍,如果每间6人,则16人没有床位;
如果每间8人,则多出10个床位。
问宿舍多少间?
学生多少人?
3,有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人;
如果减少一条船,正好每条船坐9人。
问:
这个班共有多少学生?
例2:
学校将一批铅笔奖给三好学生。
如果每人奖9支,则缺45支;
如果每人奖7支,则缺7支。
三好学生有多少人?
铅笔有多少支?
分析与解答:
这是两亏的问题。
由题意可知:
三好学生人数和铅笔支数是不变的。
比较两种分配方案,结果相差45-7=38支。
这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9-7=2支。
所以,三好学生有38÷
2=19人,铅笔有9×
19-45=126支。
练习二
1,将月季花插入一些花瓶中。
如果每瓶插8朵,则缺少15朵;
如果每瓶改为插6朵,则缺少1朵。
求花瓶的只数和月季花的朵数。
2,王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。
如果每人发5张,则少32张;
如果每人发3张,则少2张。
美术兴趣小组有多少名同学?
王老师一共有多少张图画纸?
3,老师将一些练习本发给班上的学生。
如果每人发10本,则有两个学生没分到;
如果每人发8本,则正好发完。
有多少个学生?
多少本练习本?
例3:
有一些少先队员到山上去种一批树。
如果每人种16棵,还有24棵没种;
如果每人种19棵,还有6棵没有种。
问有多少名少先队员?
有多少棵树?
这是两盈的问题。
少先队员的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案,结果相差24-6=18棵,这是因为两种分配方案每人种的树相差19-16=3棵。
所以,少先队员有18÷
3=6名,树有16×
6+24=120棵。
练习三
1,小虎在敌人窗外听里边在分子弹:
一人说每人背45发还多260发;
另一人说每人背50发还多200发。
有多少敌人?
多少发子弹?
2,杨老师将一叠练习本分给第一小组的同学。
如果每人分7本,还多7本;
如果每人分8本则正好分完。
请算一算,第一小组有几个学生?
这叠练习本一共有多少本?
3,崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。
如果每人分5支则多12支;
如果每人分8支还多3支。
请问每人分多少支刚好把彩色笔分完?
例4:
学校给一批新入学的学生分配宿舍。
如果每个房间住12人,则34人没有位置;
如果每个房间住14人,则空出4个房间。
求学生宿舍有多少间?
住宿学生有多少人?
把“每间住14人,则空出4个房间”转化为“每间住14人,则少14×
4=56人”。
比较两种分配方案,结果相差34+56=90人,而每个房间相差14-12=2人。
所房间数为90÷
2=45间,学生人数为12×
45+34=574人。
练习四1,某校有若干个学生寄宿宿舍,若每一间宿舍住6人,则多出34人;
若每间宿舍住7人,则多出4间宿舍。
问宿舍有多少间?
寄宿学生有多少人?
2,育才小学学生乘汽车去春游。
如果每车坐65人,则有15人不能乘车;
如果每车多坐5人,恰好多余了一辆车。
问一共有几辆汽车?
有多少学生?
3,学校分配学生宿舍。
如果每个房间住6人,则少2间宿舍;
如果每个房间住9人,则空出2个房间。
问学生宿舍有多少间?
例5:
少先队员去植树,如果每人挖5个树坑,还有3个坑没人挖;
如果其中2人各挖4个,其余的人各挖6个树坑,就恰好挖完所有树坑。
少先队员一共挖多少树坑?
如果每人都挖6个树坑,那么少(6-4)×
2=4个树坑,两次相差4+3=7个树坑。
这是因为两种分配方案每人挖的相差6-5=1个树坑。
所以,少先队员一共有7÷
1=7人,一共挖5×
7+3=38个树坑。
练习五
1,老师给幼儿园的小朋友分苹果。
如果每个小朋友分2个,还多30个;
如果其中的12个小朋友每人分3个,剩下的每人分4个,则正好分完。
一共有多少个苹果?
2,在一次大扫除中,老师分配若干人擦玻璃。
如果其中2人各擦4块,其余每人擦5块,则余22块;
如果每人擦7块,则正好擦完。
求擦玻璃的人数和玻璃的块数。
3,小红家买来一篮橘子分给全家人。
如果其中二人每人分4只,其余每人分2只,则多出4只;
如果其中一人分6只,其余每人分4只,则又缺12只。
小红家买来多少只橘子?
小红家一共有多少人?
1、在桥上用绳子测桥离水面的高度。
若把绳子对折垂到水面,则余8米;
若把绳子三折垂到水面,则余2米。
桥有多高?
绳子有多长?
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2、王师傅加工一批零件,每天加工20个,可以提前1天完成。
工作4天后,由于改进了技术,每天可多加工5个,结果提前3天完成。
这批零件有多少个?
第3讲平均数问题
专题简析:
我们经常用各科成绩的平均分数来比较班级之间,同学之间成绩的高低,求出各科成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛,例如,求平均身高问题,求某天的平均气温等。
求平均数问题的基本数量关系是:
总数量÷
总份数=平均数
解答平均数问题的关键是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”,然后用总数量除以总份数求出平均数。
例1:
二
(1)班学生分三组植树,第一组有8人,共植树80棵;
第二组有6人,共植树66棵;
第三组有6人,共植树54棵。
平均每人植树多少棵?
分析与解答:
因为二
(1)班学生分三组植树,由问题可知“平均范围”是三个组,是按人数平均,因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。
三个组植树的总棵数为:
80+66+54=200棵,总人数为:
8+6+6=20人,所以平均每人植树200÷
20=10棵。
练习一
1,电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台,后20天共生产电视机6300台。
这个月平均每天生产电视机多少台?
2,小明参加数学考试,前两次的平均分是85分,后三次的总分是270分。
求小明这五次考试的平均分数是多少。
3,二
(1)班学生分三组植树,第一组有8人,平均每人植树10棵;
第二组有6人,平均每人植树11棵;
第三组有6人,平均每人植树9棵。
二
(1)班平均每人植树多少棵?
例2:
王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。
其中两个同学身高153厘米,一个同学身高152厘米,有两个同学身高149厘米,还有两个同学身高147厘米。
求四年级羽毛球队同学的平均身高。
这道题可以按照一般思路解,即用身高总和除以总人数。
这道题还可以采用假设平均数的方法求解,容易发现,同学们的身高都在150厘米左右,可以假设平均身高为150厘米,把它当作基准数,用“基数+各数与基数的差之和÷
份数=平均数”。
(153×
2+152+149×
2+147×
2)÷
(2+1+2+2)=150厘米
或:
150+(3×
2+2-1×
2-3×
1,五
(1)班有7个同学参加数学竞赛,其中有两个同学得了99分,还有三个同学得了96分,另外两个同学分别得了97、89分。
这7个同学的平均成绩是多少?
2,气象小组每天早上8点测得的一周气温如下:
13℃、13℃、13℃、14℃、15℃、14℃、16℃。
求一周的平均气温。
3,敬老院有8个老人,他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、76岁、80岁。
求这8个老人的平均年龄。
例3:
从山顶到山脚的路长36千米,一辆汽车上山,需要4小时到达山顶,下山沿原路返回,只用2小时到达山脚。
求这辆汽车往返的平均速度。
求往返的平均速度,要用往返的路程除以往返的时间,往返的路程是36×
2=72千米,往返的时间是4+2=6小时。
所以,这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷
6=12千米。
练习三
1,小强家离学校有1200米,早上上学,他家到学校用了15分钟,从学校到家用了10分钟。
求小强往返的平均速度。
2,李大伯上山采药,上山时他每分钟走50米,18分钟到达山顶;
下山时,他沿原路返回,每分钟走75米。
求李大伯上下山的平均速度。
3,小亮上山时的速度是每小时走2千米,下山时的速度是每小时走6千米。
那么,他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米?
例4:
李华参加体育达标测试,五项平均成绩是85分,如果投掷成绩不算在内,平均成绩是83分。
李华投掷得了多少他?
先求出五项的总得分:
85×
5=425分,再算出四项的总分:
83×
4=332分,最后用五项总分减去四项总分,就等于李华投掷的成绩:
425-332=93分。
练习四
1,小军参加了3次数学竞赛,平均分是84分。
已知前两次平均分是82分,他第三次得了多少分?
2,小丽在期末考试时,数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分;
数学成绩公布后,她的平均成绩下降了1分。
小丽的数学考了多少分?
3,某班一次外语考试,李星因病没有参加。
其他同学的平均分是95分,第二天他的补考成绩是65分,如果加上李星的成绩后,全班的平均分是94分。
这个班有多少人?
例5:
如果四个人的平均年龄是23岁,四个人中没有小于18岁的。
那么年龄最大的人可能是多少岁?
因为四个人的平均年龄是23岁,那么四个人的年龄和是23×
4=92岁;
又知道四个人中没有小于18岁的,如果四个人中三个人的年龄都是18岁,就可去求另一个人的年龄最大可能是92-18×
3=38岁。
练习五
1,如果三个人的平均年龄是22岁,且没有小于18岁的,那么三个人中年龄最大的可能是多少岁?
2,如果四个人的平均年龄是28岁,且没有大于30岁的。
那么最小的人的年龄可能是多少岁?
3,如果四个人的平均年龄是25岁,四个人中没有小于16岁的,且这四个人的年龄互不相等。
那么年龄最大的可能是多少岁?
1.人民小学有100名学生参加数学竞赛,平均得分63分,其中男学生平均分是60分,女学生平均分是70分,男女生各有多少人?
2.2.甲、乙的平均数是26,乙、丙的平均数是28,甲、丙的平均数是21,求甲、乙、丙三数的平均数。
解答有关“图形面积”问题时,应注意以下几点:
1.细心观察,把握图形特点,合理地进行切拼,从而使问题得以顺利地解决;
2.从整体上观察图形特征,掌握图形本质,结合必要的分析推理和计算,使隐蔽的数量关系明朗化。
【例题1】人民路小学操场长90米,宽45米。
改造后,长增加10米,宽增加5米。
现在操场面积比原来增加了多少平方米?
【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积,就得到增加的面积。
操场现在的面积是(90+10)×
(45+5)=5000平方米,操场原来的面积是90×
45=4050平方米。
所以,现在的面积比原来增加5000-4050=950平方米。
1.有一块长方形的木板,长22分米,宽8分米。
如果长和宽分别减少10分米、3分米,面积比原来减少多少平方分米?
2.一块长方形铁板,长18分米,宽13分米。
如果长和宽各减少2分米,面积比原来减少多少平方分米?
3.一块长方形地,长是80米,宽是45米。
如果把宽增加5米,要使面积不变,长应减少多少米?
【例题2】一个长方形,如果宽不变,长增加6米,那么它的面积增加54平方米;
如果长不变,宽减少3米,那么它的面积减少36平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米?
【思路导航】由“宽不变,长增加6米,面积增加54平方米”可知,它的宽为54÷
6=9米;
由“长不变,宽减少3米,面积减少36平方米”可知,它的长为36÷
3=12米。
所以,这个长方形原来的面积是12×
9=108平方米。
1.一个长方形,如果宽不变,长减少3米,那么它的面积减少24平方米;
如果长不变,宽增加4米,那么它的面积增加60平方米。
2.一个长方形,如果宽不变,长增加5米,那么它的面积增加30平方米;
如果长不变,宽增加3米,那么它的面积增加48平方米。
3.一个长方形,如果它的长减少3米,或它的宽减少2米,那么它的面积都减少36平方米。
求这个长方形原来的面积。
【例题3】下图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求它的占地面积。
【思路导航】根据题意,因为一面利用着墙,所以两条长加一条宽等于16米。
而宽是4米,那么长是(16-4)÷
2=6米,占地面积是6×
4=24平方米。
1.右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场,求养鸡场的占地面积。
2.用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形,其中一边利用围墙,怎样才能使围成的面积最大?
3.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃,其中一面利用着墙。
如果每边的长度都是整数,怎样才能使围成的面积最大?
【例题4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是12平方米,中间花坛的面积是多少平方米?
【思路导航】把水泥路分成四个同样大小的长方形(如下图)。
因此,一个长方形的面积是12÷
4=3平方米。
因为水泥路宽1米,所以小长方形的长是3÷
1=3米。
从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差,所以小正方形的边长是3-1=2米。
中间花坛的面积是2×
2=4平方米。
1.有一个正方形的水池,如下图的阴影部分,在它的周围修一个宽8米的花池,花池的面积是480平方米,求水池的边长。
2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形(如图),大正方形的面积是64平方米,小正方形的面积是4平方米,长方形的短边是多少米?
3.已知大正方形比小正方形的边长多4厘米,大正方形的面积比小正方形面积大96平方厘米(如下图)。
问大小正方形的面积各是多少?
【例题5】一块正方形的钢板,先截去宽5分米的长方形,又截去宽8分米的长方形(如图),面积比原来的正方形减少181平方分米。
原正方形的边长是多少?
【思路导航】把阴影部分剪下来,并把剪下的两个小长方形拼起来(如图),再被上长、宽分别是8分米、5分米的小长方形,这个拼合成的长方形的面积是181+8×
5=221平方分米,长是原来正方形的边长,宽是8+5=13分米。
所以,原来正方形的边长是221÷
13=17分米。
1.一个正方形一条边减少6分米,另一条边减少10分米后变为一个长方形,这个长方形的面积比正方形的面积少260平方米,求原来正方形的边长。
2.一个长方形的木板,如果长减少5分米,宽减少2分米,那么它的面积就减少66平方分米,这时剩下的部分恰好是一个正方形。
求原来长方形的面积。
3.一块正方形的的玻璃,长、宽都截去8厘米后,剩下的正方形比原来少448平方厘米,这块正方形玻璃原来的面积是多大?
一个边长是7厘米的正方形纸片,最多能裁出多少个长是4厘米,宽是1厘米的长方形纸条?
第5讲一般应用题
解答应用题时,必须认真审题,理解题意,深入细致地分析题目中数量间的关系,通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段,找到解题的突破口,从而使问题得以顺利解决。
【例题1】某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里,1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。
每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具?
【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里,那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。
因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多,所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。
这样,5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。
由此,可求出一个塑料箱装多少件。
(1)百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。
如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多,每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?
(2)新华小学买了两张桌子和5把椅子,共付款195元。
已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍,每张桌子多少元?
(3)王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆,共付款156元。
已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。
每千克荔枝和每千克桂圆各多少元?
【例题2】一桶油,连桶重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克。
油和桶各重多少千克?
【思路导航】原来油和桶共重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克,说明用去的一半油的重是180-100=80(千克),一桶油的重量就是80×
2=160(千克),油桶的重量就是180-160=20(千克)。
(1)一筐梨,连筐重38千克,吃去一半后,连筐还有20千克。
梨和筐各重多少千克?
(2)一筐苹果,连筐共重35千克,先拿一半送给幼儿园小朋友,再拿剩下的一半送给一年级小朋友,余下的苹果连筐重11千克。
这筐苹果重多少千克?
(3)一只油桶里有一些油,如果把油加到原来的2倍,油桶连油重38千克;
如果把油加到原来的4倍,这里油和桶共重46千克。
原来油桶里有油多少千克?
【例题3】有5盒茶叶,如果从每盒中取出200克,那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。
原来每盒茶叶有多少克?
【思路导航】由条件“每盒取出200克,5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出,拿出的200×
5=1000(克)茶叶正好等于原来的5-4=1(盒)茶叶的重量。
(1)有6筐梨子,每筐梨子个数相等,如果从每筐中拿出40个,6筐梨子剩下的个数总和正好和原来两筐的个数相等。
原来每筐有多少个?
(2)在5个木箱中放着同样多的橘子。
如果从每个木箱中拿出60个橘子,那么5个木箱中剩下的橘子的个数的总和等于
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