八年级数学三角形直角三角形的性质同步练习新人教版Word文件下载.docx
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②∠FCB=∠FBC,③∠A=∠DCB;
④∠CFE与∠CBF互余.
A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③
6.如图所示,AB⊥BD,AC⊥CD,∠D=35°
,则∠A的度数为( )
A.65°
B.35°
C.55°
D.45°
7.如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB于点D,则图中小于平角的角的个数为( )
A.5B.6C.7D.8
8.在△ABC中,满足下列条件:
①∠A=60°
,∠C=30°
;
②∠A+∠B=∠C;
③∠A:
∠C=3:
4:
5;
④∠A=90°
﹣∠C,能确定△ABC是直角三角形的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点,则此三角形一定是( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.等腰直角三角形D.直角三角形
10.Rt△ABC中,∠ACB=90°
,若∠ACD=50°
,则与∠BCD相邻的外角度数是( )
A.130°
B.140°
C.30°
D.40°
11.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°
,则∠BOC的大小为( )
A.140°
B.160°
C.170°
D.150°
12.如图,在△ABC中,∠ACB=105°
,∠B=30°
,∠ACB的平分线CD交AB于点D,则AD:
BD=( )
A.
B.
C.1:
2D.
13.如图,∠AOB=40°
,OC平分∠AOB,直尺与OC垂直,则∠1等于( )
A.60°
B.70°
C.50°
14.在长方形台球桌上打台球时,球的反射角∠1等于入射角∠2,如图所示.如果∠3=30°
,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为( )
A.30°
C.60°
15.下列说法错误的是( )
A.直角三角板的两个锐角互余
B.经过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行
C.如果两个角互补,那么,这两个角一定都是直角
D.平行于同一条直线的两条直线平行
二.填空题(共6小题)
16.直角三角形的一个锐角为42°
,另一个锐角为 .
17.如图,在△ABC中,CE,BF是两条高,若∠A=70°
,∠BCE=30°
,则∠EBF的度数是 ,∠FBC的度数是 .
18.直角△ABC中,∠A﹣∠B=20°
,则∠C的度数是 .
19.已知直角三角形的一个锐角为40°
,则它的另一个锐角的度数为 .
20.一个直角三角形两个锐角的差是20°
,那么这两个锐角分别是 °
和 °
.
21.在一个直角三角形中,已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°
,则两个锐角分别为 .
三.解答题(共4小题)
22.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD是高.
(1)图中有几个直角三角形?
是哪几个?
(2)∠1和∠A有什么关系?
∠2和∠A呢?
还有哪些锐角相等.
23.在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=2∠B,求出∠A,∠B的度数.
24.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,F是AC延长线上一点,FD⊥AB,垂足为D,FD与BC相交于点E,∠BED=55°
.求∠A的度数.
25.已知,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°
,D是AB上一点,且∠ACD=∠B.
(1)如图1,求证:
CD⊥AB;
(2)将△ADC沿CD所在直线翻折,A点落在BD边所在直线上,记为A′点.
①如图2,若∠B=34°
,求∠A′CB的度数;
②若∠B=n°
,请直接写出∠A′CB的度数(用含n的代数式表示).
参考答案与试题解析
1.
解:
∵在Rt△ABC中,∠C=90°
,
∴∠A=90°
﹣35°
=55°
故选:
B.
2.
设∠B=x°
,则∠A=3x°
由直角三角形的性质可得∠A+∠B=90°
∴x+3x=90,解得x=22.5,
∴∠B=22.5°
3.
A、应为“直角三角形中,已知两直角边的边长为3和4,则斜边的边长为5”,故错误;
B、应为“三角形是直角三角形,三角形的直角边分别为a,b,斜边为c则满足a2+b2=c2”,故错误;
C、比如:
边长分别为3,4,5,有32+42=25=52,能构成直角三角形,故错误;
D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°
,75°
,90°
,因而是直角三角形,故正确.
D.
4.
∵在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°
∴另一个锐角的度数是90°
﹣60°
=30°
5.
如图所示,
①∵BE平分∠ABC,
∴∠5=∠6,
∵∠3+∠4=90°
,∠A+∠3=90°
∴∠A=∠4,
∵∠1=∠A+∠6,∠2=∠4+∠5,
∠1=∠2,
故∠CFE=∠CEF,所以①正确;
②若∠FCB=∠FBC,即∠4=∠5,
由
(1)可知:
∠A=∠4,
∴∠A=∠5=∠6,
∵∠A+∠5+∠6=180°
∴∠A=30°
即只有当∠A=30°
时,∠FCB=∠FBC而已知没有这个条件,故②错误;
③∵∠3+∠4=90°
即∠A=∠DCB,故③正确;
④∵∠1=∠2,∠1+∠5=90°
∴∠2+∠5=90°
即:
∠CFE与∠CBF互余,故④正确.
6.
∵AB⊥BD,AC⊥CD,
∴∠B=∠C=90°
∴∠A+∠AEB=∠D+∠CED=90°
又∵∠AEB=∠CED,
∴∠A=∠D=35°
7.
小于平角的角有:
∠A、∠B、∠ACB、∠ACD、∠BCD、∠ADC、∠BDC共7个.
C.
8.
时,∠B=180°
﹣30°
=90°
,是直角三角形;
②∠A+∠B=∠C时,∠C=90°
5时,∠C=180°
×
<90°
,是锐角三角形;
﹣∠C时,∠A+∠C=90°
,∠B=90°
综上所述,是直角三角形的有①②④共3个.
9.
A、等腰三角形,三条高线交点在三角形内或外或某一顶点处,故A错误;
B、等边三角形,三条高线交点在三角形内,故B错误;
C、因为已知无法确定其两腰相等,而只要是直角三角形就行了,不一定非得是等腰直角三角形,故C错误;
D、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点,所以可以得出这个三角形是直角三角形,故D正确.
10.
∵∠ACB=90°
,∠ACD=50°
∴∠BCD=40°
则与∠BCD相邻的外角度数是180°
﹣40°
=140°
11.
∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°
∴∠COA=90°
﹣20°
=70°
∴∠BOC=90°
+70°
=160°
12.
作DM⊥AC于M,DN⊥BC于N,
∵∠ACB=105°
∴∠A=180°
﹣105°
=45°
∵CD是∠ACB的平分线,DM⊥AC,DN⊥BC,
∴DM=DN,
在Rt△ADM中,AD=
=
DM,
在Rt△DNB中,BD=
=2DN,
∴AD:
BD=
:
2,
13.
如图所示:
根据题意得:
∠1=∠2=∠3,
∵OC平分∠AOB,
∴∠AOC=
∠AOB=20°
∴∠3=90°
∴∠1=70°
14.
∵∠3=30°
∴∠2=90°
=60°
∵∠1=∠2=60°
15.
A、直角三角形中的两个锐角互余,所以直角三角板的两个锐角互余,故本选项说法正确;
B、根据平行公理可知:
过直线外一点作已知直线的平行线,能作且只能作一条,故本选项说法正确;
C、如果两个角互补,那么,这两个角和一定是180°
,但是它们不一定都是直角,故本选项说法错误;
D、根据平行线的递等性知平行于同一条直线的两条直线平行.故本选项说法正确;
16.
∵直角三角形的两个锐角互余,
∴当直角三角形的一个锐角为42°
时,另一个锐角为90°
﹣42°
=48°
故答案为:
48°
17.
在Rt△ABF中,∠A=70,CE,BF是两条高,
∴∠EBF=20°
,∠ECA=20°
又∵∠BCE=30°
∴∠ACB=50°
∴在Rt△BCF中∠FBC=40°
20°
,40°
18.
若∠A是直角时,
∵△ABC是直角三角形,∠A﹣∠B=20°
∴∠B=70°
∴∠C=20°
若∠C是直角,∠A=55°
,满足题意,
即∠C的度数是20°
或90°
故答案为20°
19.
而一个锐角为40°
∴另一个锐角的度数为90°
=50°
故答案为50°
20.
两个锐角和是90度,
所以一个直角三角形两个锐角的差为20°
则这两个锐角的度数分别是55°
,35°
55,35.
21.
设另一个锐角是x,则这个锐角是4x+15°
根据题意得,x+4x+15°
解得x=15°
4x+15°
=4×
15°
+15°
=75°
所以,这两个锐角分别为75°
、15°
75°
22.
(1)∠ACB=90°
,∠ADC=90°
∴图中有3个直角三角形,分别是△ACD,△BCD,△ABC.
(2)∵∠ADC=90°
∴∠1+∠A=90°
∵∠1+∠2=90°
∴∠2=∠A,∠1=∠B.
23.
∴∠A+∠B=90°
∵∠A=2∠B,
∴2∠B+∠B=90°
∴3∠B=90°
解得∠B=30°
综上,可得
∠A=60°
24.
∵FD⊥AB于D,
∴∠BED+∠B=90°
∴∠A=∠BED=55°
25.
(1)∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵∠ACD=∠B,
∴∠B+∠BCD=90°
∴∠BDC=90°
∴CD⊥AB;
(2)①当∠B=34°
时,∵∠ACD=∠B,
∴∠ACD=34°
由
(1)知,∠BCD+∠B=90°
∴∠BCD=56°
由折叠知,∠A'
CD=∠ACD=34°
∴∠A'
CB=∠BCD﹣∠A'
CD=56°
﹣34°
=22°
②当∠B=n°
时,同①的方法得,∠A'
CD=n°
,∠BCD=90°
﹣n°
CD=90°
﹣2n°
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