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0.75,于是可得质点运动方
2t2
112t
0.75
12bt2运动,v0、
2
为何值时总加速度在数值上等于b?
(3)当加速度达到b时,质点已沿圆周运行了多少圈?
1-22一质点沿半径为R的圆周按规律sv0t
b都是常量.
(1)求t
时刻质点的总加速度大小;
(2)t
知识点:
圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式.本题采用线量的方式来描述圆周运动的运动方程。
解
(1)质点作圆周运动的速率为
其加速度的切向分量和法向分量分别为
故加速度的大小为
(2)要使aan2at2b,由b2(v0R2bt)b可得
tv0b
(3)从t=0开始到t=v0/b时,质点经过的路程为
因此质点运行的圈数为
2v04πbR
kt2,
(2)取t=0
为4.0m·
s-1.求:
(1)该轮在t′=0.5s的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度;
(2)该点在2.0s内所转过的角度.
分析--题目的另一种描述方法:
一质点(即题目中轮缘一点)作半径为R=0.50m的圆周运动,且(t)
dt
其中k为未知常数。
在t=2.0s时v4m·
s-1.求:
(1)在t′=0.5s时质点的角速度,切向加速度和法向加速度;
s时00,求t=2.0s时的(t2)。
第一问--圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式;
第二问--运动学积分问题:
已知速度及初位置求某时
刻质点位置
d2
解
(1)因ωR=v,且(t)kt2得
vR(t)Rkt2,
将t=2.0s时v4m·
s-1代入上式解得k2,
所以ωω(t)2t2。
则t′=0.5s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为
21
2t20.5rads1
atRd4Rt1
tdt
241
anR24Rt4
2)在2.0s内该点所转过的角度
1-24一质点在半径为0.10m的圆周上运动,其角位置为θ24t,式中θ的单位为rad,t的单位为s.
(1)求在t=2.0
s时质点的法向加速度和切向加速度.
(2)当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ值为多少?
(3)t为多少时,法
向加速度和切向加速度的值相等?
圆周运动的加速度的切向分量及法向分量表达式.
此时刻的角位置为
324Rt
224
R212t2
t=0.55s
第二章牛顿定律
DACB
F的作用下沿x轴作直线运动,已知F=120t+40,式中F的单位为N,t的单位的s.在5.0m处,其速度v=9m·
s-1.求质点
(1)在任意时刻的速度和
(2)位置.
-14一质量为10kg的质点在力t=1时,质点位于x
1)由牛顿第二定律有
牛顿第二定律应用:
已知力及初速度(或某个时刻的速度)求任意时刻速度解
aF12t4
m
(2)由v
dx
及上面所求得的速度表达式,
vdt(6t24t1)dt
32
x2t32t2tC2
又由题目条件,t=1s时x=5,代入上式中解得C2
2,于是可得质点运动方程为
2t3
2t2t2。
2-20质量为45.0kg的物体,由地面以初速60.0m·
sN/(m·
s-1).
(1)求物体发射到最大高度所需的时间。
已知力及初速度(或某个时刻的速度)度的表达式,只需要得到速度和时间之间的关系式。
解
(1)物体在空中受重力mg和空气阻力Fr=kv作用而减速.
-1竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr=kv,且k=0.03
求任意时刻速度。
在这个题目中,并不需要得到速
由牛顿定律得
mg
dvm
将上式改写成微元等式,有dt
g
dv
k
v
dv,积分得到k
gv
mkln(g
mkv)
C。
由题意,将t=0时速度为v0
60代入上式,有
mkln(gk
mkv0)
,即
mln(gkv0),
km
故有时间和速度的关系为m
tkln(g
v0)m
kln(g
v)m
ln(
k1
v0
mg)
k)
又当物体发射到最大高度时,速度
0,所以有此时所对应时间为
kv0
2-22质量为m的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,并受到一定的阻力,使得它能达到的最大速率是以下情况从摩托车由静止加速到vm/2所需的时间:
(1)阻力Fr=kv2;
(2)阻力Fr=kv,其中k为未知比例系数。
已知力及初速度(或某个时刻的速度)求任意时刻速度。
和上题一样,在这个题目中,并
不需要得到速度的表达式,只需要得到速度和时间之间的关系式。
解
(1)设摩托车沿x轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有
tmln1
6.11s。
vm
试计算
当加速度a=dv/dt=0时,摩托车的速率最大,此时牵引力和阻力相抵消,因此可得
代入上式中有
Fkv2
k=F/vm2
F1v2vm
mdv,
将上式改写成微元等式,并利用1
1v2vm
Ftvmln(1v)m2vm
v2mln(1
1有
v)
F
1v2
(dv
21vm
dvv)
,两边积分有
1vvmln(21vm
vm)
由t=0时,v=0,代入上式,有C=0。
则当v=vm/2时,有2F
1
tvmln(
2Fm1
21)
2F
vmln3
2)设摩托车沿x轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr同时作用下,由牛顿定律有
kvmdv
F1v
k=F/vm
将上式改写成微元等式,有Fdt
dv,两边积分有
1v
vmln(1
由t=0时,v=0,代入上式,有C=0。
则当v=vm/2时,有t
mFvmln(1
12)
Fvm
ln2
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
T1,T3、4、5:
CCDC
3-6一架以3.0×
102m·
s-1的速率水平飞行的飞机,与一只身长为0.20m、质量为0.50kg的飞鸟相碰.设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度,而原来飞鸟对于地面的速率甚小,可以忽略不计.试估计飞鸟对飞机的冲击力(碰撞时间可用飞鸟身长被飞机速率相除来估算).
质点动量定理的应用:
已知速度变化求平均作用力
解以飞鸟为研究对象,取飞机运动方向为x轴正向.由动量定理得
FΔtmv0
式中F′为飞机对鸟的平均冲力,等式右边的0指小鸟的初始动量忽略不计,而身长为20cm的飞鸟与飞机碰撞时间约为Δtl/v,以此代入上式可得
Fmv2.55105N
l
根据作用力和反作用力定律,则鸟对飞机的平均冲力为
FF2.55105N
3-8Fx=30+4t(式中Fx的单位为N,t的单位为s)的合外力作用在质量m=10kg的物体上,试求:
(1)在开始2s内此力
的冲量;
(2)若冲量I=300N·
s,此力作用的时间;
(3)若物体的初速度v1=10m·
s-1,方向与Fx相同,在t=6.86s时,此物体的速度v2.
冲量的定义,质点动量定理的积分形式
解
(1)由冲量定义It2Fdt,有
t1
I304tdt30t2t20268Ns
(2)由I=300=30t+2t2,解此方程可得
t=6.86s(另一解t<
0不合题意已舍去)
t2
(3)由动量定理,IFdtmv2mv1,t1
又由I30t2t2可知t=6.86s时I=300N·
s,
将I、m及v1代入可得
0处运动到x=L处的过程中力F对质点所作功和质点在x=L处的速率.
3-17质量为m的质点在外力F的作用下沿Ox轴运动,已知t=0时质点位于原点,且初始速度为零.设外力F随距离变化规律为FF0F0x.试求质点从x
功的定义,动能定理
W1mv
L处的质点速率为
3ct2
代入F(v)=kv2,得到物体所受阻力的大小和时间关系为
功的定义
解水桶在匀速上提过程中,拉力F与水桶重力P平衡,有
F+P=0
(在图示所取坐标下,)(注:
考试时括号文字不写)记初始时刻水桶内水的质量为m0,则水桶重力随位置的变化关系为
Pm0g0.2gy
其中y为水桶的高度,以井底为y=0。
则由功的定义Wy2Fdy,有人对水桶的拉力的功为
y1
l10
WFdym0g0.2gydy900J
3-21一质量为0.20kg的球,系在长为2.00m的细绳上,细绳的另一端系在天花板上.把小球移至使细绳与竖直方向成30°
角的位置,然后从静止放开.求:
(1)在绳索从30°
角到0°
角的过程中,重力和张力所作的功;
(2)物体在最低位置时的动能和速率;
(3)在最低位置时的张力.
势能定义,重力势能函数,机械能守恒:
已知某一过程质点的初始及末位置,求功、动能变化、速度变化等;
圆周运动和受力关系
解
(1)张力由于和小球运动方向垂直,故做功为零。
由保守力做功和势能的关系,则重力做功有WEPEP1EP2。
又若将小球最低点取为势能零点,
重力势能函数为EP()mghmgl1cos。
将1300,200代入公式,有重力做功为
又由初始时动能为零Ek1
0,故在最低位置时,亦即在
00时的动能为
Ek2Ek
2Ek1
EkEPW0.53J
小球在最低位置的速率为
EP
(3)当小球在最低位置时,记张力为FT,则由牛顿定律可得
mv
FTmgl,
其中Fnmv为圆周运动的法向力,则有
nl
FTmg2.49N
第四章刚体的转动
T5:
B
4-28我国1970年4月24日发射的第一颗人造卫星,其近地点为4.39×
105m、远地点为2.38×
106m.试计算卫星在近地点和远地点的速率.(设已知卫星绕地球运动过程角动量守恒。
)
角动量守恒,引力势能的函数,机械能守恒
解记近地点处卫星离地球距离为r1,速率为v1,远地点处则分别为r2、v2。
由于卫星绕地球运动轨迹为以地球为焦点的椭圆,且在近地点和远地点处的速度方向与地球到卫星连线相垂直,则由角动量
又因卫星与地球系统的机械能守恒,故有
式中mE和m分别为地球和卫星的质量。
将v2r1v1代入上式有
r13
v21v16.31103ms
4-30如图所示,一质量为m的小球由一绳索系着,以角速度ω0在无摩擦的水平面上,作半径为r0的圆周运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力,使小球作半径为r0/2的圆周运动.试求:
(1)小球新的角速度;
(2)拉力所作的功.
5
角动量守恒,质点动能定理
运动时角动量相等Lmr020m(r0)2
故新的角速度为40
(2)当小球作半径为r0的圆周运动时速度为v0r00,作半径为r0/2的圆周运动时速度为vr2r00。
由动能定理,
有
322
W
Ek
mv0
mr00。
k2
200
第五章
静
电场
T1-3:
BBD
5-9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求在棒的延长线,且离棒中心为r>
0处的P点上的
(1)电场强度E
(2)电势V,以无穷远处电势为0.
连续带电体电场强度、电势求解:
1)电荷元积分法解:
(1)沿着带电细棒建立坐标轴x,以棒的中点为坐标原点。
在棒上任取一个线微元dx,其电荷元为dq,由均匀带电有dq=
Qdx/L。
记该电荷元的坐标为x,离P点距离为r,则有rrx,该电荷元对P点所产生的电场强度大小为
整个带电体在点P的电场强度为
2)沿着带电细棒建立坐标轴x,以棒的中点为坐标原点。
在棒上任取一个线微元dx,其电荷元为dq,由均匀带电有dq=Qdx/L
记该电荷元的坐标为
x,离P点距离为r
,则有r
rx,该电荷元对P点所产生的电势大小为
dVdq
Qdx,
40r'
4
0L(rx)
则整个带电体在点P
的电势大小为
VdV
dq
L/2
Qdx
,(注意积分时r是常数)
40r'
L/24
0L(r
x)
Q
r
解得V
ln
。
4π
0Lr
6-21两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面,半径分别为R1和R2>
R1),单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r处
的电场强度:
(1)r<
R1,
(2)R1<
r<
R2,(3)r>
R2.
连续带电体电场强度求解:
2)高斯定理法
解作带电体的同轴圆柱面(半径为r,高为L)为高斯面,则由电荷分布对称性,在圆柱面侧面上任意一点电场强度大小相等,方向垂直于高斯面,而在圆柱面底面上电场强度方向与面相平行,无电通量。
因此,高斯面上的电通量和r处电场强度的
QinQin
关系为eES侧=E2πrL。
又由高斯定理eQin/0,则有E=inin,则对应于r为不同的位置:
0S侧2rL0
1)r<
R1,高斯面所包围的带电体为0,故有Qin0,E10
3)r>
R2,高斯面所包围的带电体正负相抵,净电荷为0故有Qin0,E30。
5-22如图所示,有三个点电荷Q1、Q2、Q3沿一条直线等间距分布且Q1=Q3=Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零,求在固定Q1、Q3的情况下,将Q2从点O移到无穷远处外力所作的功.
电势差和静电力做功的关系
点电荷的电势,电势定义:
电势和电势能的关系,电势和电场强度的关系,
解由题意Q1所受的合力为零及库仑力的定义Fq1q22,有
4π0r2
Q1Q22Q1Q320
4πε0d4πε02d
11
解得Q2Q3Q
2434
由于Q1、Q3都是点电荷,则由点电荷电势的公式Vq及电势叠加原理得Q1、Q3在点O的电势
4π0r
Q1Q3Q
4πε0d4πε0d2πε0d
则有Q2在点O的电势能为EP0Q2V0。
将Q2从点O推到无穷远处(V0)的过程中,由电场力作功与电势能差的关系有电场力做功为,
WEP0EPQ2V0VQ2V0
补充例题:
均匀带电球体的电场强度
设有一半径为R,均匀带电为Q的球体,求球体内部任意一点P(距离球心r<
R)的电场强度。
(球体外部一点的电场强度求法和P169例1相同)
解作带电体的同心球面(半径为r)为高斯面,则由电荷分布对称性,在该球面上任意一点电场强度大小相等,方向垂直于
高斯面,因此,高斯面上的电通量和r处电场强度的关系为eES球=E4πr2。
又由高斯定理eQin/0,则有
Qin2。
又由半径为r的高斯面所包围的球体的体积为4r,及球体均匀带电,有高斯面内所包围电量为:
r203
E(Rr)3QrQ
E23
4r204R30
第十三章热力学基础
T1-5:
BBCDA
3523
13-10一定量的空气,吸收了1.71103J的热量,并保持在1105Pa下膨胀,体积从1102m3增加到
23
1.510m,问空气对外做了多少功?
它的内能改变了多少?
四个准静态过程的性质---等压过程。
523解:
由题意,该过程为等压过程,其中压强为P110Pa,初末状态体积分别为V1110m,
233
V21.5102m3,过程中吸热为Q1.71103J。
由等压过程做功公式,气体对外做功为
P
VP(V2V1)500J;
由热力学第一定律:
QEW,
代入热量和功的值有内能变化为E
1.21103J。
13-211mol氢气在温度为300K,体积为0.025m3的状态下,经过
(1)等压膨胀;
(2)等温膨胀;
(3)绝热膨胀。
气体的体积都变为原来的两倍。
试分别计算这三种过程中氢气对外作的功以及吸收的热量。
四个准静态过程的性质
解:
由题目给出条件,氢气为双原子气体,分子自由度i5,绝热系数1.4,气体的初状态为T1300K,
V10.025m3,末状态体积为V22V1。
(1)等压过程:
气体对外做功为WPVP(V2V1),又由理想气体物态方程(v1),PV1RT1,解得
RT13
则有WP(V2V1)1(V2V1)RT12.49103J;
V1
由摩尔定压热容的定义有吸收热量为QCP,m(T2T1)(i1)R(T2T1),又由理想气体物态方程(v1),
PV1RT1,PV2RT2有
iii73
Q
(1)R(T2T1)
(1)P(V2V1)
(1)WW8.73103J
2222
(2)等温过程:
EiRT0,由热力学第一定律
2气体吸热等于做功,且QWRTlnV2RTln21.73103J。
i11(3)绝热过程:
Q0,由热力学第一定律WER(T2T1),需要求T2。
又由绝热关系T1V11T2V21,
221
亦即T2T1(V1)13000.50.4227K,故有V2
i3WERT2.58.31731.52103J。
13-31在夏季,假定室外温度恒定为37.00C,启动空调使室内温度始终保持在17.00C.如果每天有2.51108J的热量通过热传导等方式自室外流入室内,则空调一天耗电多少?
(设该空调制冷机的制冷系数为同条件下的卡诺制冷机制冷系数的60%)
制冷系数定义,卡诺制冷系数
由题目给出条件,高温热源温度为T1310.15K,低温热源T2290.15K,每天输入低温热源热量为
8
Qin2.51108J。
又由题意,制冷机制冷系数为
e0.6e卡0.6T28.70,且根据制冷系数定义eQ2,其中Q2为由低温热源输出的热量,为求W,需要知
T1T2W
道Q2。
由于制冷机工作状态下要令低温热源温度不变,所以要外界输入热量Qin完全输出到制冷机,也就是Q2Qin2.51108J,故有WQ2Qin2.89107J8kWh。
v6t24tC1
3-19一物体在介质中按规律x=ct3作直线运动,c为一常量.设介质对物体的阻力F(v)=kv2,其中k为已知阻力系数。
试求物体由x0=0运动到x=l时,阻力所作的功.
解由运动方程x=ct3,可得物体的速度
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