完整版曲线积分与曲面积分习题及答案Word格式.docx
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xzk,
为立体0xa,0y
a,0
za,
2)xyzi
yzx
jzxyk,
为椭
球面
x2y2z21,流向外侧。
a2b2c2
32.求向理场axyi
cosxyj
cosxz2k的散度。
33.利用斯托克斯公式计算曲经积分ydxzdyxdz其中为圆周,
x2y2z2a2,xyz0,若从x轴正向看去,这圆周取逆时针方向。
34.证明y2dx
xydyxzdz
0,其中为圆柱面x2y2
2y与y
z的交
线。
35.求向量
场axy
ix3yzj3xy2k,其
中为
圆周
z
2x2y2,z
0。
36.求向量场
zsinyi
zxcosyj的旋度。
37.计算y2z2dxz2x2dyx2y2dz,其中为用平面3
xyz切立方体0xa,0ya,0xa的表面所得切痕,若从ox轴的下向看去与逆时针方向。
(B)
1.计算Lyds,其中L为抛物线y22px由0,0到x0,y0的一段。
2.计算y2ds,其中L为摆线xatsint,yarcost一拱
0t2
3.求半径为a,中心角为24的均匀圆弧(线心度1)的重心。
4.计算Lzds,其中L为螺线xtcost,ytsint,zt0t2。
5.计算2122ds,其中L为空间曲线xtcost,ytsint,Lxyz
zt上相应于t从0变到2的这段弧。
6.设螺旋线弹簧一圈的方程为xacost,yasint,zkt0t2,
它的线心度为x,y,yzx2y2z2,求:
1)它关于z轴的转动惯量Iz;
2)它的垂心。
7.设L为曲线xt,yt2,zt3上相应于t从0变到1的曲线弧,把对
坐标的曲线积分PdxQdyRdz化成对弧长的曲线积分。
8.计算Lxydx2x2ydy,其中L为圆周x2y2a2(按逆时针方向绕Lx2y2
行)。
9.计算Lydxzdyxdz,其中L为曲线xacost,yasint,zbt,从t0到t2的一段。
10.计算x2y2dx
x2y2dy,其中L为y1|x|0x2方向为x
2,1
11.验证曲线积分2xey
1,0
增大的方向
ydxx2eyx2ydy与路径无关并计算积分
12.证明当路径不过原点时,曲线积分12,1,2xdx2yd2y与路径无并,并计算
1,1xy
积分值。
13.利用曲线积分求椭圆x2y21的面积。
a2b2
14.利用格林公式计算曲线积分x2ydxxsin2ydy,其中L是圆周
y2xx2上由点0,0到点1,1的一段弧
逆时针方向。
部分。
所截得的有限部分。
标。
fx,y,z
22.
计算xzdxdyxydydzyzdzdx,其中
是平面x
0,y
0,
z0,
yz
1所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。
23.
计算1dydz1dxdz1dxdy,其中
为椭球面x2
2y
2z
1。
xyz
a2
b2
c
24.
计算yzdydzzxdxdyx
ydxdy,式
中
为
圆锥面
0,z
x2y2z0zh的外表面。
25.设ux,y,z,vx,y,z是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数,u、v依次表示ux,y,z,vx,y,z沿外法线方向的方向导数。
证nn
明:
uvvudxdydzuvvuds,其中是空间闭区域的整个边nn
界曲面,这个公式叫做格林第二公式。
26.利用斯托克斯公式计算曲线积分x2yzdxy2xzdyz2xydz
其中L是螺旋线xacost,yasint,zht,从A0,0,0到Ba,0,h的一段。
27.设uux,y,z是有两阶连续偏导数,求证:
rotgradu0。
(C)
xaax
1.求曲线的弧长yaarcsin,zln从O0,0到Ax0,y0,z0。
a4ax
2.计算12ds,其中L为悬链线yachx。
Ly2a
3.求均匀的弧xetcost,yetsint,zett0的重心坐标。
内有连续的导函数,求
fx
7.已知曲线积分xxysinxdxfxdy与路径无关,fx是可微函数,
Lx
且f0,求fx。
8.设在平面上有Fxiyj32构成内场,求将单位质点从点1,1移到2,4
2232
xy
场力所作的功。
11.计算
zx2y20z1的下侧
12.计算曲面积分I
|xyz|ds,其中的方程为|x||y||z|1。
21xdydz,其中是曲线yx0x1绕x轴
旋转一周所得曲面的外侧
13.计算Lx2xydxx22xy2dy,其中L为由点A4,0到点O0,0的上半圆周x2y24x
14.证明3yxdxy33xdy与路径无关,其中L不经过直线xy0,
Lxy3
且求2,33yxdxy33xdy的值。
1,0xy3
15.求圆锥zx2y20zh的侧面关于oz轴的转动惯量
2222
16.选择a,b值使y22xyax2x222xyby2dy为某个函数ux,y的
x2y2
全微分,并求原函数ux,y。
x
17.计算曲面积分e22dxdy,其中为曲面zx2y2,平面z1,
z2所围立体外面的外侧。
18.证明
1)uvuvvu2uv;
2)xx
1.解:
两点间直线段的方程为:
y1x,0x1
故ds1y2dx112dx2dx所以Lxydx0x1x2dx2。
1
acos
a
2,0
y
asin
2.解:
L的参数方程为
则x2y2
|a|21cos
1|a|212cos21
|a|cos
dsx2y2d
sin
cos
|a
所以Lx2y2ds
12
cosd
1a22sin
220
2sin
2a
3.解:
dsx2y2dt
atcost
atsintdtatdt
4.
x2
y2ds
cost
tsint
sint
tcost2atdt
t3dt
t2
t4
4
a31
解:
如图
ex2y2
L
ds
L1
exyds
yds
ex2y2ds
L1:
L2:
,0xa,ds
,0
xa,
acost
,0x
asint
02dxdx
L3
112dx2d
adt
dxx2y2dt
asint2acost2dt
5.解:
x3
x3L
7
3a3
6.解:
ds
ex
y3
a3
exdx
xa
e|0
cos4t
x2y2dt
9asintcos
y3ds
1cos6t
6
2x2
sin4t
e2x2dx
ae
04eaadt
ea24a2
3acostsint3asintcost
tdt3asintcostdt
3a32
4t
sintsintcostdt
1sin6t
z2dt
4a3
asint2acost2
a2dt
2adt
y2
22atacost2
22adtasint2
t2dt
7.解:
xydx
8.解:
直线段
x3t,y
故Lx3dx
2at
3
1y2yy
dy
AB的方程为
3|02
832a
1y4dy215y5
5
1z,化成参数方程为
2t,zt,t从1变到0
3xydyxydz
3t33t2t
23t22tdt
871t3dt87
9.解:
直线的参数方程为
x1t,y12t,z1
3t(0t1)
xdxydyxy1dz
1t21
2t
31t1
2t1
dt
614tdt
13
10.解
:
L2aydx
9ydy
2aa1
a1cost
a1
tco
stsintdt
1cos
2a
21
dta
02
yy2
11.解
1)原式
1y2
y2y
costasintdt
cos2t
1sin2tdt
2y3
ydy
y4
3y
12yh2
34
2)原式
t21
2t2
2tdt
12.解:
LPx,y
2)ds
故P
3)ds
10t
104
t
1)
dx
5t2
9t
L的方向余弦
Qx,ydy
2dt
2x2dx,cos
114x2
x,ydxQx,ydy
121xxx2dx,
9t2
131
x,y
5Qx,y
1dx14x2
2x
14x2
Px,y2xQx,yds
sin12xx2
故LPx,ydxQx,ydy
L2x
x2P
x,y1xQx,yds
13.解:
因为PQ
yx
ecosy
故原积分与路径无关,于是
原式
OBBA
0dx
cosym
sin2a
ma2。
14.解:
x4
4xy
,Q6x
4xy
x2y2,解得
故当
3时,所给积分与路径无关
1,2
0,0
32
4xydx6x
5y4dy
0x44x0dx
24
y25y4
79
取ACCB计算,
其中
A0,0
,C1,0,B1,2
15.解:
原式L
2x3
2xdx
2y
y2dy
2x52x3x
54
2y54y4
2y2
30
P
dxdy
0dy
Pdxdyy
LPdx
Qdy
16.解取
y,Qx
2xdx1
1,Q1可得面积x
A1
D
1xdy
2L
ydx
设A1为在第I象限部分的面积,由图形的对称性所求面积
A4A14xdyydx
202acos3t3asin2tcostasin2t3acos2tsintdt
ba202sin2tcos2tdt
注:
还可利用dxdyxdyydx
因为QP,所以积分与路径无关
,故2xydx
x2dy是某个ux,y的全微分
取路径
3,2
124x
8dx
254y
18.解:
Q
2xsinx
xcosy
dxdy0。
19.解:
3,
38
dx3
4dy
xdx
03
20.解:
1)Q2x
9y2dy236
xP2x
2ye,xcosx2xsinx2yey
31dxdy4dxdy
ux,y
x,4
0,02xydx
x2dy
00dx0xdy
x2y
2)Q
3x216x
,ux,y
x,y2
0,03x2y
8xy2dx
x38x2y12yeydy
00
x3
8x2y12yeydy
x32
y4x
yeyey12
21.解:
Dxy:
2,dx1
2zx
zy2dxdy14x24y2dxdy
故原式
14x24y2dxdy
Dxy
rcos29rsin
14rcos24rsin2rdr
r214r2rdr
r21
4r2drh2
r2
0u14udu
149
22.解:
|x||y|x2
Dxy
1zxzydxdy
4xyx2y214DxyI
y2dxdy
这里DxyI
为Dxy在第一象限部分
r4sincos14r2rdr0
0212sin2
7414r2rdr
0r414rd
214r2t1r
15t4
2t21t2dt
12551
420
23.解:
z6
2x2y,ds
122dxdy
3dxdy
原式2xy2x2
62x2y3dxdy
24.
25.
3dx
27
M
平面
zx
20dx
因而x
3x
2x2
2xy2ydy
zds
y21x2
21r21r27dr02
zx这部分的面积
21563
zy2dxdy
2dxdy
xds
yds
11
故重心坐标为1,,
333
26.解:
因为曲面积分
11xxdx
2dy1
1x1
0y2dy3
有向曲面,所以
Rx,y,zdxdy
Rx,y,0dxdyDxy
当积分曲面取在的上侧时为正号,取在下侧时为负号
27,解:
DxyAB,面积为0,zdxdy0
Dyz0,y,z|x0,0y1,0z3,
Dzxx,0,z|0x1,y0,0z3
原式1y2dydz1x2dzdx
DyzDzx
312
0dz01y2dy
dz1
x2dx
22y1yh2
arcsiny
20
28.解:
根据轮换对称,
只要计算
z2dxdy
xa
b2R2
注意到:
z
R2xa2yb2
再利用极坐标可得
222
cRxaybdxdy
R2xa2yb2dxdy
4e
R2
bdxdy
r2rd
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