六年级数学思维训练数论综合三Word下载.docx
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13.已知存在三个小于20的自然数,它们的最大公约数是1,且两两均不互质.请写出所有可能的答案.
14.三个两位奇数,它们的最大公约数是l,但是两两均不互质,且三个数的最小公倍数共有18个约数.求所有满足要求的情况.
15.1×
4×
7×
lO×
2008的末尾有多少个连续的零?
16.一个四位数除以它后两位数字组成的两位数,余数恰好是它前两位数字组成的两位数.如果它后两位数字组成的两位数是质数,那么原来的四位数是多少?
17.任意一些末两位数是25的数相乘,它们的乘积末两位数仍是25,我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”.显然000是“变不掉的三位数尾巴”,请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”.
18.在3和5之间插入6、30、20三个数,可以得到3、6、30、20、5这样一串数,其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积.请你在4与3之间插入三个非零自然数,使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积.
19.M、N是互为反序的两个三位数,且M>N.请问:
(1)如果M和N的最大公约数是7,求M;
(2)如果M和N的最大公约数是21,求M.
20.用l、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B,那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少?
21.请将l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行,使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数.
22.一根红色的长线,将它对折,再对折,…,经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断,得到一些红色的短线;
一根白色的长线,经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断,得到一些白色的短线.已知红色短线比白色短线多.m且它们的数量之和是100的倍数.请问:
红色短线至少有多少条?
三、解答题(共8小题,满分0分)
23.求出所有正整数n,使得25+n能整除25×
n.
24.一个自然数至少有4个约数,并且该数等于其最小的4个约数的平方之和,请找出这样的自然数.
25.一个四位数的各位数字互不相同,将其千位与个位数字调换后形成新的四位数,新四位数与原数的最大公约数是63,则原四位数可能是多少?
26.一个不超过200的自然数,如裂川四进制表示,那么它的数字和是5;
如果用六进制表示,那么它的数字和是8;
如果用八进制表示,那么它的数字和是9.如果用十进制表示,这个数是多少?
27.把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边,得到一个四位数,这个四位数能被这两个质数之和的一半整除.这样的两个质数乘积最大是多少?
最小是多少?
28.用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数,你能否从这120个数里面找出11个数来,使得它们除以11的余数互不相同?
如果五个数字是1、3、4、6、8呢?
29.用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B.请问:
A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少?
最小公倍数最小可能是多少?
30.我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”:
如果一个整数M能被K整除,则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除,请求出100以内的所有的“巨人数”.
参考答案与试题解析
【分析】
(1)估算出40000和41000之间的平方数即可.
(2)估算略大于800、8000以及80000的数,看看有没有在它左边写上80后所得的数是完全平方数的数即可.
【解答】解:
(1)2002=40000,2012=40401,2022=40804,可见只有401和804可以.
(2)估算略大于800,没有;
估算略大于8000,没有;
估算略大于80000的数可得:
2842=80656,因此,最小数是656.
【分析】对任意偶数2k,其平方4k2必能被4整除,对任意奇数2k+1,其平方4k2+4k+1被4整除余1,由于当n≥4,1×
n+3被4除余3,故当n≥4时,1×
n+3不可能是一个自然数的平方.
对任意偶数2k,其平方4k2必能被4整除,对任意奇数2k+1,其平方4k2+4k+1被4整除余1,由于当n≥4,1×
将n=1,2,3代入知:
1+3=4=22
1×
3+3=9=32
故n=1,或n=3.
答:
自然数n的值为1或3.
【分析】设两个完全平方数个分别为A×
A和B×
B,由题意,B×
B﹣A×
A=3333,可以写作(B+A)×
(B﹣A)=3333,而3333=3×
11×
101,有可能的形式是3333=3333×
1或1111×
3或101×
33或303×
11,然后进行讨论解决.
两个完全平方数个分别为A×
(B﹣A)=3333而3333=3×
11也就是说A和B的和可能是3333,差可能是1,或者和是1111,差是3,诸如此类,共有4种情况但因为完全平方数A×
B是四位数,A和B最多是两位数,所以只能有A和B的和是101,差是33,那么A=(101﹣33)÷
2=34,原来的四位数为34×
34=1156.
【分析】首先所有的奇数有1、3、5、7、9五个数字,再进一步根据被数整除的特征逐一分析探讨得出答案即可.
从1、3、5、7、9中选出3个,
显然无9,因为若有9,要求其他两位数字之和为9的倍数,这是做不到的.
从1、3、5、7选出三个数共4种情况,而有5时必须在末尾
①1、3、5:
135,315;
②1、3、7:
无(1+3+7=11不是3的倍数);
③1、5、7:
175,715(不是7的倍数,舍去);
④3、5、7:
735,375(不是7的倍数,舍去);
所以符合条件的三位数有:
135、315、175、735.
【分析】①设这样的两位数的十位数字为A,个位数字为B,由题意依据数的组成知识,可知100A+B能被10A+B整除;
②因为100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.而90A=2×
32×
5×
A,A的取值范围是1至9这9个数字.利用穷举法即可推出符合条件的两位数.
设这样的两位数的十位数字为A,个位数字为B,由题意依据数的组成知识,可知100A+B能被10A+B整除.
因为100A+B=90A+(10A+B),由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.
因为90A=2×
A,根据A的取值,可以列举出所有符合题意的两位数如下表所示:
由上述列举可得,符合条件的两位数分别是:
10,15,18,20,30,40,45,50,60,70,80,90
10+15+18+20+30+40+45+50+60+70+80+90
=(10+90)+(20+80)+(30+70)+(40+60)+50+15+45+18
=450+60+18
=528
所有满足条件的两位数之和是528.
【分析】设组成两个三位数为A和B,(A,B,540)表示A,B和540的最大公约数,设d=(A,B,540),540=2×
5,因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数,所以d的因数中不可能包含5,则d的最大值为:
3=108,据此解答即可.
设(A,B,540)表示A,B和540的最大公约数,
设d=(A,B,540),540=2×
5,
因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数,
所以d的因数中不可能包含5,
则d的最大值为:
3=108,
此时这两个三位数分别是432、756.
这两个三位数应该分别是432、756.
【分析】设自然数为n,与99的乘积为99n,然后根据99的整除性质,可知99n能同时被9和11整除,被9整除:
各位数字和,是9的倍数;
被11整除:
奇数位数字和与偶数位数字和的差,能被11整除(或为0).再根据各位数字都是偶数,且数字和是9的倍数,那么数字和就是18的整数倍.经过试算,可知两位数、三位数、四位数、五位数只军无解,六位数时,228888为最小的符合条件的数,进一步解决问题.
设自然数为n,与99的乘积为99n,
99=9×
11,99n能同时被9和11整除,
被9整除:
奇数位数字和与偶数位数字和的差,能被11整除(或为0).
各位数字都是偶数,且数字和是9的倍数,那么数字和就是18的整数倍.
再看怎么满足能被11整除,
数字和为18,不能满足;
数字和为36,18﹣18=0,满足,
经试乘积最小为228888.
所求自然数最小为:
228888÷
99=2312.
满足要求的最小值2312.
【分析】由于这三个自然数其中每一个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除,所以三个数的形式应为:
ab,ac,bc,其中a,b,c两两互质,且不能为1.取最小的三个,两两互质的数2,3,5,得三个数分别为2×
3=6,2×
5=10,3×
5=15.
根据题意可知,三个数的形式应为:
ab,ac,bc,
其中a,b,c两两互质,且不能为1.
取最小的三个,两两互质的数2,3,5,
得三个数分别为2×
6+10+15=31.
三个自然数的和的最小值是31.
【分析】设小华赢了x局,小明赢了x+t局,t是正整数,则3x+t﹣3x=99m,m也是正整数,即3x×
(3t﹣1)=11×
9m.
设小华赢了x局,小明赢了x+t局,t是正整数,
则3x+t﹣3x=99m,m也是正整数,
即3x×
9m,
所以3t﹣1是11的倍数,
32﹣1=8,33﹣1=26,34﹣1=80,这些都不是11的倍数,
而35﹣1=242=11×
22,可以满足条件,所以t最小值为5.
所以他们最少玩了5局,小明赢5局,小华赢0局.
他们至少玩了5局.
【分析】首先,所有的奇数应该都具有这样的性质,因为它添加到任何自然数的右端必然还是奇数,而N+1是偶数,奇数不可能被偶数整除.只要找出2008个自然数中奇数的个数即可,据此解答.
N+1是偶数,奇数不可能被偶数整除,只要找出2008个自然数中奇数的个数即可.
因为1至2008这2008个自然数中有1004个奇数,那么这2008个数中有1004个“破坏数”.
(1)因为14×
14=196,15×
15=225,因此,平方的前两位是20的三位数不存在;
那么再看平方的前两位是20的四位数,前两位是20的四位数最小是45×
45=2025,因此最小数是45.
(2)平方最后一位是4的,只有2×
2或8×
8,但要满足后两位为04,通过试探,只有48×
48=2304,符合最小数.
(3)通过试探448×
448=200704,符合要求.
8,但通过试探,只有48×
(3)448×
448=200704,最小数是448.
【分析】分以下情况讨论:
①n=1;
②n=2;
③n≥3.针对每种情况进行讨论分析,得出结果.
当n=1,此时1+4=5,不是两个相邻自然数的乘积;
当n=2,此时1×
2+4=6=2×
3;
当n≥3时,1×
n+4除以3余1.而两个相邻的数相乘除以3余0或2,矛盾,证毕.
所以n=2.
【分析】三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
有三组:
6,10,15;
12,10,15;
18,10,15;
有3组这种可能的答案:
18,10,15.
【分析】首先判断出满足要求的数的最小公倍数都是3、5、7、11的有限次方组合,即n=3x•5y•7z11w,然后根据三个数的最小公倍数共有18个约数,列举法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1,又因为三个两位数都是奇数,如n=3×
5,首先把它化成三个两两互质的形式:
n=9×
25×
7,然后再把9、25、7分别乘以3、5、7中不是本身约数的数,如:
9乘以5或7,而且3、5、7这两个数必须只能出现一次,求出第一组满足条件的三位数,同理,求出另一组满足条件的三位数即可.
根据题意,可得所有满足要求的数的最小公倍数都是3、5、7、11的有限次方组合,
即n=3x•5y•7z•11w,
因为9是3的倍数,所以没列举,
三个两位数的最小公倍数不包括大于或等于13的数的有限次方,可以用列举法证明:
65、39、91都不满足条件;
因为三个数的最小公倍数共有18个约数,列举法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1,
又因为三个两位数都是奇数,如n=3×
首先把它化成三个两两互质的形式:
7,然后再把9、25、7分别乘以3、5、7中不是本身约数的数,
如:
9乘以5或7,而且3、5、7这两个数必须只能出现一次,
可得第一组满足条件的三位数为:
35、63、75;
同理,可得第二组满足条件的三位数为:
55、75、99.
所有满足要求的情况为:
35,63,75;
55,75,99.
【分析】欲求算式1×
10×
2008的计算结果,末尾有多少个连续的0,只要求出因数里面有多少个5即可解答.
因为2足够多,所以有1个因数5就有1个0,
先计算1~2008共有多少个因数5:
2008÷
5=401余3;
401÷
5=80余1;
80÷
5=16
16÷
5=3余1;
所以共有401+80+16+3=500
这500个5分别处于:
1,4,7,10,…
2,5,8,11,…
3,6,9,12,…中
500÷
3=166余2
1,4,7,10,…中的10是5,10,15,…
中的第二个,所以1,4,7,10,…中共有167个5,又1,4,7,10,…中因数2的个数显然大于167;
故共有167个0.
2008的末尾有167个连续的零.
【分析】设这个四个位数的前两位数和后两位数分别为a,b(b为质数),根据题意,可得:
100a+b=mb+a,整理,可得99a=(m﹣1)b,即3×
11a=(m﹣1)b…①;
因为b是质数,所以m﹣1是9的倍数,设m﹣1=9n…②,因为余数小于除数,所以a<b,因此m﹣1<99,判断出m、n的取值,由①②,可得b=
,因此b的因数有
和11,求出a的值,进而求出b的值和原来的四位数是多少即可.
设这个四个位数的前两位数和后两位数分别为a,b(b为质数),
根据题意,可得:
100a+b=mb+a,
整理,可得99a=(m﹣1)b,
即3×
因为b是质数,所以m﹣1是9的倍数,
设m﹣1=9n…②,
因为余数小于除数,所以a<b,
因此m﹣1<99,
则m﹣1=9、18、27、36、45、54、63、72、81、90,
可得n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
由①②,可得b=
,
因此b的因数有
和11,
则
,a是两位数,
所以a=n=10,此时b=11,1011÷
11=91…10,
即原来的四位数是1011.
原来的四位数是1011.
【分析】设变不掉的三位数尾巴是(abc),x,y,m,n表示正整,得[1000x+(abc)][1000y+(abc)]=1000m+(abc),比较末三位得(abc)(abc)=(abc),或1000n+abc,解得(abc)=0,1,进一步解决问题.
设变不掉的三位数尾巴是(abc),依题意,得
[1000x+(abc)][1000y+(abc)]
=1000000xy+1000(x+y)(abc)+(abc)(abc)
=1000m+(abc),
比较末三位得(abc)(abc)=(abc),或1000n+abc,
解得(abc)=0,1,
或(abc)[(abc)﹣1]=1000n=53×
23×
n,(abc)与(abc)﹣1互质,
由后者得(abc)=125d,1≤d≤7,125d﹣1=8n,∴8|5d﹣1,d=5;
或(abc)=125d+1,125d+1=8n,∴8|5d+1,d=3.
变不掉的三位数尾巴是000,或001,或376,或625.
【分析】设在4与3之间插入三个非零自然数分别是x、y、z,首先根据其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积,分别求出x、z的值,然后求出y的值即可.
设在4与3之间插入三个非零自然数分别是x、y、z,
(1)根据题意,可得
是一个整数,
因为
=
=4﹣
,它是一个整数,
所以x+4=8,或x+4=16,
解得x=4,或x=12;
(2)根据题意,可得
所以z+3=9,
解得z=6;
(3)x=4时,y=4或y=12,z=6,
因为当x=4,y=4,z=6时,
4+6=10,4×
6=24,10不能整除24,不符合题意,
因此x=4,y=12,z=6;
(4)x=12时,y=6或y=12,z=6,
综上,可得满足条件的数有3组:
12、6、6,或12、12、6,或4、12、6.
【分析】设M=abc,N=bca,则M﹣N=100a+10b+c﹣(100c+10b+a)=99a﹣99c=99(a﹣c);
(1)因为M和N的最大公约数是7,所以M与M﹣N的最大公约数也是
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