全国各地中考数学压轴大题几何综2Word格式文档下载.docx
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﹣r)2=r2,
解得r=
由△DFM∽△AGM,可得DM=
③当⊙Q经过点D时,如图3﹣3中,此时点M,点G与点A重合,可得DM=AD=4
观察图象可知:
当DM=
或
<DM≤4
时,满足条件的点P只有一个.
2.(2019•武汉)在△ABC中,∠ABC=90°
=n,M是BC上一点,连接AM.
(1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直,求证:
BM=BN.
(2)过点B作BP⊥AM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q.
①如图2,若n=1,求证:
②如图3,若M是BC的中点,直接写出tan∠BPQ的值.(用含n的式子表示)
(1)证明:
如图1中,延长AM交CN于点H.
∵AM⊥CN,
∴∠AHC=90°
∵∠ABC=90°
∴∠BAM+∠AMB=90°
,∠BCN+∠CMH=90°
∵∠AMB=∠CMH,
∴∠BAM=∠BCN,
∵BA=BC,∠ABM=∠CBN=90°
∴△ABM≌△CBN(ASA),
∴BM=BN.
(2)①证明:
如图2中,作CH∥AB交BP的延长线于H.
∵BP⊥AM,
∴∠BPM=∠ABM=90°
∵∠BAM+∠AMB=90°
,∠CBH+∠BMP=90°
∴∠BAM=∠CBH,
∵CH∥AB,
∴∠HCB+∠ABC=90°
∴∠ABM=∠BCH=90°
∵AB=BC,
∴△ABM≌△BCH(ASA),
∴BM=CH,
∵CH∥BQ,
②解:
如图3中,作CH∥AB交BP的延长线于H,作CN⊥BH于N.不妨设BC=2m,则AB=2mn.
则BM=CM=m,CH=
,BH=
,AM=m
∵
•AM•BP=
•AB•BM,
∴PB=
•BH•CN=
•CH•BC,
∴CN=
∵CN⊥BH,PM⊥BH,
∴MP∥CN,∵CM=BM,
∴PN=BP=
∵∠BPQ=∠CPN,
∴tan∠BPQ=tan∠CPN=
3.(2019•镇江)在三角形纸片ABC(如图1)中,∠BAC=78°
,AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图2).
(1)∠ABC=30°
;
(2)求正五边形GHMNC的边GC的长.
参考值:
sin78°
≈0.98,cos78°
=0.21,tan78°
≈4.7.
(1)∵五边形ABDEF是正五边形,
∴∠BAF=
=108°
∴∠ABC=∠BAF﹣∠BAC=30°
故答案为:
30;
(2)作CQ⊥AB于Q,
在Rt△AQC中,sin∠QAC=
∴QC=AC•sin∠QAC≈10×
0.98=9.8,
在Rt△BQC中,∠ABC=30°
∴BC=2QC=19.6,
∴GC=BC﹣BG=9.6.
4.(2019•枣庄)在△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°
,当∠AMN=30°
,AB=2时,求线段AM的长;
(2)如图2,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°
,求证:
BE=AF;
(3)如图3,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且∠BMN=90°
AB+AN=
AM.
(1)解:
∵∠BAC=90°
,AB=AC,AD⊥BC,
∴AD=BD=DC,∠ABC=∠ACB=45°
,∠BAD=∠CAD=45°
∵AB=2,
∴AD=BD=DC=
∵∠AMN=30°
∴∠BMD=180°
﹣90°
﹣30°
=60°
∴∠MBD=30°
∴BM=2DM,
由勾股定理得,BM2﹣DM2=BD2,即(2DM)2﹣DM2=(
)2,
解得,DM=
∴AM=AD﹣DM=
﹣
(2)证明:
∵AD⊥BC,∠EDF=90°
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF(ASA)
∴BE=AF;
(3)证明:
过点M作ME∥BC交AB的延长线于E,
∴∠AME=90°
则AE=
AM,∠E=45°
∴ME=MA,
∵∠AME=90°
,∠BMN=90°
∴∠BME=∠AMN,
在△BME和△AMN中,
∴△BME≌△AMN(ASA),
∴BE=AN,
∴AB+AN=AB+BE=AE=
5.(2019•成都)如图1,在△ABC中,AB=AC=20,tanB=
,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B,射线DE交AC边于点E,过点A作AF⊥AD交射线DE于点F,连接CF.
(1)求证:
△ABD∽△DCE;
(2)当DE∥AB时(如图2),求AE的长;
(3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?
若存在,求出此时BD的长;
若不存在,请说明理由.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B,
∴∠BAD=∠CDE,
∴△BAD∽△DCE.
(2)解:
如图2中,作AM⊥BC于M.
在Rt△ABM中,设BM=4k,则AM=BM•tanB=4k×
=3k,
由勾股定理,得到AB2=AM2+BM2,
∴202=(3k)2+(4k)2,
∴k=4或﹣4(舍弃),
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴BC=2BM=2•4k=32,
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE,
∵∠ADE=∠B,∠B=∠ACB,
∴∠BAD=∠ACB,
∵∠ABD=∠CBA,
∴△ABD∽△CBA,
∴DB=
∴AE=
(3)点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.
理由:
作FH⊥BC于H,AM⊥BC于M,AN⊥FH于N.则∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°
∴四边形AMHN为矩形,
∴∠MAN=90°
,MH=AN,
∴BM=CM=
BC=
32=16,
在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM=
=12,
∵AN⊥FH,AM⊥BC,
∴∠ANF=90°
=∠AMD,
∵∠DAF=90°
=∠MAN,
∴∠NAF=∠MAD,
∴△AFN∽△ADM,
=tan∠ADF=tanB=
∴AN=
AM=
12=9,
∴CH=CM﹣MH=CM﹣AN=16﹣9=7,
当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知△DFC为等腰三角形,
∵FH⊥DC,
∴CD=2CH=14,
∴BD=BC﹣CD=32﹣14=18,
∴点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18.
6.(2019•乐山)在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB、AC于点E、F.
(1)如图1,当EF∥BC时,求证:
+
=1;
(2)如图2,当EF和BC不平行,且点E、F分别在线段AB、AC上时,
(1)中的结论是否成立?
如果成立,请给出证明;
如果不成立,请说明理由.
(3)如图3,当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时,
(1)中的结论是否成立?
∵G是△ABC重心,
又∵EF∥BC,
则
(1)中结论成立,理由如下:
如图2,过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N,FE、CB的延长线相交于点M,
则△BME∽△ANE,△CMF∽△ANF,
又∵BM+CM=BM+CD+DM,
而D是BC的中点,即BD=CD,
∴BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM,
又∵
故结论成立;
(3)解:
(1)中结论不成立,理由如下:
当F点与C点重合时,E为AB中点,BE=AE,
点F在AC的延长线上时,BE>AE,
,则
同理:
当点E在AB的延长线上时,
∴结论不成立.
7.(2019•阜新)如图,是具有公共边AB的两个直角三角形,其中,AC=BC,∠ACB=∠ADB=90°
(1)如图1,若延长DA到点E,使AE=BD,连接CD,CE.
①求证:
CD=CE,CD⊥CE;
②求证:
AD+BD
CD;
(2)若△ABC与△ABD位置如图2所示,请直接写出线段AD,BD,CD的数量关系.
①在四边形ADBC中,∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°
∵∠ADB+∠ACB=180°
∴∠DAC+∠DBC=180°
∵∠EAC+∠DAC=180°
∴∠DBC=∠EAC,
∵BD=AE,BC=AC,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴CD=CE,∠BCD=∠ACE,
∵∠BCD+∠DCA=90°
∴∠ACE+∠DCA=90°
∴∠DCE=90°
∴CD⊥CE;
②∵CD=CE,CD⊥CE,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴DE
CD,
∵DE=AD+AE,AE=BD,
∴DE=AD+BD,
∴AD+BD
AD﹣BD
如图2,在AD上截取AE=BD,连接CE,
∵AC=BC,∠ACB=90°
∴∠BAC=∠ABC=45°
∵∠ADB=90°
∴∠CBD=90°
﹣∠BAD﹣∠ABC=90°
﹣∠BAD﹣45°
=45°
﹣∠BAD,
∵∠CAE=∠BAC﹣∠BAD=45°
∴∠CBD=∠CAE,∵BD=AE,BC=AC,
∴△CBD≌△CAE(SAS),
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°
∴∠BCD+∠BCE=90°
即∠DCE=90°
∵DE=AD﹣AE=AD﹣BD,
∴AD﹣BD
CD.
8.(2019•锦州)已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,D是BC边上一点,连接AD,分别以CD和AD为直角边作Rt△CDE和Rt△ADF,使∠DCE=∠ADF=90°
,点E,F在BC下方,连接EF.
(1)如图1,当BC=AC,CE=CD,DF=AD时,
求证:
①∠CAD=∠CDF,②BD=EF;
(2)如图2,当BC=2AC,CE=2CD,DF=2AD时,猜想BD和EF之间的数量关系?
并说明理由.
①∵∠ACB=90°
∴∠CAD+∠ADC=90°
∵∠CDF+∠ADC=90°
∴∠CAD=∠CDF;
②作FH⊥BC交BC的延长线于H,
则四边形FECH为矩形,
∴CH=EF,
在△ACD和△DHF中,
∴△ACD≌△DHF(AAS)
∴DH=AC,
∵AC=CB,
∴DH=CB,
∴DH﹣CD=CB﹣CD,即HG=BD,
∴BD=EF;
(2)BD=EF,
理由如下:
作FG⊥BC交BC的延长线于G,
∵∠CAD=∠GDF,∠ACD=∠DGF=90°
∴△ACD∽△DGF,
2,即DG=2AC,GF=2CD,
∵BC=2AC,CE=2CD,
∴BC=DG,GF=CE,
∴BD=CG,
∵GF∥CE,GF=CE,∠G=90°
∴四边形FECG为矩形,
∴CG=EF,
∴BD=EF.
9.(2019•葫芦岛)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°
,D是射线CB上一点(点D不与点B重合),以AD为斜边作等腰直角三角形ADE(点E和点C在AB的同侧),连接CE.
(1)如图①,当点D与点C重合时,直接写出CE与AB的位置关系;
(2)如图②,当点D与点C不重合时,
(1)的结论是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;
若不成立,请说明理由;
(3)当∠EAC=15°
时,请直接写出
(1)当点D与点C重合时,CE∥AB,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠CAB=45°
∵△ADE是等腰直角三角形,
∴∠ADE=45°
∴∠CAB=∠ADE,
∴CE∥AB;
(2)当点D与点C不重合时,
(1)的结论仍然成立,
在AC上截取AF=CD,连接EF,
∵∠AED=∠ACB=90°
∴∠EAF=∠EDC,
在△EAF和△EDC中,
∴△EAF≌△EDC(SAS),
∴EF=EC,∠AEF=∠DEC,
∵∠AED=90°
∴∠FEC=90°
∴∠ECA=45°
∴∠ECA=∠CAB,
(3)如图②,∠EAC=15°
∴∠CAD=30°
∴AD=2CD,AC
∴FC=(
1)CD,
∵△CEF为等腰直角三角形,
∴EC
FC
∴AB
AC
如图③,∠EAC=15°
由
(2)得,∠EDC=∠EAC=15°
∴∠ADC=30°
∴CD
AC,AB
AC,
延长AC至G,使AG=CD,
∴CG=AG﹣AC=DC﹣AC
AC﹣AC,
在△EAG和△EDC中,
∴△EAG≌△EDC(SAS),
∴EG=EC,∠AEG=∠DEC,
∴∠CEG=90°
∴△CEG为等腰直角三角形,
CG
综上所述,当∠EAC=15°
时,
的值为
10.(2019•北京)已知∠AOB=30°
,H为射线OA上一定点,OH
1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足∠OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150°
,得到线段PN,连接ON.
(1)依题意补全图1;
(2)求证:
∠OMP=∠OPN;
(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.
(1)如图1所示为所求.
(2)设∠OPM=α,
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°
得到线段PN
∴∠MPN=150°
,PM=PN
∴∠OPN=∠MPN﹣∠OPM=150°
﹣α
∵∠AOB=30°
∴∠OMP=180°
﹣∠AOB﹣∠OPM=180°
﹣α=150°
∴∠OMP=∠OPN
(3)OP=2时,总有ON=QP,证明如下:
过点N作NC⊥OB于点C,过点P作PD⊥OA于点D,如图2
∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°
,OP=2
∴PD
OP=1
∴OD
∵OH
1
∴DH=OH﹣OD=1
∵∠OMP=∠OPN
∴180°
﹣∠OMP=180°
﹣∠OPN
即∠PMD=∠NPC
在△PDM与△NCP中
∴△PDM≌△NCP(AAS)
∴PD=NC,DM=CP
设DM=CP=x,则OC=OP+PC=2+x,MH=MD+DH=x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
∴HQ=MH=x+1
∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x
∴OC=DQ
在△OCN与△QDP中
∴△OCN≌△QDP(SAS)
∴ON=QP
11.(2019•铁岭)如图,△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,交线段BC于点E(点E与点C不重合),点F为AC上一点,点G为AB上一点(点G与点A不重合),且∠GEF+∠BAC=180°
(1)如图1,当∠B=45°
时,线段AG和CF的数量关系是.
(2)如图2,当∠B=30°
时,猜想线段AG和CF的数量关系,并加以证明.
(3)若AB=6,DG=1,cosB
,请直接写出CF的长.
(1)相等,理由:
如图1,连接AE,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B=45°
∴AE⊥BC,
∴BE=EC=AE,∠BAE=∠EAC=∠C=45°
∵∠GEF+∠BAC=180°
∴∠AGE+∠AFE=360°
﹣180°
=180°
∵∠AFE+∠CFE=180°
∴∠AGE=∠CFE,
∵∠GAE=∠C=45°
∴△AEG≌△CEF(AAS),
∴AG=CF;
AG=CF;
(2)AG
CF,
如图2,连接AE,
∴∠B=∠C=30°
∴∠BAC=120°
∴∠BAE=∠B=30°
∴∠CAE=90°
,∠BAE=∠C,
∴∠AGE+∠AFE=180°
∵∠CFE+∠AFE=180°
∴△AGE∽△CFE,
在Rt△ACE中,∵∠C=30°
sinC
∴AG
CF;
(3)①当G在DA上时,如图3,连接AE,
∴AD=BD=3,AE=BE,
∵cosB
∴BE
4,
∴AE=BE=4,
∴∠BAE=∠B,
∴∠B=∠C,
∴∠C=∠BAE,
∴∠CFE=∠AGE,
∴△CFE∽△AGE,
过A作AH⊥BC于点H,
,cos45°
∴∠B<45°
∴E在H的左侧,
∴BH
AB
6
∴BC=2BH=9,
∵BE=4,
∴CE=9﹣4=5,
∵AG=AD﹣DG=3﹣1=2,
∴CF=2.5;
②当点G在BD上,如图4,同
(1)可得,△CFE∽△AGE,
∵AG=AD+DG=3+1=4,
∴CF=5,
综上所述,CF的长为2.5或5.
12.(2019•安徽)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°
△PAB∽△PBC;
PA=2PC;
(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证h12=h2•h3.
(1)∵∠ACB=90°
,AB=BC,
∴∠ABC=45°
=∠PBA+∠PBC
又∠APB=135°
∴∠PAB+∠PBA=45°
∴∠PBC=∠PAB
又∵∠APB=∠BPC=135°
∴△PAB∽△PBC
(2)∵△PAB∽△PBC
在Rt△ABC中,AC=BC,
∴PA=2PC
(3)如图,过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC、AC于点D,E,
∴PF=h1,PD=h2,PE=h3,
∵∠CPB+∠APB=135°
+135°
=270°
∴∠APC=90°
∴∠EAP+∠ACP=90°
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°
∴∠EAP=∠PCD,
∴Rt△AEP∽Rt△CDP,
,即
∴h3=2h2
∵△PAB∽△PBC,
即:
h12=h2•h3.
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