排列组合中的常见模型Word文档格式.docx
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A。
所以共有c:
c3a3"
O8种方案
(二)排列组合的常见模型
1、捆绑法(整体法):
当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即
可。
5个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法
考虑第一步将甲乙视为一个整体,与其余3个元素排列,则共有A4种位置,第二步考虑甲乙自身顺序,有A2种位置,所以排法的总数为
N=AA=48种
2、插空法:
当题目中有“不相邻元素”时,贝何考虑用剩余元素“搭台;
不相邻元素进行“插空;
然后再进行各自的排序
注:
(1)要注意在插空的过程中是否可以插在两边
(2)要从题目中判断是否需要各自排序
有6名同学排队,其中甲乙不相邻,贝S共有多少种不同的排法解:
考虑剩下四名同学“搭台”甲乙不相邻,则需要从5个空中选择2个插入进去,即有C;
种选择,然后四名同学排序,甲乙排序。
所以
Na4A2=480种
3、错位排列:
排列好的n个元素,经过一次再排序后,每个元素都不在原先的位置上,则称为这n个元素的一个错位排列。
例如对于a,b,c,d,则d,c,a,b是其中一个错位排列。
3个元素的错位排列有2种,4个元素的错位排列有9种,5个元素的错位排列有44种。
以上三种情况可作为结论记住
安排6个班的班主任监考这六个班,则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数有多少种?
第一步先确定那两个班班主任监考自己班,共有C:
种选法,然后剩下4个班主任均不监考自己班,则为4个元素的错位排列,共9种。
所以安排总数为N9=135
4、依次插空:
如果在n个元素的排列中有m个元素保持相对位置不变,则可以考虑先将这m个元素排好位置,再将n-m个元素一个个插入到队伍当中(注意每插入一个元素,下一个元素可选择的空1)
已知AB,C,D,E,F6个人排队,其中A,B,C相对位置不变,则不同的排法有多少种
考虑先将A,B,C排好,则D有4个空可以选择,D进入队伍后,E有
5个空可以选择,以此类推,F有6种选择,所以方法的总数为
N=456=120种
5、不同元素分组:
将n个不同元素放入m个不同的盒中
6、相同元素分组:
将n个相同元素放入m个不同的盒内,且每盒不空,则不同的方法共有cm;
种。
解决此类问题常用的方法是“挡板法”,因为元素相同,所以只需考虑每个盒子里所含元素个数,则可将这n个元素排成一列,共有n-1个空,使用m-1个“挡板”进入空档处则可将这n个元素划分为m个区域,刚好对应那m个盒子。
将6个相同的
小球放入到4个不同的盒子里,那么6个小球5个空档,选择3个位
置放“挡板”共有C;
=20种可能
7、涂色问题:
涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”,在处理涂色问
题时,可按照选择颜色的总数进行分类讨论,每减少一种颜色的使用,
便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色(还要注意两两不相邻的情况),先列举出所有不相邻区域搭配的可能,再进行涂色即可。
例
I
口
III
IV
如:
最多使用四种颜色涂图中四个区域,不同的涂色方案有多少种?
可根据使用颜色的种数进行分类讨论
(1)使用4种颜色,贝卩每个区域涂一种颜色即
可:
Ni
(2)使用3种颜色,则有一对不相邻的区域涂
同一种颜色,首先要选择不相邻的区域:
用列举法可得:
Cl,IV?
不相邻
所以涂色方案有:
N2二A:
(3)使用2种颜色,贝卩无法找到符合条件的情况,所以讨论终止
总计S二兀A4=48种
二、典型例题:
例1:
某电视台邀请了6位同学的父母共12人,请12位家长中的4位介绍对子女的教育情况,如果这4位中恰有一对是夫妻,则不同选择的方法种数有多少
思路:
本题解决的方案可以是:
先挑选出一对夫妻,然后在挑选出两个不是夫妻的即可。
第一步:
先挑出一对夫妻:
C6第二步:
在剩下的10个人中选出两个不是夫妻的,使用间接法:
Cw-5
所以选择的方法总数为N=C61(G:
—5)=240(种)
答案:
240种
例2:
某教师一天上3个班级的课,每班上1节,如果一天共9节课,上午5节,下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有不同排法有()
A.474种B.77种C.462种
D.79种
本题如果用直接法考虑,则在安排的过程中还要考虑两节连堂,并且会受到第5,6节课连堂的影响,分类讨论的情形较多,不易求解。
如果使用间接法则更为容易。
首先在无任何特殊要求下,安排的总数为A。
不符合要求的情况为上午连上3节:
a:
和下午连上三节:
A,所以不同排法的总数为:
a3-a:
-a3=474(种)
A
例3:
2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,
3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()
A.60B.48C.42
D.36
首先考虑从3位女生中先选中相邻的两位女生,从而相邻的女生要与另一女生不相邻,则可插空,让男生搭架子,因为男生甲不站两端,所以在插空的过程中需有人站在甲的边上,再从剩下的两个空中选一个空插入即可。
第二步:
两位男生搭出三个空,其中甲的边上要进入女生,另外两个
空中要选一个空进女生,所以共有C;
种选法。
第三步:
排列男生甲,乙的位置:
A;
,排列相邻女生和单个女生的位
置:
A,排列相邻女生相互的位置:
A
所以共有N=c3c2AAA;
=48种
B
例4:
某班班会准备从甲,乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲,乙两名同学至少有一人参加,且若甲乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序种数为()
A.360B.520C.600D.
720
因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同,所以考虑“先取再排”分为“甲乙”同时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论:
若甲乙同时被选中,则只需再从剩下5人中选取2人即可:
C52,在安排顺序时,甲乙不相邻则“插空;
所以安排的方式有:
a2a2,从而第一种情况的总数为:
N厂C;
AA2(20(种),若甲乙只有一人选中,则首先先从甲乙中选一人,有C2,再从剩下5人中选取三人,有C3,安排顺序时则无要求,所以第二种情况的总数为:
N2=c2C53A4=480(种),从
而总计600种
C
例5:
从单词equation”中选取5个不同的字母排成一排,含有qu(其中qu”相连且顺序不变)的不同排列共有种
从题意上看,解决的策略要分为两步:
第一步要先取出元素,因为qu”必须取出,所以另外3个元素需从剩下的6个元素中取出,即c;
种,然后在排列时,因为要求“qu”相连,所以采用“捆绑法”将qu视为一个元素与其它三个元素进行排列:
A4,因为’qu”顺序不变,所
以不需要再对qu进行排列。
综上,共有:
C:
A:
=480种
480
例6:
设有编号123,4,5的五个茶杯和编号为123,4,5的五个杯盖,将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
()
A.30种B.31种C.32种
D.36种
本题可按照相同编号的个数进行分类讨论,有两个相同时,要先从5个里选出哪两个相同,有C;
种选法,则剩下三个为错位排列,有2种情况,所以Ni二C:
2,有三个相同时,同理,剩下两个错位排列只有一种情况(交换位置),所以N^C531,有四个相同时则最后一个也只能相同,所以N=1,从而S乂;
2C「11=31(种)
例7:
某人上10级台阶,他一步可能跨1级台阶,称为一阶步,也可能跨2级台阶,称为二阶步;
最多能跨3级台阶,称为三阶步,若他总共跨了6步,而且任何相邻两步均不同阶,则此人所有可能的不同过程的种数为()
A.6B.8C.10
D.12答案:
A思路:
首先要确定在这6步中,一阶步,二阶步,三阶步各有几步,
x=41x=31x=2
分别设为x,y,z.N,则有X7,解得:
y=0,y=2,y=4,因
x+2y+3z=10
z=2z=1z=0
1x=3
为相邻两步不同阶,所以符合要求的只有<y=2,下面开始安排顺序,
=1
可以让一阶步搭架子,则二阶步与三阶步必须插入一阶步里面的两个
空中,所以共有2种插法,二阶步与三阶步的前后安排共有3种(三
二二,三二三,二三三),所以过程总数为N=23=6
例&
某旅行社有导游9人,其中3人只会英语,2人只会日语,其余
4人既会英语又会日语,现要从中选6人,其中3人负责英语导游,另外三人负责日语导游,则不同的选择方法有种
在步骤上可以考虑先选定英语导游,再选定日语导游。
英语导
游的组成可按只会英语的和会双语的人数组成进行分类讨论,然后再
在剩下的人里选出日语导游即可。
第一种情况:
没有会双语的人加入
英语导游队伍,则英语导游选择数为C3,日语导游从剩下6个人中选择,有C:
中,从而No二C;
C;
,第二种情况:
有一个会双语的人加入英语导游队伍,从而可得Ni二C:
C;
,依次类推,第三种情况。
两个会双语的加入英语导游队伍,则N2=(c「c3)・c:
,第四种情况,英语导游均为会双语的。
则N^C:
C33,综上所述,不同的选择方法总数为
S=C;
Cl+QC^C^+GQ;
)C:
+C:
Q;
=216(种)
216种
例9:
如图,用四种不同颜色给图中A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有()
A.288种B.264种C.
240种D.168种
如果用四种颜色涂六个点,则需要有两对不相
邻的点涂相同的颜色。
所以考虑列举出不相邻的两对点。
列举的情况如下:
Ca,cXb,d?
,,a,cXb,e1,,acXd,f?
,a,fXb,d?
,1a,fHb,e?
,Ia,fXc,e?
「b,dXc,e?
,:
b,eHd,f?
「c,eXd,f?
共九组,所以涂色方法共有9A4=216
如果用三种颜色涂六个点,则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色,列举情况如下:
(AC”B,eXd,F爲1a,fHc,eHb,D共两组,所以涂色方法共有2民=48综上所述,总计264种
例10:
有8张卡片分别标有数字123,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有()
A.1344种B.1248种C.1056种
D.960种
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