小学五年级上期奥数Word文件下载.docx
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52+6
①式=175×
(34+66)
=175×
100=17500
②式=67×
(12+35+52+1)
=67×
100=6700
(原式中最后一项67可看成67×
1)
例4计算①123×
101②123×
99
(100+1)=123×
100+123
=12300+123=12423
②式=123×
(100-1)
=12300-123=12177
4.几种特殊因数的巧算。
例5一个数×
10,数后添0;
一个数×
100,数后添00;
1000,数后添000;
以此类推。
如:
15×
10=150
15×
100=1500
1000=15000
例6一个数×
9,数后添0,再减此数;
99,数后添00,再减此数;
999,数后添000,再减此数;
…
12×
9=120-12=108
12×
99=1200-12=1188
999=12000-12=11988
例7一个偶数乘以5,可以除以2添上0。
6×
5=30
16×
5=80
116×
5=580。
例8一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”。
如2222×
11=24442
2456×
11=27016
例9一个偶数乘以15,“加半添0”.
24×
15
=(24+12)×
10
=360
因为 24×
15=24×
(10+5)
=24×
(10+10÷
=24×
10+24×
10÷
2(乘法分配律)
10+24÷
10(带符号搬家)
=(24+24÷
2)×
10(乘法分配律)
例10个位为5的两位数的自乘:
十位数字×
(十位数字加1)×
100+25
如15×
15=1×
(1+1)×
100+25=225
25=2×
(2+1)×
100+25=625
35×
35=3×
(3+1)×
100+25=1225
45×
45=4×
(4+1)×
100+25=2025
55×
55=5×
(5+1)×
100+25=3025
65×
65=6×
(6+1)×
100+25=4225
75×
75=7×
(7+1)×
100+25=5625
85×
85=8×
(8+1)×
100+25=7225
95×
95=9×
(9+1)×
100+25=9025
还有一些其他特殊因数相乘的简便算法,有兴趣的同学可参看《算得快》一书。
二、除法及乘除混合运算中的巧算
1.在除法中,利用商不变的性质巧算
商不变的性质是:
被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外),商不变.利用这个性质巧算,使除数变为整十、整百、整千的数,再除。
例11计算①110÷
5②3300÷
③44000÷
①110÷
5=(110×
2)÷
=220÷
10=22
②3300÷
25=(3300×
4)÷
=13200÷
100=132
125=(44000×
8)÷
(125×
8)
=352000÷
1000=352
2.在乘除混合运算中,乘数和除数都可以带符号“搬家”。
例12864×
27÷
54
=864÷
54×
27
=16×
=432
3.当n个数都除以同一个数后再加减时,可以将它们先加减之后再除以这个数。
例13①13÷
9+5÷
9②21÷
5-6÷
③2090÷
24-482÷
24
④187÷
12-63÷
12-52÷
12
①13÷
9+5÷
9=(13+5)÷
9
=18÷
9=2
②21÷
5=(21-6)÷
=15÷
5=3
24=(2090-482)÷
=1608÷
24=67
=(187-63-52)÷
=72÷
12=6
4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法:
如果“括号”前面是乘号,去掉“括号”后,原“括号”内的符号不变;
如果“括号”前面是除号,去掉“括号”后,原“括号”内的乘号变成除号,原除号就要变成乘号,添括号的方法与去括号类似。
即a×
(b÷
c)=a×
b÷
c从左往右看是去括号,
a÷
(b×
c)=a÷
c从右往左看是添括号。
b×
c
例14①1320×
500÷
250
②4000÷
125÷
8
③5600÷
(28÷
6)
④372÷
162×
⑤2997×
729÷
(81×
81)
①1320×
250=1320×
(500÷
250)
=1320×
2=2640
8=4000÷
=4000÷
1000=4
6)=5600÷
28×
6
=200×
6=1200
54=372÷
(162÷
54)
=372÷
3=124
81)=2997×
81÷
81
=(2997÷
81)×
(729÷
81)=37×
=333
习题二
一、用简便方法求积:
①17×
100
②1112×
③23×
④23×
⑤12345×
11
⑥56789×
⑦36×
二、速算下列各题:
①123×
②456×
125×
③25×
三、巧算下列各题:
①15000÷
②1200÷
25÷
③27000÷
3)
④360×
40÷
60
四、巧算下列各题:
①11÷
3+4÷
3
②19÷
5-9÷
③234×
11+234×
88
三年级上册第三讲上楼梯问题
有这样一道题目:
如果每上一层楼梯需要1分钟,那么从一层上到四层需要多少分钟?
如果你的答案是4分钟,那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。
为什么是3分钟而不是4分钟呢?
原来从一层上到四层,只要上三层楼梯,而不是四层楼梯。
下面我们来看几个类似的问题。
例1裁缝有一段16米长的呢子,每天剪去2米,第几天剪去最后一段?
分析如果呢子有2米,不需要剪;
如果呢子有4米,第一天就可以剪去最后一段,4米里有2个2米,只用1天;
如果呢子有6米,第一天剪去2米,还剩4米,第二天就可以剪去最后一段,6米里有3个2米,只用2天;
如果呢子有8米,第一天剪去2米,还剩6米,第二天再剪2米,还剩4米,这样第三天即可剪去最后一段,8米里有4个2米,用3天,……
我们可以从中发现规律:
所用的天数比2米的个数少1.因此,只要看16米里有几个2米,问题就可以解决了。
16米中包含2米的个数:
16÷
2=8(个)
剪去最后一段所用的天数:
8-1=7(天)
答:
第七天就可以剪去最后一段。
例2一根木料在24秒内被切成了4段,用同样的速度切成5段,需要多少秒?
可以从中发现规律:
切的次数总比切的段数少1.因此,在24秒内切了4段,实际只切了3次,这样我们就可以求出切一次所用的时间了,又由于用同样的速度切成5段;
实际上切了4次,这样切成5段所用的时间就可以求出来了。
切一次所用的时间:
24÷
(4-1)=8(秒)
切5段所用的时间:
(5-1)=32(秒)
用同样的速度切成5段,要用32秒。
例3三年级同学120人排成4路纵队,也就是4个人一排,排成了许多排,现在知道每相邻两排之间相隔1米,这支队伍长多少米?
因为每4人一排,所以共有:
120÷
4=30(排)
30排中间共有29个间隔,所以队伍长:
1×
29=29(米)
这支队伍长29米。
例4时钟4点钟敲4下,12秒钟敲完,那么6点钟敲6下,几秒钟敲完?
分析如果盲目地计算:
12÷
4=3(秒),3×
6=18(秒),认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图:
时钟敲4下,其间有3个间隔,每个间隔是:
3=4(秒);
时钟敲6下,其间共有5个间隔,所用时间为:
4×
5=20(秒)。
每次间隔时间为:
(4-1)=4(秒)
敲6下共用的时间为:
(6-1)=20(秒)
时钟敲6下共用20秒。
例5.某人要到一座高层楼的第8层办事,不巧停电,电梯停开,如从1层走到4层需要48秒,请问以同样的速度走到八层,还需要多少秒?
分析要求还需要多少秒才能到达,必须先求出上一层楼梯需要几秒,还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要:
48÷
(4-1)=16(秒),从4楼走到8楼共走8-4=4(层)楼梯。
到这里问题就可以解决了。
上一层楼梯需要:
(4-1)=16(秒)
从4楼走到8楼共走:
8-4=4(层)楼梯
还需要的时间:
16×
4=64(秒)
还需要64秒才能到达8层。
例6晶晶上楼,从1楼走到3楼需要走36级台阶,如果各层楼之间的台阶数相同,那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶?
分析要求晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶,必须先求出每一层楼梯有多少台阶,还要知道从一层走到6层需要走几层楼梯。
从1楼到3楼有3-1=2层楼梯,那么每一层楼梯有36÷
2=18(级)台阶,而从1层走到6层需要走6-1=5(层)楼梯,这样问题就可以迎刃而解了。
每一层楼梯有:
36÷
(3-1)=18(级台阶)
晶晶从1层走到6层需要走:
18×
(6-1)=90(级)台阶。
晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。
注:
例1~例4所叙述的问题虽然不是上楼梯,但它和上楼梯有许多相似之处,请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解题规律是:
所走的台阶数=每层楼梯的台阶数×
(所到达的层数减起点的层数)。
习题三
1.一根木料截成3段要6分钟,如果每截一次的时间相等,那么截7段要几分钟?
2.有一幢楼房高17层,相邻两层之间都有17级台阶,某人从1层走到11层,一共要登多少级台阶?
3.从1楼走到4楼共要走48级台阶,如果每上一层楼的台阶数都相同,那么从1楼到6楼共要走多少级台阶?
4.一座楼房每上1层要走16级台阶,到小英家要走64级台阶,小英家住在几楼?
5.一列火车共20节,每节长5米,每两节之间相距1米,这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道,需要几分钟?
6.时钟3点钟敲3下,6秒钟敲完,12点钟敲12下,几秒钟敲完?
7.某人到高层建筑的10层去,他从1层走到5层用了100秒,如果用同样的速度走到10层,还需要多少秒?
8.A、B二人比赛爬楼梯,A跑到4层楼时,B恰好跑到3层楼,照这样计算,A跑到16层楼时,B跑到几层楼?
9.铁路旁每隔50米有一根电线杆,某旅客为了计算火车的速度,测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟,火车的速度是每秒多少米?
第四讲植树与方阵问题
一、植树问题
要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题,首先要牢记三要素:
①总路线长.②间距(棵距)长.③棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。
关于植树的路线,有封闭与不封闭两种路线。
1.不封闭路线
例:
如图
①若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段,但植树棵数是6棵。
全长、棵数、株距三者之间的关系是:
棵数=段数+1=全长÷
株距+1
全长=株距×
(棵数-1)
株距=全长÷
②如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为:
棵数;
棵数=全长÷
株距;
棵数。
③如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵。
棵数=段数-1
=全长÷
株距-1.如右图所示.段数为5段,植树棵数为4棵。
(棵数+1)。
2.封闭的植树路线
例如:
在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数。
如右图所示。
棵数=段数=周长÷
株距.
二、方阵问题
学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列.如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点是:
①方阵不论在哪一层,每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层,每边上的人数就少2。
②每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系:
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×
4;
每边人(或物)数=四周人(或物)数÷
4+1。
③中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数×
每边人(或物)数。
例1有一条公路长900米,在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆,可栽多少根电线杆?
分析要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆,所以电线杆的根数比分成的段数多1。
以10米为一段,公路全长可以分成
900÷
10=90(段)
共需电线杆根数:
90+1=91(根)
可栽电线杆91根。
例2马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米?
分析张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了;
只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.
5分钟汽车共走了:
9×
(501-1)=4500(米),
汽车每分钟走:
4500÷
5=900(米),
汽车每小时走:
900×
60=54000(米)=54(千米)
列综合式:
(501-1)÷
60÷
1000=54(千米)
汽车每小时行54千米。
例3某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人?
这个方阵共有五年级学生多少人?
分析根据四周人数和每边人数的关系可以知:
每边人数=四周人数÷
4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数:
4+1=16(人)
整个方阵共有学生人数:
16=256(人)
方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。
例4晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?
分析方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数。
最外边一层棋子个数:
(14-1)×
4=52(个)
第二层棋子个数:
(14-2-1)×
4=44(个)
第三层棋子个数:
(14-2×
2-1)×
4=36(个).
摆这个方阵共用棋子:
52+44+36=132(个)
还可以这样想:
中空方阵总个数=(每边个数一层数)×
层数×
4进行计算。
(14-3)×
3×
4=132(个)
摆这个方阵共需132个围棋子。
例5一个圆形花坛,周长是180米.每隔6米种一棵芍药花,每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药?
多少棵月季?
两棵月季之间的株距是多少米?
分析①在圆形花坛上栽花,是封闭路线问题,其株数=段数.②由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季,则每6米之中共有3棵花,且月季花棵数是芍药的2倍。
共可栽芍药花:
180÷
6=30(棵)
共种月季花:
30=60(棵)
两种花共:
30+60=90(棵)
两棵花之间距离:
90=2(米)
相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花,所以月季花的株距是2米或4米。
种芍药花30棵,月季花60棵,两棵月季花之间距离为2米或4米。
例6一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花?
整个花园中共栽多少棵花?
分析①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株,则大三角形边上栽的棵数为
2-1=17(棵)。
②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上共栽花
(17-1)×
3=48(棵)。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7(棵)
大三角形三条边上共栽花:
(9×
2-1-1)×
3=48(棵)
中间画斜线小三角形三条边上栽花:
(9-2)×
3=21(棵)
整个花坛共栽花:
48+21=69(棵)
答:
大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵。
习题四
1.一个圆形池塘,它的周长是150米,每隔3米栽种一棵树.问:
共需树苗多少株?
2.有一正方形操场,每边都栽种17棵树,四个角各种1棵,共种树多少棵?
3.在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时,乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问:
甲每分钟走多少米?
4.在一根长100厘米的木棍上,从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点,在两个红点之间长为4厘米的间距有几段?
第五讲找几何图形的规律
找规律是解决数学问题的一种重要的手段,而规律的找寻既需要敏锐的观察力,又需要严密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力,本讲将从几何图形的问题入手,逐步分析应从哪些方面来观察思考。
因此,学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯,可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。
下面就来看几个例子。
例1按顺序观察图5—1与图5—2中图形的变化,想一想,按图形的变化规律,在带“?
”的空格处应画什么样的图形?
分析观察中,注意到图5—1中每行三角形的个数依次减少,而正方形的个数依次增多,且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然X应等于2;
图5—2中黑点的个数从左到右逐次增多,且每一格(第一格除外)比前面的一格多两个点.事实上,本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上,是一种较为基本的、简单的变化模式。
在图5—1的“?
”处应是三角形△,在图5—2的“?
”处应是
例2请观察右图中已有的几个图形,并按规律填出空白处的图形。
分析首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的;
其次,在所给出的图形中,我们发现各行、各列均没有重复的图形,而且所给出的图形中,只有圆、三角形和正方形三种图形.由此,我们知道这个图的特点是:
①仅由圆、三角形、正方形组成;
②各行各列中,都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。
因此,根据不重不漏的原则,在第二行的空格中应填一个三角形,而第三行的空格中应填一个正方形。
解略。
例3按顺序观察下图中图形的变化规律,并在“?
”处填上合适的图形.
分析显然,图(a)、图(b)中都是圆,而图(c)中却不是圆;
同时,图(a)、(c)中都有3个图形,而(b)中只有两个.由此可知:
图(a)到(b)的变化规律对应于图(c)到(d)的变化规律.再注意到图(a)到图(b)中图形在繁简、多少、位置几方面的变化,就容易得到图(d)中的图形了。
在上图的“?
”处应填如下图形.
例4下图中的图形是按一定规律排列的,请仔细观察,并在“?
”处填上适当的图形.
分析本题中,首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成,而且,大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成,图中的任意两个图形均不相同.因此,我们不妨试着把大、小图形分开来考虑,再一次观察后我们可以发现:
对于大图形来说,每行每列的图形决不重复。
因此,每行每列都只有一个大正方形,一个大三角形和一个大圆,对于小图形也是如此,这样,“?
”处的图形就不难得出。
图中,(b)、(f)、(h)处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.
小结:
对于较复杂的图形来说,有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律,从而把复杂问题简单化。
例5观察下列各组图的变化规律,并在“?
”处画出相关的图形.
分析我们先来看这样两个图:
(甲)图与(乙)图中,点A、B、C、D的顺序和距离都没有改变,只是每个点的位置发生了变化,如:
甲图中,A在左方;
而乙图中,A在上方,……我们把这样一种位置的变化称为图形的旋转,乙图可以看作是甲图
90°
(或一格)。
现在我们再回到题目上来,容易看出:
例5题中按(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)、(h)、(i)顺序排列的9个图形,它们的变化规律是:
每一个图形(a除外)都是由其前一个图形逆时针旋转90°
而得到的.甲乙丙丁四个图形变化规律也类似。
图(i)处的图形应是下面左图,丁图处的图形应是下面右图
注意:
因为图形是由旋转而得到的,所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化,作图的时候要注意到这一点。
旋转是数学中的重要概念,掌握好这个概念,可以提高观察能力,加快解题速度,对于许多问题的解决,也有事半而功倍的效果。
下面再来看几个例子:
例6仔细观察下图中图形的变化规律,并在“?
”处填入合适的图形.
分析显然,图(a)、(b)的变化规律对应于图(c)的变化规律;
图(d)、(e)的变化规律也对应于图(f)的变化规律,我们先来观察(a)、(b)两组图形,发现在形状、位置方面都发生了变化,即把圆变为它的一半——半
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