三叉树欧式期权定价Word文档格式.docx
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表2SINA期权的重要参数
SINAOption
执行价格
到期日
市场价格
Call
40
2013年9月20日
19.3
Put
0.37
(2)编写M文件,运用三叉树模型对其进行定价,M文件请参见
附录一:
TrinomialEuro
输入[C,P]=TrinomialEuro(58.21,40,0.04,112/365,0.5864,
N),得到以下结果:
表3三叉树欧式期权计算结果
模拟步数N
模拟价格
运行时间(s)
4
19.0324
P9.7539e-005
19.1773
2.1497e-004
100
19.1692
0.0010
0.8175
9.7539e-005
0.9624
:
0.8790
图1看涨欧式期权三叉树定价价格收敛图
图2看跌欧式期权三叉树定价价格收敛图
c)三叉树与B-S公式结果对比
(1)运用B-S公式进行定价,在matlab中输入表达式:
[C,P]=blsprice(58.21,40,0.04,112/365,0.5864)
表4B-S公式定价结果
P19.1692
0.0015
0.8792
(2)精确度对比
表5三叉树与B-S公式计算结果误差对比
SINA_Option
三叉树模拟价格
B-S公式定价
绝对误差
相对误差
0.0002
0.02%
评价:
三叉树与B-S公式计算的结果看涨期权在保留四位小数的情况下完全相同,说明三叉树对看涨期权的定价相当准确;
对于看跌期权,三叉树的定价与B-S公式略有偏差,绝对偏差为0.0002,相
对误差为0.02%,仍属于比较小的误差水平。
(3)有效性对比
受限于采用的实验设备稳定性不强,我们分别使用三叉树和B-S
公式连续进行100次定价,并记录其平均运行时间:
记录三叉树定价运行时间的程序:
fori=1:
tic;
[c,p]=TrinomialEuro(58.21,40,0.04,112/365,0.5864,100);
t(i)=toc;
end
plot(t)
xlabel('
turns'
);
ylabel('
t'
);
title('
timeofTrinomialmethod'
tbar=mean(t)
记录B-S公式定价方式运行时间的程序:
%computethetimeofB-Sformulamethodfori=1:
[c,p]=blsprice(58.21,40,0.04,112/365,0.5864);
t(i)=toc;
);
timeofB-Smethod'
tbar=mean(t)
先将输出结果列举如下:
表6三叉树和B-S公式定价方式效率对比
模拟步数
看涨期权收敛价格
三叉树定价
5.8846e-005
图3三叉树定价运行时间
图4B-S公式定价运行时间
我们发现,在相同的条件下,三叉树比B-S公式更快的收敛于最终价格,且三叉树定价的效率比B-S公式提高了96.08%,说明三叉树定价在效率上有巨大优势。
d)三叉树与二叉树结果对比
(1)编写M文件,运用二叉树模型对其进行定价,M文件请参见
附录二:
BinomialEuro
输入[C,P]=BinomialEuro(58.21,40,0.04,112/365,0.5864,
N),得到以下结果:
表7二叉树欧式期权计算结果
二叉树模拟价格
三叉树模拟价格
19.4525
19.5858
19.5774
0.7546
0.8878
0.8794
都采用100步的定价结果进行比较:
表8二叉树三叉树定价精确度对比
二叉树模拟
0.4082
2.13%
0.0004
0.04%
从上表对比我们可以发现,对于看涨期权来说,二叉树的定价结果与三叉树的定价结果绝对误差为0.4082,相对误差为2.13%,二叉树定价误差较大;
对于看跌期权来看,二叉树与三叉树定价结果绝对误差为0.0004,相对误差为0.04%,二叉树的定价结果误差较小。
为了方便比较,我们都采取100步,计算二叉树和三叉树的运行时间,并进行有效性的对比。
记录二叉树定价运行时间的程序:
[c,p]=BinomialEuro(58.21,40,0.04,112/365,0.5864,100)
timeofBinomialTreemethod'
)
表9三叉树和二叉树定价方式效率对比
收敛价格
运行时间
二叉树定价
图5二叉树定价方式运行时间
在精度相同的条件下,二叉树定价方式的运行时间比三叉树定
价略长,二叉树定价的效率比三叉树低15.99倍
e)
(1)模拟定价结果与市场价格对比
表10三叉树与市场价格误差对比
-0.1308
-0.68%
0.5090
137.57%
对于看涨期权来说,三叉树定价结果比市场价格小,绝对误差为-0.1308,相对误差为-0.68%,计算结果说明三叉树定价相对准确;
但对于看跌期权来说,三叉树定价结果比市场价格大,绝对误差为0.5090,相对误差为137.57%,三叉数定价结果误差偏大。
(2)结果改进:
在原模型的基础上,我们认为改变计算波动率的股票时间序列,
可能会更有效的计算期权价格。
我们采用前5年的股票价格序列算出价格的年波动率为0.5864。
但是我们认为时间间隔越大或越小都会影响计算的准确性。
所以,我们取前3年的股票价格序列算出价格的年波动率为0.470。
由此,根据blsprice函数、二叉树及三叉树算出的看涨、看跌期权价格分别为19.0716和0.3736。
其结果明显比之前年波动率为0.5864时算的的结果的精确度更高。
f)假设该期权为美式期权
(1)编写M文件,假设该期权为美式期权,运用三叉树模型对其进
行定价,M文件请参见附录三:
TrinomialAmer
输入[C,P]=TrinomialAmer(58.21,40,0.04,112/365,0.5864,100),得到以下结果:
表11美式期权与欧式期权价格对比
欧式期权
美式期权
19.5771
P19.5585
0.0186
0.10%
0.8791
0.8701
0.009
1.03%
从上表可以看出,对于看涨期权而言,欧式期权与美式期
权在用三叉树进行定价时,两者的误差非常之小,绝对误差为,
0.0186,相对误差更是远小于1%对于看跌期权而言,欧式定价与美式定价相差较大,绝对误差为0.009,相对误差为1.03%。
g)模型改进
(1)上述定价方式进行定价时,波动率一律采用2008年1月2日至
2013年5月30日的平均波动率,然而,超过1年的数据已经不具有很
好的代表性,因此我们米取以下两种方式进行修正:
1)分别采用1年、2年、3年、4年的数据计算波动率;
计算波动率的代码如下:
R1=Return(1:
252);
sigma1=std(R1);
R2=Return(1:
504);
sigma2=std(R2);
R3=Return(1:
757);
sigma3=std(R3);
R4=Return(1:
1009);
sigma4=std(R4);
R5=Return(1:
1260);
sigma5=std(R5);
2)波动率采用前五年的加权平均值,权重分别为5、4、3、2、1
计算波动率的代码如下:
b=[54321];
sigma*b'
/15;
计算结果列举如下:
表12调整后的平均收益率和波动率
计算期限
平均收益率
1年
0.1891
0.4522
2年
-0.1433
0.6193
3年
0.3333
0.5806
4年
0.3224
0.5464
5年
0.1956
「0.5864
加权期限
0.1483
0.5440
利用重新计算得到的波动率,我们运用三叉树定价模型对SINA的
期权进行重新定价:
表13波动率调整后的欧式看涨看跌期权三叉树定价
波动率计算期限
看涨期权价格
看跌期权价格
19.0133
0.3153
19.7570
1.0591
19.5452
0.8472
19.3800
0.6821
19.5770
19.3696
0.6717
综合来看,运用最近一年的历史数据计算波动率得到的效果最好,但分别从看涨看跌期权来看,运用最近四年的数据计算得到的看涨期权价格最符合实际,运用最近一年的数据计算看跌期权价格效果最好。
另外我们发现,最近两年的数据得到的计算结果最差,这说明,2011年6月至2012年6月期间,SINA的表现出现了异常波动,导致其期权定价发生偏差,因此在进行期权定价时,应该将2011年6月
至2012年6的数据进行剔除或进行其他处理,否则可能得到具有迷惑性的答案。
二、附录
TrinomialEuro(欧式期权三叉树定价程序)
function[C,P]=TrinomialEuro(SO,K,r,T,sigma,n)
ifn==fix(n)&
&
n>
=1&
sigma>
0&
T>
0deltat=T/n;
U=exp(sigma*sqrt(deltat));
M=1;
D=exp(-sigma*sqrt(deltat));
pU=(sigmaA2*deltat+exp(2*r*deltat)-exp(r*deltat)*(1+D)+D)/((U-1)*(U-D));
pD=(exp(r*deltat)-1-pU*(U-1))/(D-1);
pM=1-pU-pD;
Pij=zeros(2*n+1,n+1);
Pij(1,1)=1;
forj=2:
(n+1)
Pij(1,j)=Pij(1,j-1)*pU;
Pij(2,2)=pM;
Pij(2,j)=Pij(1,j-1)*pM+Pij(2,j-1)*pU;
Pij(3,2)=pD;
forj=3:
Pij(2*j-2,j)=pD*Pij(2*j-4,j-1)+pM*Pij(2*j-3,j-1);
Pij(2*j-1,j)=pD*Pij(2*j-3,j-1);
fori=3:
(2*j-3)
Pij(i,j)=pU*Pij(i,j-1)+pM*Pij(i-1,j-1)+pD*Pij(i-2,j-1);
Sij=zeros(2*n+1,n+1);
Sij(1,1)=SO;
Sij(1,2)=U*S0;
Sij(2,2)=M*S0;
Sij(3,2)=D*S0;
Sij(1,j)=Sij(1,j-1)*U;
Sij(2,j)=Sij(2,j-1)*U;
(2*n+1)
Sij(i,j)=Sij(i-2,j-1)*D;
%%计算期权价格
weight=Pij(:
n+1);
pricefin=Sij(:
Call=max(pricefin-K,O);
Put=max(K-pricefin,0);
C=exp(-r*T)*weight'
*Call;
P=exp(-r*T)*weight'
*Put;
elseif(n~=fix(n)||n<
0)&
fprintf'
error'
elseifsigma<
=0&
elseifT<
=0
else
endend
BinomialEuro(欧式期权二叉树定价程序)
function[C,P]=BinomialEuro(S0,K,r,T,sigma,n)
deltat=T/n;
u=exp(sigma*sqrt(deltat));
d=exp(-sigma*sqrt(deltat));
p=(exp(r*deltat)-d)/(u-d);
%riskadjustedprobability
q=1-p;
fori=1:
n+1
s(i)=uA(n+1-i)*dq-1)*S0;
w(i)=nchoosek(n,i-1)*pA(n+1-i)*qA(i-1);
xi=max(s(i)-K,0);
yi=max(-s(i)+K,0);
cv(i)=w(i)*xi;
pv(i)=w(i)*yi;
C=sum(cv(:
))*exp(-r*T);
P=sum(pv(:
附录三:
TrinomialEuro(美式期权三叉树定价程序)
M=1;
pU=
(sigmaA2*deltat+exp(2*r*deltat)-exp(r*deltat)*(1+D)+D)/((U-1)*(U-D));
Pij(1,1)=1;
Sij(1,1)=S0;
C=max(Sij-K,0);
P=max(-Sij+K,0);
Call=zeros(2*n+1,n+1);
Put=zeros(2*n+1,n+1);
Call(:
n+1)=C(:
n+1).*Pij(:
Put(:
n+1)=P(:
fork=1:
n
j=n+1-k;
2*j-1
Call(i,j)=max(C(i,j),exp(-r*deltat)*(pU*Call(i,j+1)+pM*Call(i+1,j+1)+pD*Call(i+2,j+1)));
Put(i,j)=max(P(i,j),exp(-r*deltat)*(pU*Put(i,j+1)+pM*Put(i+1,j+1)+pD*Put(i+2,j+1)));
C=Call(1,1);
P=Put(1,1);
附录四:
TrinomialEuro(美式期权三叉树定价程序)
function[C,P]=BinomialAmer(S0,K,r,T,sigma,n)
U=exp(sigma*sqrt(deltat));
D=exp(-sigma*sqrt(deltat));
pU=(exp(r*deltat)-D)/(U-D);
pD=1-pU;
Sij=zeros(n+1,n+1);
fori=2:
Sij(1,i)=Sij(1,i-1)*U;
n+1
j
Sij(i,j)=Sij(i-1,j-1)*D;
Pij=zeros(n+1,n+1);
Pij(1,i)=Pij(1,i-1)*pU;
Pij(j,j)=Pij(j-1,j-1)*pD;
j-1
Pij(i,j)=Pij(i,j-1)*pU+Pij(i-1,j-1)*pD;
C=max(Sij-K,O);
P=max(-Sij+K,O);
Call=zeros(n+1,n+1);
Put=zeros(n+1,n+1);
n+1)=C(:
n+1).*Pij(:
n+1)=P(:
Call(i,j)=max(C(i,j),exp(-r*deltat)*(pU*Call(i,j+1)+pD*Call(i+1,j+1)));
Put(i,j)=max(P(i,j),exp(-r*deltat)*(pU*Put(i,j+1)+pD*Put(i+1,j+1)));
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