专插本历年真题高数2012.doc
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广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。
每小题只有一个选项符合题目要求)
1.已经三个数列{an)、{bn)和{cn)满足anbncn(n∈N+),且an=a,cn=c(a、b
为常数,且a A.有界B.无界 C.收敛D.发散 2.x=0是函数,的 A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点 3.极限2xsin= A.0B.2 C.3D.6 4.如果曲线y=ax-的水平渐近线存在,则常数a= A.2B.1 C.0D.-1 5.设f(x,y)为连续函数,将极坐标形式的二次积分化为直角坐标形式,则I= A.B. C.D. 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 6.设f(x)在点x0处可到,且f’(x0)=3,则. 7.若,则f”()=. 8.若曲线y=x3+ax2+bx+l有拐点(-l,0),则常数b=____. 9.广义积分. 10.设函数f(u)可微,且f’(o)=,则z=f(4x2一y2)在点(1,2)处的全微分. 三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分) 11.计算. 12.设函数y=f(x)由参数方程所确定,求(结果要化为最简形式). 13.确定函数的单调区间和极值. 14.求不定积分. 15.设,利用定积分的换元法求定积分. 16.求微积分方程y’’一4y'+13y=0满足初始条件特解. 17.已知二元函数z=x(2y+1)x,求. 18.计算二重积分,其中D是由曲线y=及直线y=1,x=0围成的闭区域. 四、综合题(大题共2小题,第19小题12分,第20小题10分,共22分) 19.已知C经过点M(1,0),且曲线C上任意点P(x,y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP(O为坐标原点)的斜率之差等于ax(常数a>0). (1)求曲线C的方程; (2)诚确a的值,使曲线C与直线y=ax围成的平面图形的面积等于. 20.若当x→0,函数与x是等价无穷小量; (1)求常数a的值; (2)证明: . 广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试 《高等数学》参考答案及评分标准 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.A2.C3.D4.B5.C 二、填空题(本大题共5小题,每个空3分,共15分) 6.-67.8.39.ln210.4dx-2dy 三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分) -Wl+x)(2分) 1l.解: 原式=,(2分) (4分) (6分) 12.解: (3分) (结果没有化简扣2分).(6分) 13.解: 函数的定义域为, ,(2分) 令,解得x=0,x=-1 因为在区间(-∞,-1)内,;在区间(-l,0)内,<0; 在区间(0,+)内,, 所以的递增区间是(-,-1)及(0,+),递减区间是(-1,0),(4分) 的极大值是的极小值.(6分) 14.解: (2分), (6分) 15.解: (2分) (4分) .(6分) 16.解: 由微分方程的特征方程r2-4r+13=0解得r=2±3i,(2分) 所以此微分方程的通解为 .(4分) 因为, 由解得C1=1,C2=2, 故所求特解为.(6分) 17.解: (2分) ,(4分) 故(6分) 18.解: 积分区域D如图: (3分) = =(6分) 四、综合题(本大题共2小题,第19小题12分,第20小题10分,共22分) 19.解: (1)设曲线C的方程为y=厂O),由题意知 .(2分) 由得 (4分) , 因为,解得 故曲线C的方程为.(6分) (2)如图, 由解得x=0,x=2,(10分) 即, 解得a=2.(12分) 由题意知, 20.解: (1)解: 由题意知,(4分) . (2)证: , 设,则,(6分) 令,在区间(0,2)内解得x=l, 因为g(0)=1,g (1)=,g (2)=4, 所以g(x)在区间[0,2]上的最大值为4,最小值为.(8分) 由定积分的估值定理可得, 所以有.(10分) 6
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