既非等差数列又非等比数列题型总结Word下载.docx

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形如an1

fn

2,an1

an，求an

3

an1

ana2a3a4....an

3....

a1a2a3

234

33n

3、递推法：

公式为Sn和an的关系式，解题方法：

S1n

Sn1n2

Sn

的前n项和Sn

2n2

3n

1,a1

6

Sn1

2n

12

3n1

n2时，an

Sn1

4n1

n1时，a1

41

，此时数列不满足an

4n

综上所述：

an

6n

1n

4、裂项相消法：

数列的通项公式为关于项数n的分数，并且分子分

母相差为定值。

m

常见的几种裂项：

（1）

变形：

knnk

nn1nn1

nnk

（）

nn1n22nn1n1n2

32

n1

（4）1

n21n1n12n1n1

5

nn1n1n

nn1n2

的通项公式为an

1，且bn

，Tn为数列bn

anan1

的前n项和，求Tn并证明

Tn

24

由题可得:

bn

12n3

12n

b1

b2

b3

bn

-

-....

7

622n3622n264n164224

232n3

5、错位相减法：

适用于一个等差数列乘以一个等比数列或者等差数

列除以一个等比数列题型，即bnancn

（an为等差数列，cn为

cn

等比数列）

2n，求数列an前n项和Tn

Tn

a3

.....

21

22

23

12n1

n2n...

（1）

等式左右两边同时乘以

2可得：

2Tn122

223

...n

2n1...

（2）

（1）-

（2）式得：

-Tn

n2

（22

Tnn1

2n1

6.分组求和法：

适用于通项公式由等差数列、等比数列以及常数列线性组合而成的数列

已知数列an的通项公式为an3n2n1，求它的前n项和Sn

31

20

322

....3n2n1

13

33

....2n1

3nn

7.待定系数法：

题型一：

pan

q（p.q均为常数且pq1

p

处理方法：

假设an1

pan

，即an1

1-p

q，即

q，令bn1

，则bn1

即数列bn是以a1

为首项，p为公比的等比数列

已知数列

an满足a11,an1

2an

3，求数列an的通项公式

设an1

2an

-3

令bn1an13，则bn1

2，b1a1

34

故数列bn是以4为首项，2为公比的等比数列

42n1

2n1，an

32n13

题型二：

panr

qn（p,q,r为常数，pqr

0且p

q）

等式左右两边同时除以

q

得：

r

令bn1

k（m,k均为常数），则bn

1mbn

k（m,k为常数

m,

且mk1m

0）即变为形式一，再用待定系数法处理

5,an

例题:

已知数列an满足a1

，求数列an

的通项公式

2n

1an1

令bn

an，则bn1

2bn

设bn1

，即bn1

令cn

3，则cn1

2，c1

b132a1

4，an

故数列cn

是以-4为首项，2为公比的等比数列

4

，an

题型三：

形如an1panr（p,r为实数，an0,p0，r0且r1）

处理方法：

等式左右两边同时取常用对数得：

lga

lgpar

lgprlga

，令b

mlgp

b

rb

m（m,r

n，

，则n1

为实数且mr1r0）即变为形式一，再用待定系数法处理

1,an1

10an

2，求数列an

lgan1lg10an

2lganlg102lgan

lgan，则bn1

2bn1

2bn，即bn1

2bn

-1

bn1，则cn1

1lga111

故数列cn是以1为首项，2为公比的等比数列

2n1，bn

12n11，又bn

lgan

2n11

10

题型四：

man

（m,p,q为常数，mpq

0且m

pan

等式左右两边同时取倒数得：

panq

q1

man

1,q

r,p

t，则bn1rbn

t（rt1r

0），即变为形式一，再

a1m

采用待定系数法

满足：

a1

3,an

，求数列an的通项公式

3an1

3，即1

1，则bn

bn1

3，b1

a13

故数列bn是以2为首项，3为公差的等差数列

3n13n

7，an

9n

8.特征根法：

qan1（p,q为常数），其特征根方程为：

x2

px

q，即x2

处理方法：

假设an1

kan

（m,k为常数），即

kanmkan1

mkp

mkq

故m,k为一元二次方程x2pxq0的两个根

若此方程有两个相等的实根x1x2，则我们可以得到

an1x1anx1anx1an1，求出an1x1an的通项公式，再利用待定系数法求出an；

若此方程有两个不等的实根x1,x2，则我们可以得到

an1x1anx2anan1和an1x2anx1anx2an1两个等比数列，分别求

出an1x1an和an1x2an的通项公式，然后两式相减可以得到x2x1an

例题1：

已知数列an满足a1a25，且an1an6an1，求数列an的

通项公式

数列的特征根方程为x2x60,方程有两个不等的

实根x1

3,x2

3an

2an3an1，an12an3an2an1

3a1

10,a2

2a1

15

故数列an13an是以-10为首项，-2为公比的等比数列；

数列an1

是以15为首项，3为公比的等比数列

n1......

（1）

3n1........

（2）

（2）-

（1）式得：

5an

3n110

33n1

2n1

例题

2：

1,a26，an1

4an4an1，求数列an的

数列an的特征根方程为x24x4，即x24x40

方程有两个相等的实根x1x22

an1-2an

2an1，a2

故数列an

12an

是以4为首项，2为公比的等比数列

an12an

2n1，即an1

令bnan，则bn1

1，b1

故数列bn

是以1为首项，

为公差的等差数列

bn2n

n2n

9.不动点法：

man1

k（m,k,p,q均为常数）

pan1

不动点定义：

一般地，设函数

fx的定义域为D，若存在x0

D,使

fx0x0成立，则称x0为fx的不动点。

即若函数fx在定义域范围

内与直线yx有交点，则函数fx存在不动点。

设f

x

mx

k（p0,mq

pk

0）

（1）若f

x有2个相同的不动点x0，则

h（h

2p

），

anx0

an1x0

mq

即数列

为等差数列

x0

（2）若f

x有2个相异的不动点x1,x2

，则an

x1

t

（t

px1），即数列

x1为等比数列

px2

证明：

（1）当

有2个相同的不动点x0时

fx0

mx0

k

x0有唯一解，即px0

mx0

k0有唯一解

px0

mq，k

x0qpx02

mx0，mpx0

mp

mqmq

8

mpx0an1

mpx0an1x0pan1q

（kx0q）mpx0an1

px02

pan1q

pan1x0

px0q

mpx0