湖南大学高等数学A2试题及答案Word文档格式.docx

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七

八

九

十

总分

应得分

15

40

16

14

100

实得分

签名

一.填空题（每小题3分，共15分）

1.方程x2y22z24yz40所表示的二次曲面是.

2.若向量（a3b）（7a5b）,（a4b）（7a2b）,则（a,b）=.

zx2y2

3.曲线z2x2y在点（1,1,2）的切线的参数方程为

xy2y

2

4.设u2xyz2，则u在点2,1,1处方向导数的最大值为.

13

5.函数f（x）展开成（x1）幂级数，则展开式中（x1）的系数是.

x2

二.选择题（每小题3分，共15分）

1.设有以下命题：

①若（u2n1u2n）收敛，则un收敛.

n1n1

②若un收敛，则un1000收敛.③若limun11，则un发散.

n1n1nunn1

④若（unvn）收敛，则un,vn都收敛.则以上命题中正确的是（）

n1n1n1

（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④

x2x2y10

2.直线x22yz与xy之间的关系是（）

xyz

3.直线L:

绕z轴旋转而产生的旋转曲面方程为（）

326

（A）14z236（x2y2）（B）13z236（x2y2）

222222

（C）14x236（z2y2）（D）14x236（z2y2）

若在同一平面内,则求两直线的交点;

若不是在同一平面内,则求两直线之间的距离

na

3.（8分）设anxsinxdx（n1,2,...），试判别级数ann敛散性.

0n13

222

4.（8分）设uu（x,y）具有二阶连续偏导数，试适当选取a,b的值,使方程6220

x2xyy2

经过变换xay,xby后化为方程u0.

5.（8分）求函数uxy2yz在约束条件xyz10下的最大值和最小值.

8分，共16分）

1.从椭球面外的一点作椭球面的一切可能的切线,证明全部切点在同一平面上

2.已知a,b为两个非零且不共线的向量.令cab,是实数,试证:

使得c最小

的向量c垂直于a.

n1n1111

五、（14分）设f（x）n3x，

（1）证明f（x）在（,）内连续;

（2）计算8f（x）dx.

n1330

一.填空题（每小题3分，共15分）:

1.椭圆柱面2.3.x1,y1t,z22t

3

4.26.5.

81

二.选择题（每小题3分，共15分）:

1.B2.D3.B4.A5.C

三、解答下列各题（每小题8分，共40分）

fy（0,0）0，因此，f（x,y）在（0,0）处偏导数存在.2分

2xcos1

2）fx（0,0）

1sin

xy

22

xy0;

1，不存在，

[x2y2]cos1

x2y2

lim0

xy0.

1x

（x,y）沿直线y0趋向（0,0）时，有limfx（0,0）lim2xcossin

y0

故fx（x,y）在（0,0）处不连续.同理可得,fy（x,y）在（0,0）处不连续.5分

zdzf（0x,0y）f（0,0）fx（0,0）xfy（0,0）y

（3）因为lim0lim0

1

从而PQ{1,1,1},所以（s1s2）PQ

20,

3分

4分

故直线L1与L2为异面直线.

2（ijk）.

6分

过L1作平行于直线L2的平面,其法向量可取为ns1s2

所以平面的方程为（x1）y（z1）0,即xyz20.

又因点（0,1,2）在直线L2上,故两直线L1与L2之间的距离即为点（0,1,2）到平面的距离,

解2:

直线L1与L2的方向向量分别为s1{1,1,2}s,2{1,3,4},且分别过P（1,0,1）Q,（1,1,2）1分

故直线L1与L2为异面直线.

过L1作平行于直线L2的平面,其法向量可取

134

所以平面的方程为（x1）y（z1）0,即xyz20.

又因点A（1,0,1）和点

B（0,1,2）分别在直线L1与L2上,故所求两直线的距离为:

2y2z0

Lx2y2z2100z

yx2zy2xz

从前三个式中消去可得驻点（x,y,z）应满足yxzy22

2x2yz5xy

代入第四个式子即可求得四个驻点

P1（1,5,2）,P2（1,5,2）,P3（1,5,2）,P4（1,5,2）,

代入计算得u（P1）55,u（P2）55,u（P3）55,u（P4）55.

从而知在P1与P4两点处u取得最小值55，在P2与P3两点处u取得最大值55

即函数uxy2yz在约束条件xy2z210下的最大值是55，最小值是55.8分

1分

1.证明：

设椭球面的的方程为2221

abc

椭球面外一点设为P（x0,y0,z0）,02y02021，由P向作切平面，设切点为Q（x,y,z），

故当ab时,c最小,cb2（ab）此时,caabab,5分

a2mina2a2

abab

因为ca（2ab）a2（aa）baabab0,7分

aa

所以c最小的向量c垂直于a.8分

五.证明

（1）∵lim|an|limn33,∴级数n3n1xn1收敛半径R2分

nannnn13

13xx11

（x）9分

313x13x33

那么f（x）（x）

（1）2

13x13x

111

即求得f（x）n3x（x）11分

n1（13x）233

08f（x）dx08

（13x）2

111

dx8d（13x）

30（13x）2

1181

313x05

14分

limcos0.因此,函数f（x,y）在（0,0）处可微．8分

2.解1:

直线L1与L2的方向向量分别为s1{1,1,2}s,2{1,3,4,}且分别过P（1,0,1）Q,（1,1,2）1分