《振动力学》习题集含答案docx文档格式.docx

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ki

i=1,2,3,m,a和b，横杆质量不计。

求固有

频率。

答案图E1.4

图E1.4

对m进行受力分析可得:

mg

=k3X3，

X3

k3

如图可得:

Xi

Fl

k1

X0

mgb

abki

X2

F2

k2

mga

abk2

则等效弹簧刚度为:

则固有频率为:

亠ak1bk2mg

abk1k2

ak1

bk2

Iyabk1k2

mgmg

k

ke

abk1k2k3

a2k1k3b2k2k3亠〔ab2k1k2

k1k2k3a'

b

■mk1k2a■b2■k3k1^'

k2b2

示。

确定系统由此产生的自由振动。

对m1由能量守恒可得（其中v1的方向为沿斜面向下）

m1gh=1m1v12

即Vi=J2gh

对整个系统由动量守恒可得:

m1v1=m1亠m2

Vo，即Vo

m1

m1亠m2

.2gh

令m2引起的静变形为X2，则有:

m2gsin:

=kx2，即X

m2gSin

令mi+m2引起的静变形为

X12,同理有:

X12

m1■m2gSin:

■

得:

Xo=X12—X2

m1gSin:

Xo

则系统的自由振动可表示为:

X=X0cos∙∙nt■—Sin■∙nt

其中系统的固有频率为:

m2

注意到Vo与X方向相反，得系统的自由振动为:

X=X0cosnt_

Vo

Sin'

nt

1.9质量为m、长为I的均质杆和弹簧k及阻尼器C构成振动系统，如图E1.9所示。

以杆偏角二为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。

若在弹簧原长处

立即释手，问杆的最大振幅是多少？

发生在何时？

最大角速度是多少？

是否在过静平衡位置时？

利用动量矩定理得：

IT1--kJaa-CFl,

ml

ml3cl3ka=O,

3cl

2ml

3c12a.mk

1=c：

：

一、：

一

2m.nlC3

mgkv0aa,

θ0

mgl

2ka

1.12面积为S质量为m的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所

作用于薄板的阻尼力为Fd=^2Sv,2S为薄板总面积，V为速度。

若测得薄板无阻尼

自由振动的周期为TO,在粘性流体中自由振动的周期为Td。

求系数）。

图E1.12

平面在液体中上下振动时：

mx2JSXkx=O

k2:

一22二

2^S

=2■n__

m

1-2

^S2JS

m∙∙nk

kJ2S2

竺k-42S2To∖k

2二m

ST°

Td

2.1图E2.2所示系统中，已知

m,c,kι,k2,Fo和∙•。

求系统动力学方程和稳态响

应。

图E2.1

k2l

答案图E2.1（a）

等价于分别为X和x2的响应之和。

先考虑

x1,此时右端固结,

力为图（b）,故:

mx

k1x—x1c1x_X1

答案图E2.1（b）

系统等价为图（

a）,受

mx亠∣k1k2XGc2x二k1XCIX

（1）

k1■k2

mxCXkx二k1A1sin1gA1cos“t

c二c1c2，k=k1k2，n二

（1）的解可参照释义（2.56）,为:

k1A1

Sinst-V

Y（t）=2

k^C-S^+（2⅛）

C1AuCoSlr:

11-R

kJ（1-S2j+（2巴SS

其中:

■-1

S=

，弓=tg

故

（2）为:

IkI

+k2丿

k1k2

P-S^+P5sf

1-

k^hk2丿

+C201

ILk1■k2

k1∙k2-m∙［亠iG■C^∙-12

d.k1A1Sin（囲t_B1）+c1A1cc1cos（cc1t_色）

X（t）=

k1+k2_mC0：

j+（c1+C22

k1'

c√,1

2222sin（KIIt-日1+日2

k1*k2-m，〕亠∣c■C2'

'

12

I1

=tg--

2Sr=tg

-S

JC豹1∕（k1+k2）_tg

C1C2厂1

k1亠k2_，1m

=tg

kι

考虑到x2t的影响,

则叠加后的

Xt为:

AIl222

A√ki+CiOi

Xt.k1∙k2一mJcU

SinCCit-tg

c1∙C2「.tg

匕k?

-（m

JcΓ,i

如图T2-1所示。

已知，「-30，求系统的运动规律。

m=1kg,

2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，k=49N/cm,开始运动时弹簧无伸长，速度为零,

答案图T2-1

图T2-1

=70rad/s

mgSin、■:

mgSin〉二kx°

，X

19.8

2=0.1Cm

49

X=X0cos■∙nt=一0.1CoS701Cm

h

W2

Wi

图T2-2

V2

W1

-W2

v12，

v12

W1W2

2gh

2.2如图T2-2所示，重物W1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物W2从高度为h处自由下落到W1上而无弹跳。

求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规

律。

X1.

平衡位置

X

答案图T2-2

W2h=1W1v：

，V^..2gh

2g

动量守恒:

平衡位置:

W1=kx1，X11

W1+W2

W1W^kx12，X1212

故:

X=-XoCoSntJX^Sinnt

Vn

--x0cosnt

Sin■∙nt

2.4在图E2.4所示系统中，已知m,k1,k2,F0和•.，初始时物块静止且两弹簧均为

原长。

求物块运动规律。

-X1

FoSin■∙t

ΛMΛ

FoSin∙∙t

k2（X2—X1）

mx2

图E2.4

答案图E2.4

取坐标轴X1和X2,对连接点A列平衡方程:

—k1x1■k2X2-X1］亠F0Sin∙.t=0即：

k1∙k2x1=k2x2■F0Sin∙，t

对m列运动微分方程:

即：

mx2_-k2x2_x1

mx2亠k2x2

（2）

由

（1），

（2）消去x1得:

k1k2

FOk2

sin，t

k1k

由（3）得:

x2ti=

F0k2

k1k2■■

k1亠k

（3）

Sint

Sinnt

X=Vo,求系

2.5在图E2.3所示系统中，已知m，c，k，Fo和•■,且t=0时，x=x°

，

统响应。

验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。

匕八k…

<

WVV

JC

FOcos■，t

图E2.3

Xt=e一°

tccos;

讥t亠DSin;

汀dti亠ACOSF'

t-τl

P（I_s2$+（2≤s2

X0=XO=CACOSj=C=x0-Acosv

x（t）=-⅛0e-c^t（CCoSeCdt+DSinc‰t）

+e-°

°

0t（-Coc∣dSinCCdt+Dodcosω∣dt）-AoilSin（c⅛t-B）

X（O=v0=—0C■D；

.Td'

A；

；

■sinJ=■D

Vo*—oC

■∙d

求出C，D后，代入上面第一个方程即可得。

2.7由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。

当齿轮转动角速度为■■时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为

meTsin7。

已知偏心重W=125.5N，偏心距e=15.0cm，支承弹簧总刚度系数k=967.7

N∕cm,测得垂直方向共振振幅Xm=I.07cm，远离共振时垂直振幅趋近常值X。

=0.32cm。

求支承阻尼器的阻尼比及在=300Rmin运行时机器的垂直振幅。

me

Xt=Tr

」2S

1-S*2

S

s=1时共振，振幅为:

me1

Xi1.07Cm

M2ξ

远离共振点时，振幅为:

X20.32Cm

M

由

（2）=•M

由

（1）

=⅛⅛=

2X1

meX22XI

=0.15

◎0

ik

■=300r.min,0=,S

X=

=3.810°

2.7求图T2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3,悬臂梁的质量忽

略不计。

图T2-7

答案图T2-7

量质无

kι和k2为串联，等效刚度为:

kk

k12="

K2。

（因为总变形为求和）

k1+k2

k12和k3为并联（因为k12的变形等于k3的变形），则:

k123~k12k3k3

&

卄2

k1k2k1k3k2k3

kι'

k2

k123和k4为串联（因为总变形为求和），故:

k123

k4

k1k2k4'

k1k3k4'

k2k3k4

k123k4

kιk2kιk3k2k3kιk4k2k4

2.9如图T2-9所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系

统作垂直振动的固有频率:

（1）振动过程中杆被约束保持水平位置;

（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；

（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

-O

∣1

∣2

图T2-9

{

H-∣I

>

xI）

答案图T2-9

保持水平位置：

.

微幅转动:

X=X1X

Fl土

∣1'

∣2

Lmg

∣2k1

代―k1

」坠上如mg

∣1∣2∣1'

∣2k1k2

∣2k2∣1T2∣1k1-∣1∣2k2

（∣1+∣2）k1k2

∣1k1-∣2k

122

+I2）k1k2

∣1k1∣2k2

2.10求图T2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。

答案图T2-10

mglakI

x1a

XAl

■XA

a

=—x1

l

mgl

X=X2XA

mg

m的位置：

^X2X^mgXA

mgl-FIa,FI，.Xi

ak1lk2Ξ-mgak1k2

ak1k2

k-_—

e—22,

aki■lk2

2.11图T2-11所示是一个倒置的摆。

摆球质量为m,刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚

度为上。

（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；

（2）摆球质量m为0.9kg时，测得频率仁为1.5Hz,m为1.8kg时，测得频率为0.75

Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？

零平衡位置

O

:

—

rτn

=2

j∕,y√r>

答案图T2-11

（1）

IT2

ml'

τl

-mgl1「cosV

利用TmaX二Umax

221

ka——mgl

θ—Qθ

■■maxn■'

max

J=丄ka2_mgl

答案图T2-11

（2）

ka—mgl

ml2

kag

若取下面为平衡位置，求解如下:

=—ml

2y

mglCoSd=一kamgl

12212122kaτιmglmglvka-mglv

Pl"

Ba

TU=0,2mlm2τlka2-mgldt

ml2V■ka2-mglv-0

ka-mgl

1—2Sin

2.17图T2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k,试问:

（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？

（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离?

mg=k1234Xo，

x0COS■,nt，

图T2-17

k23

k1234

2mg

max

=k?

■k3

23

k1-k

4mg

2.19如图T2-19所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴

的转动惯量为I,忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

图T2-19

R2

•2

m2「

1Q1

T=-m1X_I

22

1,21[1—m2x+——I22（2

I

m1■—

-—m2

χ2

■2

=-meX

系统动能为:

1k

RrX

k2亠k1

二—keX

根据:

Tmax

=Vmax，Xmax

='

nXmax

k2■k1RI

n=

I3

m12._m2

R22

2.20如图T2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为

Io,求系统的固有频率。

图T2-20

1,21.B2

TIOhm1虫

22^2

m〔am2∣TI

V虫眇T眇刊

冷k1a2

k2lk3b71

Tmax=Vmax

，JmaX=■n二max

k〔a亠k2∣亠k3b

I2I2

IO亠m1a亠m2∣

2.24一长度为I、质量为m的均匀刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如

图T2-24所示。

写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。

利用动量矩方程，有:

Jτl--kJaa-cFI，J

Jml2

ml3cl3kaTl

3ka2

3cl2

23ka2ml2

2amk

2.25图T2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。

图T2-25

答案图T2-25

mτι∣ICTlaakτιbb=O

2.2.2.

mlCakb=O

Ca

=2-；

.-?

n,

2mln

∖4kml2b2

24

-Ca

2bl/—

=I=C=2Xmk

2.26图T2-26所示的系统中，m=1kg，k=144N/m，C=48N?

S/m，lι=l=0.49m，

∣2=0.5l,∣3=0.25l,不计刚杆质量，求无阻尼固有频率,及阻尼o

Qm

Il

图T2-26答案图T2-25

受力如答案图T2-26。

对O点取力矩平衡，有：

mT1∙∣1■cT3I3■kT2」2=°

mlI.cl3j■kl2^-0

■-1-1

m∙c∙k-I-0

164

4m

=2■

1—C16

—C1

0.25

16m2CCn

4.7两质量均为m的质点系于具有张力F的弦上，如图E4.7所示。

忽略振动过程中弦

张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。

求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚

度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。

答案图E4.7

（1）

图E4.7

Sin,Sin^2

Sin-∣3二T3=竺

根据m1和m2的自由体动力平衡关系，有:

my

m2y2

=-FSinZi1

=-FSinV2

mi

FSinJ2F

—FSinτ∣3F

yι

Y2

y2-yiF

-「y2-2yi

y2FO

yi-2y2ll

0TyL打

ESl]

2-1yi

J12虹

当m1=m2时，

蛍mly1=YSint,y2=Y2Sint,■=

F

代入矩阵方程，有：

U2二朴0

2-1

=2……1=

-3=O

-12-■

1,2=1,3

2F

.F2

3F

1-1

1，'

2=

=

根据2-，Y1-Y2^0得:

第一振型

第二振型

答案图E4.7

（2）

4.11多自由度振动系统质量矩阵M和刚度矩阵K均为正定。

对于模态Xi和Xj及自然

数n证明:

XTMKJMXj=O，XTKMJKXj=0

KXj-.j2MXj,等号两边左乘KMJ

1212T

KM一KXj=.jKM一MXj=.jKXj，等号两边左乘Xi

XTIKMJKXj=.j2IXTKXjL0，当i=j时

重复两次：

121

KM一KXj=川jKXj,等号两边再左乘KM一

KMJKMJKXj-jKmJKXj,等号两边左乘X-

XiTKM

122T

JKXj=■jXi

KMJKIXj=

0,

当i=j时

重复n次得到：

XTKM

丄T

IKXj=0

KXj=jMXj，

寺号两边左乘

MK

_12Λ

MKKXj--jMKMXj

故：

2_1T

MXj=jMKMXj,等号两边左乘Xi

XTMXj=2XTMK’MXj=0,当i=j时

即X