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的分解后的特征值数,各种各样的复杂的原因归结于一些算法完全更新的特征结构,是否明确计算的样本相关矩阵,而其他的只跟踪信号子空间或噪声子空间,[25]例如,一种简单概括的能量方法,适应于的主要特征向量的样本相关矩阵在r2[7,17]每次更新时给出一个能量进行迭代,这种方法需要运算,Stewart的O(nr)[23]URV更新算法跟踪信号源与信号和噪声子空间而无须对样本相关矩阵估值.2它有一个为的计算复杂度,同一顺序的计算也是所需要的Moonenetal.并O(n)行方法,其中用交错的QR三角和Jacobi轮换更新奇异值分解,梯度型算法跟踪无论是信号或噪声子空间,他们要求为运算的梯度上升或逐步上升而且运算O(nr)2[13]出附加标准正交化的特征向量的估计值.DeGroat开发一个信号平均算O(nr)法.这种方法平均信号与噪声特征使之称为两个子球。
结果表明,子空间跟踪成为非迭代任务,只需要为运算更新.O(nr)在本文中,我们用一种新的方式来跟踪信号子空间,它作为一种新的解释的信号子空间的无约束最小化问题的解决方案.我们首先讨论一些梯度下降方法,其余的内容则侧重于不同的做法,我们证明了通过作出适当的投影逼近能最大限度地简化众所周知的指数加权最小二乘问题,递归最小二乘技术(RLS)就可以有效地用于跟踪信号子空间,由此产生的算法有一个计算复杂度为,我们O(nr)可以获得(不完全正交)信号子空间基值或信号特征向量的估计值.本文安排如下,在第二节中讨论信号和噪声子空间的定义以及对他们在信号处理中的一些应用作简要说明。
第三节介绍了一种无约束成本函数,并证明它没有局部极大值和极小值除了一个唯一全局最小对应的信号子空间,在此基础上观察,在第四节将讨论各种自适应算法跟踪信号子空间的开发,第五节提出了一些仿真结果表明来算法的适用性和性能.2.子空间和子空间应用n使作为所观察到的数据矢量的快摄,在空间域频谱分析中,ix(t)CTnx(t)x(t),...,x(t)包括的样本相关阵列,同时在网域频谱分析中,1nTnx(t)是矢量的连续样本时间序列,我们假定是x(t)x(t),x(t1),...,x(tn1)
窄带信号波形对撞天线阵列的组成部分,或者非相干的复杂正弦被加性噪声rr带噪,由下面的公式给出:
r
(1)x(t)S(t)a()n(t)As(t)n(t)iii1nr这里,而且是确定的阶矩阵,是奇异相关矩阵Aa(),...,a()S(t)A1rTHjj(n1)a()1,e,...,e的一个随机矢量源,为导向或频率CE[S(t)S(t)]iiis矢量,在声频检索中,是的正弦角频率,在阵列处理中:
iidsin2
(2)ii保证平面波形对撞成为线性均匀探测阵列。
这里是间距传感要素,是波长,d2是相对DOA阵列的宽边.如果噪声是白噪声(也许是白化步长)与有平u(t)i等的差异但与无关,下面的表达是为了观察相关矩阵的收率:
S(t)HH2(3)CE[x(t)x(t)]ACAIs让和成为特征值和的相应正交特征向量。
在矩阵记法中u(i1,...,n)CiiHn,,。
如果小于,无序非增长的特Uu,...,udiag()CUUr1n1,...,n征值由下面的式子给出:
2(4)......1rr1n占主导地位的特征对,称为信号的特征值和特征向量信号,而(,u)i1,...,nii,被称为噪声特征和噪音特征向量:
(,u)ir1,...,nii和(5)Uu,...,uUu,...,uS1rNr1n被定义为信号与噪声子空间,人们很容易以确认与具有相同的栏跨度和AUS噪声子空间的正交补的信号子空间.x(t)|t1,...,L在数据压缩中,我们感兴趣的是编码序列随机向量的样本x(t)占据最小的存储空间,这里可能是序列图像或语音音素,在最小二乘中解HLn决这一问题的方法是KL展开,经过计算SVD的阶矩阵或Xx
(1),...,x(L)HnCXX/L者ED相应的相应的样本相关矩阵,每个样本矢量编码是由x(t)C一个低维向量:
Hy(t)Ux(t),(t1,...,L)(6)Snr这里包括占优势权奇异向量或者的等效特征相量,现在阶矩阵UrrCXS和都被替代,信号重建计算:
x(t)|t1,...,LUy(t)|t1,...,LSHˆ(t)Uy(t)UUxx(t)(7)SSS很明显,空间应用的特点具有以下几个特征:
n.只有为数不多的几个特征向量是必需的.由于输入向量维是往往大于,比2r之与噪声子空间它更有效地作用于低维信号子空间..在许多应用中,我们不需要特征值.除了在利用WSF估算和用特征值来估计信号的数目来源时,在本文中我们假定是已知的.r.有时候,没有必要完全准确地了解特征相量.例如,在多重信号分析方法(MUSIC),最小模估计,或者ESPRIT估算中,用一个任意标准正交基信号子空间就足够了.事实上,我们只需要一小部分的特征结构就能够通过减少计算和存储需求来发展子空间跟踪算法.3.一种新的信号子空间的介绍Hn设是一个随机复杂值过程向量且相关矩阵.我们考究以下的xCC[xx]标量函数:
2HHHHJ(W)ExWWxtr(C)2tr(WCW)tr(WCWWW)(8)nr矩阵变量.在不丧失一般性的前提下,我们假设是一个秩为rWWC(rn)的满秩矩阵.否则,如果的秩,在方程(8)中的就经常被另一个满秩WWrrHHnrWWWW矩阵所替代以满足请注意我们对没有任何的约束条件,W,尤其是没有的标准约束,因此没有对进行定义,因为在在无限大时WWWJ(W)也为无限大,我们感兴趣的是极小的,我们希望知道:
J(W).是否存在全局最小值?
J(W).该最小值与信号子空间之间的关系?
C.是否还有其他的局部极小值?
J(W)这些问题通过以下的定理可以得出:
nrWUQ:
有且仅有当时,是上一个稳定点,这里WUCJ(W)定理1,rr
rr包含了不同的标准向量。
是任意酉矩阵.在各个稳定点,都等价CQCJ(W)于那些特征向量不属于的特征值的总和.Ur证明:
见附录所有在上的稳定点都是谷点,除非当包含的个最大特征UCJ(W)r定理2:
r向量.在这种情况下达到全局最小值.J(W)证明:
见附录以下是对定理发表的评论:
.当出现最小值时的纵向跨度等价于信号子空间同时没有其他最小WJ(W)值.通过迭代法寻求的最小值而且保证信号子空间整体的收敛性.CJ(W).我们对的纵行标准没有任何的约束条件.上述两个定理说明在(8)对W的求最小可以自动的将的纵行标准化.这就使得我们的信号子空间解释WJ(W)[18]是区别于那些标准化被明确提出以求最优的那些文献解释的.以Yang和KavehHH作为实例,他们提出对服从求最大或最小值以找出中的WWICtr(WCW)信号或者干扰子空间.这是一个约束最优化问题,其结果是,每次更新(或周期)[16,19]后要重新正交化或做一些类似的近似规划正交集,以迫使该算法收敛.W在方程(8)中,我们处理的是一个无约束最小化的问题,要尽量少使用迭代算法,在迭代过程中将总是收敛到信号子空间的一个正交基而不需要正规J(W)正交化处理..重要的是要注意的最小值,不包含信号特征向量。
取而代之的是我WJ(W)们得到由定理1中酉矩阵所标示出的标准正交化的基础。
这并不奇怪,因为参数H空间的转换使得是不变的。
从另一方面说,当QQIJ(W)J(W)J(WQ).H为最小值时并不是唯一的,但是向量积是唯一的.等价于信号子空WWWJ(W)间投影矩阵..对于简单一维向量,求最小值的方法主要是的归一化特征向量(r1)J(W)子空间轨迹.C4.子空间跟踪x(t)(t1,2,...)在快摄实际应中,我们的主要兴趣在于估计递归信号子空间.t我们的目标是开发有效的运算法则用来估算在时间内信号子空间和引入的样本矢量,从以上信号子空间的解释开始,产生了各种不同的可能性.x(t)
A.梯度法自(8)描述了一种无约束成本函数是最小,它是适用于简单的梯度下降技术的子空间跟踪,的梯度和是由下面的式子给出的(见附录)WJ(W)HH(9)J[2CCCWWWC]W因此更新的子空间可以写成:
HHW(t)W(t1)[2C(t)C(t)W(t1)W(t1)W(t1)W(t1)C(t)]W(t1)(10)t是相关矩阵在时间为时候的一个估这里且是适当选择得到的步长,C(t)C0C(t)计值,我们可能利用一个加权指数或滑动窗口来对进行估值,最简单的选择,HC(t)x(t)x(t)瞬时估计值就像在最小二乘技术(LMS)中用到的自适应滤波算法,造成子空间更新是由:
Hy(t)W(t1)x(t)HHHHW(t)W(t1)[2x(t)y(t)x(t)y(t)W(t1)W(t1)W(t1)y(t)y(t)](11)仔细计算表明,这算法的计算复杂度为.O(nr)我们注意到,由单位矩阵I进一步简化上述算法可以实现近似(11)中HH:
W(t1)W(t1)W(t)W(t1)[x(t)W(t1)y(t)]y(t)(12)这种近似的理由是通过我们的观察将收敛到一个正交矩阵(当W(t)t)或者接近正交(当是一个足够小的常量)的列平稳信号,(t)0如果我们一维相量是(12)中所提到的情况,那么我们得到了:
*(13)w(t)w(t1)x(t)w(t1)y(t)y(t)H且,此更新的公式与被设计用于通过一个单一的线性单位神y(t)w(t1)x(t)[15,19]经网络提取第一主成分的Oja学习规则是相同的.B.投影近似子空间跟踪与基于压缩技术的投影近似子空间跟踪算法尽管(11)和(12)两种基于梯度的空间更新方法的适用性已经在我们的模拟中得到证实(本文中并未提及),这也不是本文研究这些细节的目的,在这项工作中我们主要的兴趣聚焦于一个不同点,也就是所谓的投影近似子空间跟踪方[26]法,用指数加权增长率和替换(8)中的期望值:
t2tiHJ(W(t))x(i)W(t)W(t)x(i)i1HHHtr[C(t)]2tr[W(t)C(t)W(t)]tr[W(t)C(t)W(t)W(t)W(t)](14)t所有有效的样本向量在时间区间内都涉及到在瞬时时刻对信号子空间1it的估值,遗忘因子的用处是确保数据在遥远的过去下降了权重,以便当01系统运行在一个非平稳环境时能够提供跟踪能力,对应于不断增长的滑动1窗口条件,当,时有效窗口的长度为.t11/
(1)1(14)中的和(8)中的显然是相同的,除了利用指数加权样本J(W(t))J(W)相关矩阵:
tHHti(15)C(t)x(i)x(i)C(t1)x(t)x(t)i1H中代替,因此第Ⅲ部分里的两个定理也满足,换句话说,该J(W(t))CE[xx]栏目的也就是最小值来源于正交基础基的信号子空间的跨越主rW(t)J(W(t))导特征向量,是四阶函数的要素,迭代算法有必要尽量减小J(W(t))W(t)C(t)H.投影近似子空间跟踪(PAST)方法的关键是近似(14)中的,W(t)x(i)J(W(t))对中未知预测是由可以在内的任意瞬时t计算出的表达式x(i)1itW(t)Hy(i)W(i1)x(i)给出,这样的结果是改良成本函数:
t2ti(16)J'
(W(t))x(i)W(t)y(i)i1也就是的二次要素。
W(t)因此这一近似预测被称为投影近似子空间跟踪算法(PAST),改善的J(W(t))表面性能误差,对不变或者缓慢变化的信号.表一PAST算法用于信号子空间跟踪选择适当的和P(0)W(0)
fort1,2,...DOHy(t)W(t1)x(t)h(t)P(t1)y(t)Hg(t)h(t)/[y(t)h(t)]1HP(t)TriP(t1)g(t)h(t)e(t)x(t)W(t1)y(t)HW(t)W(t1)e(t)g(t)HHt和之间的差别是很小的,特别是当接近的时候,但遥iW(t)x(i)W(i1)x(i)t远过去也就是远小于时这种差别可能会变大,但是这种过去数据对成本函数it的贡献是随着的增长而不断减小的,我们因此期望是对的良好J'
(W(t))J(W(t))逼近,而且矩阵的最小化是信号子空间的良好估计值,对于参W(t)J'
(W(t))C(t)数的突然变化,从PAST方法导出的算法在一些数值试验时同样是收敛的.PAST方法主要的优点是指数加权最小二乘准则(16)也就是已经被很好地研究过的自适应滤波,如果满足下面的条件时时被最小化.J'
(W(t))1W(t)C(t)C(t)(17)xyyytHHti(18)C(t)x(i)y(i)C(t1)x(t)y(t)xyxyi1tHHti(19)C(t)y(i)y(i)C(t1)y(t)y(t)yyyyi12nr递归计算矩阵和矩阵分别需要和的计算量,此C(t)C(t)rrO(r)O(nr)xyyy22C(t)C(t)外和计算需要的计算量,一种更为有效的方法O(nr)O(r)W(t)xyyyC(t)C(t)是应用矩阵逆变换引理计算的逆或者用QR更新技术递归计算的yyyy[27,28]Cholesky因子,这样导致了各种各样的RLS算法可资利用.由于这些算法早为人们所熟知,这里我们仅用其中的一种更新而对其过程不加推导.W(t)1P(t)C(t)TriPAST信号子空间跟踪算法见表一,其中表示只计算的上yy
三角(或者下三角)部分并将其转置作为下三角(或者上三角)部分,该RLS方案减少了计算次数并且在有舍入误差是保持的对称性.P(t)2PAST算法每次更新需要的计算量.初始值和必须选得3nrO(r)W(0)P(0)适当.应包括个标准正交向量,必须是对称正定矩阵,和rW(0)P(0)W(0)P(0)均可由初始数据块或任意初始数据计算而得,然而最简单的方法是设置的W(0)nn列向量为的单位矩阵的个主单位向量,设置为单位矩阵.初值的rrrP(0)选择仅会影响算法的瞬态行为,而对算法的稳态性能没有影响.PASTd算法是基于压缩技术的PAST算法.压缩技术的主要思想是主要分量的序贯估计.首先,用的PAST算法更新最大的特征向量,然后从数据向量r1中去掉在该最大特征向量上的投影,因为现在第二个最大的特征向量成为更r(t)新了数据向量中最大的特征向量,可以用上述方法进行提取.重复进行该过程,可以顺序地估计所有所需的特征成分.PASTd算法见表二.实际上,第二个for循环的主体对应于单个向量情(r1)1C(t)P(t)形时的PAST算法,所起的作用与表一中的矩阵相同.d(t)rriyy表二中的最后一个等式描述了压缩步骤:
从中减去其沿第个特征向量方向x(t)ii的分量.w(t)i表二PASTd算法用于信号子空间跟踪选择合适的初始值和d(0)w(0)iiFort1,2,...DOx(t)x(t)Fori1,2,...,rDOHy(t)w(t1)x(t)iii2d(t)d(t1)y(t)iiie(t)x(t)w(t1)y(t)iiiiw(t)w(t1)e(t)[y(t)/d(t)]iiiii
x(t)x(t)w(t)y(t)i1iii2PASTd算法每次更新需要的计算量,计算复杂度中少了项是O(r)4nrO(r)因为无需计算矩阵.是的第个特征向量的估计,为相应特w(t)d(t)rriC(t)iinr征值的指数加权估计,压缩技术使间的标准正交性变差,并且当时w(t)i计算复杂度稍有增加.PASTd算法的另一个特点是算法中隐含了一个时变的、自调整的步长,这使得其具有优越的收敛特性和对于输入信号调整的鲁棒性1/d(t)能.
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