届高三数学一轮复习导学案教师讲义第5章第1讲 平面向量的概念及线性运算Word格式.docx
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方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:
0与任一向量共线.
(5)相等向量:
长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:
长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律:
a+b=b+a;
结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|=|λ||a|,当λ>
0时,λa与a的方向相同;
当λ<
0时,λa与a的方向相反;
当λ=0时,λa=0
λ(μa)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( )
(2)零向量与任意向量平行.( )
(3)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )
(4)若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(5)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( )
(6)在△ABC中,D是BC的中点,则=(+).( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√ (6)√
给出下列命题:
①零向量的长度为零,方向是任意的;
②若a,b都是单位向量,则a=b;
③向量与相等.则所有正确命题的序号是( )
A.① B.③
C.①③D.①②
A
(教材习题改编)如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,则下列结论错误的是( )
A.=B.与共线
C.与是相反向量D.=||
解析:
选D.根据向量的概念可知选D.
对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
选A.若a+b=0,则a=-b,故a∥b;
反之,a∥ba+b=0.
(教材习题改编)如图,▱ABCD的对角线交于M,若=a,=b,用a,b表示为( )
A.a+b B.a-b
C.-a-bD.-a+b
选D.==(b-a)=-a+b,故选D.
(教材习题改编)化简:
(1)(+)++=________.
(2)++-=________.
(1)(+)++=(+)+(+)=+=.
(2)++-=+=0.
(1)
(2)0
平面向量的有关概念
[典例引领]
①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
③若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则ABCD为平行四边形;
④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;
⑤已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.
其中真命题的序号是________.
【解析】 ①是错误的,两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;
但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点.
②是错误的,|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b的方向不一定相等或相反.
③是正确的,因为=,所以||=||且∥;
又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形.
④是错误的,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.
⑤是错误的,当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.故填③.
【答案】 ③
辨析向量有关概念的五个关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.
[通关练习]
1.判断下列四个命题:
①若a∥b,则a=b;
②若|a|=|b|,则a=b;
③若|a|=|b|,则a∥b;
④若a=b,则|a|=|b|.其中正确的个数是( )
A.1 B.2
C.3D.4
选A.只有④正确.
2.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;
②若a与a0平行,则a=|a|a0;
③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
选D.向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;
若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
平面向量的线性运算(高频考点)
平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算,是高考考查向量的热点.常以选择题、填空题的形式出现.主要命题角度有:
(1)向量的线性运算;
(2)根据向量线性运算求参数.
角度一 向量的线性运算
(1)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-+ B.=-
C.=+D.=-
(2)在四边形ABCD中,=,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,则( )
A.=+B.=+
C.=+D.=+
【解析】
(1)法一:
因为=3,所以=,
所以=+=+=+(-)=-+.故选A.
法二:
因为=3,所以-=3(-),
所以=-+.故选A.
(2)在四边形ABCD中,如图所示,因为=,所以四边形ABCD为平行四边形.由已知得=,由题意知△DEF∽△BEA,则=,所以==(-)=×
=,所以=+=+=+,故选B.
【答案】
(1)A
(2)B
角度二 根据向量线性运算求参数
(1)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
(2)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是________.
【解析】
(1)=+=+=+(+)=-+,
所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.
(2)设=y,因为=+=+y=+y(-)=-y+(1+y).
因为=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合).
所以y∈,
因为=x+(1-x),
所以x=-y,所以x∈.
【答案】
(1)
(2)
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.
(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;
求差用三角形法则;
求首尾相连向量的和用三角形法则.
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较求参数的值.
[注意] 注意应用初中平面几何的知识如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等,可以简化运算.
1.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=( )
A. B.
C.D.
选A.+=(+)+(+)=(+)=,故选A.
2.如图,点E是平行四边形ABCD的对角线BD的n(n∈N且n≥2)等分点中最靠近点D的点,线段AE的延长线交CD于点F,若=x+,则x=________(用含有n的代数式表示).
依题意与图形得==(n∈N且n≥2),所以=,所以=+=+,又因为=x+,所以x=.
平面向量共线定理的应用
(1)已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为( )
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1D.λμ=1
(2)如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( )
A.B.
【解析】
(1)因为A、B、C三点共线,所以∥,
设=m(m≠0),所以所以λμ=1,故选D.
(2)注意到N,P,B三点共线,因此=m+=m+,从而m+=1⇒m=.故选B.
【答案】
(1)D
(2)B
共线向量定理的3个应用
(1)证明向量共线:
对于向量a,b,若存在实数λ,使a=λb(b≠0),则a与b共线.
(2)证明三点共线:
若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线.
(3)求参数的值:
利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.
[注意] 证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
1.如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交对角线AC于点K,其中=,=,=λ,则λ的值为( )
选A.因为=,=,
所以=,=2.
由向量加法的平行四边形法则可知,=+,
所以=λ=λ(+)=λ=λ+2λ,
由E,F,K三点共线,可得λ=,故选A.
2.已知非零向量e1,e2不共线.
(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),
求证:
A、B、D三点共线;
(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.
解:
(1)证明:
因为=e1+e2,
=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,
所以与共线,
且有公共点B,
所以A、B、D三点共线.
(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线,
所以存在λ,
使ke1+e2=λ(e1+ke2),
则(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1与e2不共线,
只能有
所以k=±
1.
向量线性运算的三要素
向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则,向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;
向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;
平行四边形法则要素是“起点重合”.
向量线性运算的常见结论
(1)在△ABC中,D是BC的中点,则=(+);
(2)O为△ABC的重心的充要条件是++=0;
(3)四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则+=2.
(4)对于平面上的任一点O,,不共线,满足=x+y(x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1.
解决向量的概念问题的注意点
(1)不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;
(2)考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零向量的特殊性;
(3)注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
1.如图,向量a-b等于( )
A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2D.3e1-e2
选C.由题图可知a-b=e1-3e2.故选C.
2.(2017·
高考全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则( )
A.a⊥bB.|a|=|b|
C.a∥bD.|a|>
|b|
选A.依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,即4a·
b=0,a⊥b,选A.
3.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向
选D.由题意可设c=λd,即ka+b=λ(a-b),(λ-k)a=(λ+1)b.因为a,b不共线,所以所以k=λ=-1,所以c与d反向,故选D.
4.如图所示,已知向量=2,=a,=b,=c,则下列等式中成立的是( )
A.c=b-aB.c=2b-a
C.c=2a-bD.c=a-b
选A.由=2得+=2(+),即2=-+3,所以=-,即c=b-a.故选A.
5.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=( )
A.a-b B.a-b
C.a+bD.a+b
选D.连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,所以=+=b+a.
6.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:
①=a-b;
②=a+b;
③=-a+b;
④++=0.
其中正确命题的个数为________.
=a,=b,=+=-a-b,故①错;
=+=a+b,故②正确;
=(+)=(-a+b)=-a+b,故③正确;
所以++=-b-a+a+b+b-a=0.故④正确.
所以正确命题为②③④.
3
7.若||=||=|-|=2,则|+|=________.
因为||=||=|-|=2,所以△ABC是边长为2的正三角形,所以|+|为△ABC的边BC上的高的2倍,所以|+|=2.
2
8.如图所示,设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△ABC与△AOC的面积之比为________.
取AC的中点D,连接OD,则+=2,所以=-,所以O是AC边上的中线BD的中点,所以S△ABC=2S△OAC,所以△ABC与△AOC面积之比为2.
9.在△ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.
=(+)=a+b.
=+=+=+(+)=+(-)=+=a+b.
10.已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R).
(1)若m+n=1,求证:
A,P,B三点共线;
(2)若A,P,B三点共线,求证:
m+n=1.
证明:
(1)若m+n=1,则=m+(1-m)=+m(-),
所以-=m(-),
即=m,
所以与共线.
又因为与有公共点B,所以A,P,B三点共线.
(2)若A,P,B三点共线,则存在实数λ,使=λ,
所以-=λ(-).
又=m+n.
故有m+(n-1)=λ-λ,
即(m-λ)+(n+λ-1)=0.
因为O,A,B不共线,所以,不共线,
所以所以m+n=1.
结论得证.
1.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=2,则=( )
A.b-aB.b-a
C.b-aD.b+a
选C.因为=-=+-,所以=+-=-+-=-=b-a,故选C.
2.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于( )
C.D.2
选B.因为=λ+μ=λ(+)+μ(+)=λ+μ(-+)=(λ-μ)+,所以解得λ+μ=.故选B.
3.(2018·
江西吉安模拟)设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与( )
A.反向平行B.同向平行
C.互相垂直D.既不平行也不垂直
选A.由题意得=+=+,=+=+,=+=+,因此++=+(++)=+=-,故++与反向平行.
4.已知点P、Q是△ABC所在平面上的两个定点,且满足+=0,2++=,若||=λ||,则正实数λ=________.
由条件+=0知=-=,所以点P是边AC的中点,又2++=,所以2=--=++=2,从而有=,故点Q是边AB的中点,所以PQ是与边BC平行的中位线,所以||=||,故λ=.
5.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若=m+,求实数m的值.
由N是OD的中点得=+=+(+)=+,又因为A,N,E三点共线,故=λ,即m+=λ,所以解得故实数m=.
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