《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习提纲-附件1.doc
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《概率论与数理统计(经管类)》(4183)自学考试复习提纲
第一章随机事件与概率
1、排列组合公式:
排列数从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
组合数从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
例如:
袋中有8个球,从中任取3个球,求取法有多少种?
解:
任取出三个球与所取3个球顺序无关,故方法数为组合数
注:
排列数经常用组合数及乘法原理得到,并不直接写出。
2、加法和乘法原理:
加法原理(两种方法均能完成此事):
m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):
m×n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,则这件事可由m×n种方法来完成。
例1、从北京到上海的方法有两类:
第一类坐火车,若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3,则坐火车的方法有3种;第二类坐飞机,若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机,分别记作飞1、飞2。
问北京到上海的交通方法共有多少种。
解:
从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。
它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
例2、从北京经天津到上海,需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班,记作汽1、汽2、汽3
第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班,记作飞1、飞2
问从北京经天津到上海的交通方法有多少种?
解:
从北京经天津到上海的交通方法共有:
①汽1飞1,②汽1飞2,③汽2飞1,④汽2飞2,⑤汽3飞1,⑥汽3飞2。
共6种,它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
3、基本事件、样本空间和事件:
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
随机试验所有可能结果构成的集合为样本空间,记为。
中的元素称为样本点,记为。
样本空间的任一子集称为随机事件。
通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。
必然事件:
在一次试验中,一定出现的事件,叫必然事件,习惯用表示必然事件。
例如,掷一次骰子,点数≤6的事件一定出现,它是必然事件。
不可能事件:
在一次试验中,一定不出现的事件叫不可能事件,而习惯用表示不可能事件。
例如,掷一次骰子,点数大于6的事件一定不出现,它是不可能事件。
4、事件的关系与运算:
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
如果同时有,,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B。
A、B中至少有一个发生的事件:
,或者。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:
,或者。
,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
交换律:
结合律:
A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配律:
(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根律:
,
例3、A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算表示以下事件。
(1)A,B,C三事件中,仅事件A发生
(2)A,B,C三事件都发生
(3)A,B,C三事件都不发生
(4)A,B,C三事件不全发生
(5)A,B,C三事件只有一个发生
(6)A,B,C三事件中至少有一个发生
解:
(1)
(2) (3)(4)
(5)(6)
例4、某射手射击目标三次:
A1表示第1次射中,A2表示第2次射中,A3表示第3次射中。
表示三次中射中0次,表示三次中射中1次,表示三次中射中2次,表示三次中射中3次,请用、、的运算来表示、、、。
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
例5、A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算表示下列事件。
(1)A,B都发生且C不发生
(2)A与B至少有一个发生而且C不发生
(3)A,B,C都发生或A,B,C都不发生
(4)A,B,C中最多有一个发生
(5)A,B,C中恰有两个发生
(6)A,B,C中至少有两个发生
(7)A,B,C中最多有两个发生
解:
(1)
(2) (3)
(4)
(5) (6)
(7)
例6、若Ω={1,2,3,4,5,6};A={1,3,5};B={1,2,3}
求
(1);
(2);(3);(4);
(5);(6);(7),(8)。
解:
(1)={1,2,3,5};
(2)={1,3};
(3)={2,4,6};(4)={4,5,6};
(5)={4,6}; (6)={2,4,5,6};
(7)={2,4,5,6}; (8)={4,6}
由本例可验算对偶律,,正确
例7、A,B,C为三事件,说明下列表示式的意义。
(1);
(2); (3); (4)
解:
(1)表示事件A,B,C都发生的事件。
(2)表示A,B都发生且C不发生的事件。
(3)AB表示事件A与B都发生的事件,对C没有规定,说明C可发生,也可不发生。
∴AB表示A与B都发生的事件。
(4)
所以表示A与B都发生的事件。
5、概率的公理化定义:
设为样本空间,为事件,对每一个事件都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°0≤P(A)≤1,
2°P(Ω)=1
3°对于两两互不相容的事件,,…有
(3°通常称为可列(完全)可加性)
则称P(A)为事件的概率。
6、古典概型:
1°,
2°。
设任一事件,它是由组成的,则有
P(A)==
例8、掷三次硬币,设A表示恰有一次出现正面,B表示三次都出现正面,C表示至少出现一次正面,求:
(1)P(A);
(2)P(B);(3)P(C)
解:
样本空间Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,反反正,反反反};
(1)
(2)(3)
7、常用公式:
加法公式:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
例9、若P(A)=0.5,P(A+B)=0.8,P(AB)=0.3,求P(B)
解:
因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
∴P(B)=P(A+B)+P(AB)-P(A)
=0.8+0.3-0.5=0.6
减法公式:
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时,P()=1-P(B)
例10、已知P(B)=0.8,P(AB)=0.5,求。
解:
。
例11、若A与B互不相容,P(A)=0.5,P(B)=0.3,求。
解:
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8
根据对偶公式
所以。
条件概率:
定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为。
乘法公式:
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有
…………。
事件独立性:
①两个事件的独立性
设事件、满足,则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立,且,则有
若事件、相互独立,则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。
与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C),那么A、B、C相互独立。
对于n个事件的独立性,可类似定义。
例12、甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次,他们击中目标的概率分别为0.7,0.8和0.9,求目标被击中的概率。
解:
记={目标被击中},则
全概公式:
设事件满足
1°两两互不相容,,
2°,
则有
。
例13、有两批相同的产品,第一批产品共14件,其中有两件为次品,装在第一个箱中;第二批有10件,其中有一件是次品,装在第二个箱中。
今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中,然后再从第二箱中任取一件,求从第二箱中取到的是次品的概率。
解:
用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。
用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。
则
,,,
根据全概率公式,有:
贝叶斯公式:
设事件,,…,及满足
1°,,…,两两互不相容,>0,1,2,…,,
2°,,
则
,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
,(,,…,),通常叫先验概率。
,(,,…,),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
例14、设男女两性人口之比为51:
49,男性中的5%是色盲患者,女性中的2.5%是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人,恰好是色盲患者,求此人为男性的概率。
解:
用表示色盲,表示男性,则表示女性,由已知条件,显然有:
因此:
根据贝叶斯公式,所求概率为:
伯努利概型:
我们作了次试验,且满足
u每次试验只有两种可能结果,发生或不发生;
u次试验是重复进行的,即发生的概率每次均一样;
u每次试验是独立的,即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率,则发生的概率为,用表示重伯努利试验中出现次的概率,,。
例15、在四次独立试验中,事件A至少发生一次的概率为0.5904,求在三次独立试验中,事件A发生一次的概率.
解:
记={四次独立试验,事件A至少发生一次},={四次独立试验,事件A一次也不发生}。
而,因此
。
所以
三次独立试验中,事件A发生一次的概率为:
。
第二章随机变量及其概率分布
1、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为
,
则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形式给出:
…
…
…
…
显然分布律应满足下列条件:
(1),;
(2)
例1、设离散型随机变量的概率分布为试确定常数.
解:
根据,得,即。
故
2、连续型随机变量的分布密度
设是随机变量的分布函数,若存在非负函数,对任意实数,有
,则称为连续型随机变量。
称为的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质:
1°;
2°。
3、分布函数
设为随机变量,是任意实数,则函数
称为随机变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。
注:
可以得到X落入区间的概率。
分布函数表示随机变量落入区间(–∞,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
1°;
2°是单调不减的函数,即时,有;
3°,;
4°,即是右连续的;
5°。
对于离散型随机变量,;
对于连续型随机变量,。
例2、已知20件同类型的产品中有2件次品,其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4次,每次只取一件,取后不放回.以X表示4次共取出次品的件数,求X的概率分布与分布函数.
解:
X的可能取值为0,1,2。
因为;
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