平行四边形知识点汇总文档格式.docx
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平行线之间的距离定义:
若两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离。
平行线之间的距离特征1:
平行线之间的距离处处相等。
平行线之间的距离特征2:
夹在两条平行线之间的平行线段相等。
矩形
矩形定义1:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义2:
有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对称轴是各边的垂直平分线。
矩形性质1:
矩形的四个角都是直角。
矩形性质2:
矩形的对角线相等且互相平分。
(注意:
矩形具有平行四边形的一切性质)
直角三角形的性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形判定1:
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形判定2:
有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定3:
对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形
菱形定义1:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义2:
四条边都相等的四边形叫做菱形。
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对称轴是对角线所在的直线。
菱形性质1:
菱形的四条边都相等。
菱形性质2:
菱形的对角线互相垂直平分。
菱形性质3:
菱形的每一条对角线平分一组对角。
菱形的面积:
菱形的面积等于对角线乘积的一半。
推广:
对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。
菱形判定1:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形判定2:
四条边都相等的四边形是菱形。
菱形判定3:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
菱形判定4:
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
菱形具有平行四边形的一切性质)
正方形
正方形定义1:
有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形定义2:
有一个角是直角的菱形叫做正方形。
正方形定义3:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形既是中心对称图形又是轴对称图形,对称中心是两条对角线的交点,对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。
正方形性质1:
正方形的四个角都是直角。
正方形性质2:
正方形的四条边都相等。
正方形性质3:
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。
正方形判定1:
有一组邻边相等的矩形是正方形。
正方形判定2:
有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形判定3:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
正方形判定4:
对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质)
四边形的典型题目精编
1,如图1,在平行四边形中,下列各式不一定正确的是()
A.∠1+∠2=180°
B.∠2+∠3=180°
C.∠3+∠4=180°
D.∠2+∠4=180°
2,如图2,在□中,,,与交于点O,则该图中的平行四边形的个数共有()
A.7个 B.8个 C.9个 D.11个
3,如图3,在平行四边形中,∠110°
,延长至F,延长至E,连接,则∠∠()
A.110°
B.30°
C.50°
D.70°
4,对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( )
A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形
5,下列说法中,正确的是( )
A.正方形是轴对称图形且有四条对称轴
B.正方形的对角线是正方形的对称轴
C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D.菱形的对角线相等
6,菱形、矩形、正方形都具有的性质是()
A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线平分一组对角
7,已知:
如图4,菱形中,对角线与相交于点∥交于点E,6,则的长为( )
A.6B.4C.3D.2
8,在学习“四边形”一章时,小明的书上有一图因不小心被滴上墨水(如图5),看不清所印的字,请问被墨迹遮盖了的文字应是( )
A.等边三角形 B.四边形C.等腰梯形 D.菱形
9,如图6,在宽为20m,长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.根据图中数据,计算耕地的面积为( )
A.600m2 B.551m2 C.550m2 D.500m2
10,如图7,在一个由4×
4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形的面积比是()B
A.3∶4 B.5∶8 C.9∶16 D.1∶2
二、填空题(每题3分,共24分)
11,如图8,∥,∥,如果∠B=50°
,那么∠D=___度.
12,已知梯形中∥,∠=60°
=2
是梯形的高,且=1,则=___.
13,一个平行四边形被分成面积为S1、S2、S3、S4的四个小平行四边形(如图9),当沿自左向右在平行四边形内平行滑动时,S1·
S4与S2·
S3与的大小关系是___.
14,如图10,已知∥,⊥,=12,=15,=20,则梯形的面积为___.150
15,矩形纸片中,=4,=10,按如图11方式折叠,使点B与点D重合,折痕为,则=___.
16,矩形中,对角线、相交于点O,∠=2∠.若=18,则=___.
17,如图12,矩形的相邻两边的长分别是3和4,顺次连接矩形各边的中点,得到四边形,则四边形的周长等于___,四边形的面积等于___2.
18,在直线l上依次摆放着七个正方形(如图13所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=___.
三、解答题(共40分)
19,如图14,等腰梯形中,∥,3,=4,=7.求∠B的度数.
20,如图15,四边形是平行四边形,对角线、交于点O,过点O画直线分别交、于点E、F.求证:
=.
21,如图17,在□中,∠=5∠A,过点B作⊥交的延长线于点E,O是垂足,且==4,求:
(1)□的周长;
(2)四边形的周长和面积(结果可保留根号).
22,如图18,□的对角线的垂直平分线与边、分别相交于点E、F.求证:
四边形是菱形.
23,如图20,正方形中,P是边上一点,⊥,⊥.求证:
=.
24,如图19,在矩形中,P是形内一点,且=.求证=.
25,如图,在梯形
中,
,
于点E,F是的中点,是梯形
的高.
(1)求证:
四边形是平行四边形;
(2)设
,四边形的面积为y,求y关于x的函数关系式.
参考答案:
一、1,D;
2,C;
3,D;
4,A;
5,A;
6,C;
7,C;
8,D;
9,B;
10,B.
二、11,50;
12,2;
13,S1·
S4=S2·
S3;
14,150;
15,
;
16,9;
17,10、6;
18,4.
三、19,过A点作∥,有□,则△为等边三角形.即∠60°
20,因为四边形是平行四边形,所以∥,=,即∠=∠,又∠=∠,则△≌△,故=;
21,在□中,因为∠=5∠A,又∠∠B=180°
,所以∠A=30°
,而∥,⊥,所以⊥,在△中,∠=90°
,=2=8,∠A=30°
,所以=
=4,由勾股定理,得=
=4
(),所以□的周长=(8
+8);
(2)因为∥,=,而=,所以=且∥,即四边形是平行四边形,又⊥,所以□是菱形,所以四边形的周长=4=16(),面积=
·
=8
(2);
22,易证△≌△,所以=,所以四边形是平行四边形,又⊥,所以四边形是菱形;
23,证△≌△即得;
24,证△≌△即得;
25,【答案】:
(1)证明:
∵
,∴梯形为等腰梯形.∵∠60°
,∴
,又∵
∴
.∴
.
由已知
,∴∥.
又∵为等腰三角形的高,∴E是的中点,
∵F是的中点,∴∥.∴∥.
∴四边形是平行四边形.
(2)解:
在△中,
,∵
在△中∠60°
,并且
由
(1)知:
在平行四边形中
∴四边形的面积
∴
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