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进而他提出发现是达到目的的最好手段,所以学习的实质在于发现。
因而人们把他的理论称为认知——发现说。
布鲁纳没有专门的学习理论专著,他的学习理论大多是和教学理论,课程理论联系在一起的。
在他的教育理论和课程理论中蕴含着学习论的思想。
1959年美国科学院召开会议,讨论如何改进中小学数理学科的教育。
布鲁纳是这次大会的主席,他在著名的大会总结报告《教育的过程》中系统地阐述了自己的教学思想,主要包括以下几个方面。
(1)教育在智育方面的目标是传授知识和发展智力
布鲁纳提出:
我们也许可以将追求优异成绩作为教育的一般目标,但是,应该弄清楚追求优异成绩这个说法指的是什么意思。
它在这里指的是,不仅要教育成绩优良的学生,而且要帮助每个学生获得最好的智力发展。
布鲁纳将“帮助每个学生获得最好的智力发展”列为教育的一般目标,具有非常重要的意义。
(2)要让学生学习学科知识的基本结构。
布鲁纳认为:
学生对所学材料的接受必然是有限的。
怎样才能使这种有限的接受在他们以后一生的思想中有价值?
对这个问题的回答是:
不论我们教什么学科,务必使学生理解该学科的基本结构。
所谓学科的基本结构,是指学科的基本原理,是把每门学科的事实、零散的知识联系起来的基本概念、基本公式、基本法则。
将学科基本结构作为教学的中心内容,让学生掌握学科的基本结构有如下好处:
1懂得基本原理可以使得学科更加容易理解。
因为抓住了基本原理,就可以根据这个原理去理解许多特殊的现象和事实。
2掌握基本结构有助于知识的记忆。
因为没有形成结构的知识,很快就会遗忘。
降低遗忘率的好方法,就是根据基本原理来组织论据;
需要时只要借助这些基本原理来推断论据,就可将一件事实重新回忆起来。
3掌握基本原理有助于学习的迁移。
将事物作为基本原理的特例去理解,可以使学生根据已学得的知识去推及以后遇到的问题。
4从小就开始学习学科的基本结构,有利于缩小目前小学、中学和大学的学习过程中“低级”知识和“高级”知识之间的差距。
(3)注重儿童的早期智力开发
布鲁纳提出一个大胆的假设:
任何学科都能够用在智育上是正确的方式,有效地教给任何发展阶段的任何儿童。
(4)提倡“发现学习”的方法
所谓发现学习,就是学生不是从教师的讲述中得到一个概念或原则,而是在教师组织的学习情境中,学生通过自己的头脑亲自获得知识的一种方法。
布鲁纳认为,无论是学生独立进行的发现学习,或是在教师指导下进行的发现学习,都可以锻炼学生的思维,它是使学生的理智发展达到最高峰的有效手段。
从布鲁纳的报告和书中可以看出,他对数学学习和数学教学很感兴趣。
布鲁纳和他的同事们进行了大量的数学学习实验,从中总结出了四个数学学习原理。
(1)建构原理。
学生开始学习一个数学概念、原理或法则时,要以最合适的方法建构其代表。
年龄较大的学生,可以通过呈现较抽象的代表掌握数学概念。
但对大多数中学生,特别是低年级学生,应该建构他们自己的代表,特别应从具体的形象的代表开始。
例如,讲
=0这一概念时,可用“要多小有多小”的形象描述让学生理解。
(2)符号原理。
如果学生掌握了适合于他们智力发展的符号,那么就能在认知上形成早期的结构。
数学中有效的符号体系使原理的扩充和新原理的创造成为可能。
例如,当表示方程的符号形成之后,就能学习解多项式方程的一般方法。
布鲁纳认为,对于中学低年级的学生,表示函数的最好方法是使用以下的符号:
□=2△+3,其中□和△代表自然数。
逐渐地用y=2x+3来表示函数,最后用y=f(x)表示函数。
布鲁纳认为,应当用螺旋式的方法来建构数学中的符号体系。
这里的螺旋式方法指的是以直观的方式引进每一个数学概念,并使用熟悉的和具体的符号表示数学概念的方法。
简单地说,符号原理就是要根据学生的智力发展水平,使其达到相应的抽象水平。
(3)比较和变式原理。
比较和变式原理表明,从概念的具体形式到抽象形式的过渡,需要比较和变式,要通过比较和变式来学习数学概念。
例如,在几何中,比较圆的弧、半径、直径和弦,能使学生对这些概念理解得更清楚。
况且有些概念本身就是通过比较定义的,例如,负数是正数的相反数,不是有理数的那些数称为无理数。
布鲁纳认为,比较是帮助学生直观地理解数学概念和发展其抽象水平的最有用的方式之一。
(4)关联原理。
关联原理指的是应把各种概念、原理联系起来,置于一个统一的系统中进行学习。
在数学教学中,教师不仅要帮助学生发现数学结构间的差别,而且也要帮助学生发现各种数学结构间的联系。
布鲁纳认为,如果要使学生的学习卓有成效,就必须说明和理解数学概念间的联系。
布鲁纳的教学和学习理论,对我们有如下几点启示:
(1)在数学教学过程中,不仅应使学生掌握数学知识的概念、定理、公式等,还应理解数学知识的来龙去脉,应注重知识的产生过程,而不是孤立地记住一些数学结论。
(2)在表示数学知识时,要根据学生的情况,考虑是通过一系列实例呢,还是通过一些概念和原理,或是一系列符号。
例如,在中学低年级,函数概念只能这样来表示:
把米换算成尺;
产量不变,总产量和亩数。
稍高一点的年级就可用下面的例子来表示函数概念了:
一系列物体的有序对,y=2x,y=
等。
到高中,可以下述形式给出函数概念:
y=f(x)是x的函数,如果集合X中的每一个元素a在Y中存在唯一的元素b和它对应,使得b=f(a)。
(3)在数学教学过程中,应把学习过的数学知识按一定的方式构造好,以便于学生记忆和保持。
(4)为了“迁移”做好充分的准备,应使学生对数学基本原理有深刻的理解,从而根据原理的结构,把掌握的模式应用到类似的事物中。
例如,学生掌握了完全平方公式
的结构和特征,就可以利用此公式把下列二元三次式化成完全平方式
(5)要使学生享受到数学智力活动的乐趣,把从中得到的愉悦作为鼓励学生学习的重要手段。
二、认知——接受理论和数学学习
20世纪50年代,许多数学教育工作者认为,在数学教学中普遍应用的讲授法会导致学生的机械学习,而发现学习,探究学习是促进有意义学习的好方法。
因此,许多人否定了讲授法在学校教学中的地位,只有部分人认为,讲授法在过去曾经起过良好的作用,今天不应把它作为不好的教学方法抛弃。
正是在这样的形势下,美国心理学家奥苏伯尔提出了有意义学习理论。
他的理论属于认知心理学范畴,但他不象布鲁纳那样强调发现学习,而是强调有意义的接受学习。
因而他的理论可以称为认知——有意义接受学习理论。
奥苏伯认为,学习过程是在原有认知结构基础上,形成新的认知结构的过程;
原有的认知结构对于新的学习始终是一个最关键的因素;
一切新的学习都是在过去学习的基础上产生的,新的概念、命题等总是通过与学生原来的有关知识相互联系,相互作用条件下转化为主体的知识结构。
奥苏伯尔为了说明他的有意义学习理论,把学习从两个维度上进行划分:
根据学习的内容,把学习分为机械学习和有意义学习;
根据学习的方式,把学习分成接受学习和发现学习。
机械学习是指学生并未理解由符号所代表的知识,仅仅记住某个数学符号或某个词句的组合。
例如关于函数符号y=f(x),学生可能知道这是函数的符号,也知道y代表因变量,x代表自变量,但它真正的含义并不十分清楚。
表现在不能识别R→R:
y=f(x)=x²
和u=f(v)=v²
是同一个函数。
或者会背函数的定义,但不知其意义,这些都是机械学习的表现。
“有意义学习过程的实质,就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的(非任意的)和实质性的(非字面的)联系”。
这里所谓的非人为的联系,就是符号所代表的新知识同原有知识的联系。
例如,要使对数概念的学习成为有意义的学习,就要把对数概念与指数概念、开方概念、实指数幂的性质等建立联系,即建立所谓的非人为的联系。
所谓实质性的联系,指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容的联系。
例如对数概念,“㏒
b”;
“求以a为底b的对数就是求a的多少次方等于b”;
三者表示的是同一个意思。
这三者的联系就是实质性的联系。
简单地说,有意义学习就是学生能理解由符号所代表的新知识,理解符号所代表的实际内容,并能融会贯通。
再以函数为例,不仅理解函数概念的文字意义,而且能理解符号意义。
即理解了:
(1)函数的定义关键在于定义域和对应法则,而与函数符号中用什么字母表示无关;
(2)谈论函数一刻也离不开定义域,有时没有明确指明定义域,而且还可用表格、图像给出;
(4)“随处定义和单值定义”这两条本质特征缺一不可,否则不成其为函数了。
这样的学习才是有意义学习。
奥苏伯尔认为,学习者原有认知结构中的适当知识是否与新的学习材料建立“非人为的联系”和“实质性联系”,乃是区分有意义学习和机械学习的两个标准。
接受学习指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学习者。
这种学习不涉及学生任何独立的发现,只需要他将所学的新材料与旧知识有机地结合起来(即内化)即可。
例如学习对数概念,以定论的形式呈现在学生面前(这里并不排斥为便于学习而提供的一些辅助材料),学生通过把它和a
=b相联系,从而掌握对数概念,这种学习就是接受学习。
发现学习的主要特征是不把学习的主要内容提供给学习者,而必须由学生独立发现,然后内化。
例如从许多不同的实例中,发现正比例函数的关系。
又如发给学生每人一个三角形纸板,要他们用拼凑的办法独立去发现三角形的三个内角的关系等等。
有意义学习和机械学习,发现学习和接受学习是划分学习的两个角度,这两个维度之间的关系是既彼此独立,但又互相联系。
奥苏伯尔认为,它们之间存在着交叉关系(如表4—1)。
有意学习有意义的接受学习有意义的发现学习
机械学习机械的接受学习机械的发现学习
接受学习发现学习
表21—1
也就是说接受学习可以是机械学习,也可以是有意义学习,发现学习可以是机械学习,也可以是有意义学习。
例如,学生在解决某一问题时,这时学习的方式是发现学习,因为结论并未呈现在学生面前,要让学生自己去获得。
在大多数情况下,学生不用理解其中所涉及的概念、法则和定理,只要记住问题的类型和操作程序,就能完成操作任务。
正像小学生不懂分数概念,可以熟练地进行分数运算,初中学生不懂方程的概念和同解原理可熟练地解方程那样。
因此,解决问题若不建立在真正理解概念、原理、法则、定理的基础上,若不理解操作各部分的意义,就不可能是真正的,有意义的发现。
奥苏伯尔关于有意义学习的基本观点是:
在学校条件下,学生的学习应当是有意义的,而不是机械的。
从这一观点出发,他认为好的讲授教学是促进有意义学习的唯一有效方法。
探究学习,发现学习等在学校里不应经常使用。
即奥苏伯尔提倡有意义的接受学习。
基于上述观点,奥苏伯尔对产生有意义学习的条件作了探讨。
他认为要产生有意义的接受学习,学习者必须具备两个条件:
第一,学习者必须具有意义学习的心向,即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来。
如果学生企图理解学习材料,有把新学习的和以前学过的东西联系起来的愿望,那么该生就是以有意义的方式学习新内容。
如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来,那么有意义学习就不会发生。
第二,新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在的意义。
通过把新的数学概念和原理与已有的数学知识相联系,学生就能把新内容同化到原有的认知结构中去。
为了保证有意义学习,教师必须帮助学生建立他们自己的认知结构与数学学科结构之间的联系。
使得每一个新的数学概念或原理都与学习者原有认知结构中相应的数学概念和原理相联系。
从奥苏伯尔的学习理论,至少可以得到以下几点启示:
(1)在数学教育改革进一步深化的今天,数学教育界提出了各种教学方法,例如“启导发现法”,“茶馆式教学法”,“六课型单元教学法”等等。
那么究竟应该选择哪种教学方法呢?
奥苏伯尔的观点告诉我们,在提供某种教学方法时,不要贬低甚至否定另一种教学方法,也不要把某种教学方法夸大到不恰当的地步。
实际上,教学方法的作用是不能离开特定的教学情境的,某种教学方法在这种教学情境中有效,也许在另一种教学情境中无效或效果很小。
(2)在班级授课制这一教学组织形式下,以接受前人发现的知识为主的学生应以有意义的接受学习作为主要的学习方法,辅助以发现学习,因为发现学习对于激发学生的智慧潜能,学会发现的技巧具有积极意义。
这样,数学教育工作者就应当把更多的精力放在有效的讲授教学方法上。
(3)教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么。
教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系,以及激发学生有意义学习的心向。
三、数学学习中的“建构学说”
由上述数学学习一般过程的认知理论可见,数学学习并非是一个被动的接受过程,而是一个主动的建构过程。
也就是说,数学知识不能从一个人迁移到另一个人,一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作、交流,通过反省来主动建构。
这就是建构主义的数学学习观或称为数学学习的建构学说。
下面就此观点作些说明:
1、关于数学学习活动“建构性”的断言,不仅是认知心理学的一般原理在数学中的直接应用,而且也是数学特殊性质的具体表明。
任何数学知识的获得都必须经历“建构”这样一个由“外”到“内”的转化过程。
2、已有的知识、经验等构成了新的认识,亦即新的建构活动的必要基础
3、与具体的、零散的知识相比,整体性的知识是更为重要的,因为只有后者才能为新的认识活动提供必要的“认识框架”。
4、要注意所说的“建构”活动的“社会性质”。
就学生的数学学习过程而言,尽管数学知识的“建构”活动最终是由学生相对独立地完成的,但必定是在一定的“社会环境”之中进行的。
我们应当首先看到数学教师的作用,同时也应充分重视“学习共同体”,即同学、小组、班级、学校、家庭对学生认识活动的影响。
建构学说对数学学习有何指导意义呢?
可以从三方面来看:
(1)建构学说强调主体的感知。
既然数学学习是一个主动的建构过程,从而就必须突出学习者的主体作用。
一切数学知识、技能和思想方法的获得,都必须经过学习者主体感知、消化、改造使之适合自己的数学认知结构,才能被理解与掌握。
对学习者来说,应该充分利用教师指导的有利条件,但又不能以此为唯一的依靠,发挥自己的主观能动性,按照自己的实际,“跳一跳”的方式去学习,才能取得最佳的效果。
(2)建构学说又强调外部环境的制约和影响。
要使数学学习学有所得,真正形成优良的认知结构,那就必须有一个反思、交流、批判、检验、改进、发展的过程。
因为数学学习在一定程度上总要重复历史的主要进程,即重视人类对数学的建构过程。
对学习者来说,不应满足于自己的一得之见,而应注意与教师及其他同学的交流,通过交流实现再提高。
(3)建构学说还强调学习是发展,是改变观念。
按照建构学说的看法,知识就是某种观念,因此知识是无法传授的,传递的只是信息。
学习者应该对这些信息作观念的分析与综合,进行有选择的接收和加工处理。
此外,认识是一个不断发展与深化的过程。
因此,学习者的认知结构也就有一个不断发展、不断建构的过程。
这种在发展中学习,在学习中改变观念的观点,对指导数学学习是十分有益的。
第二节数学学习的心理过程
以布鲁纳、奥苏伯尔等为代表的认知学习理论认为,学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用,形成新的认知结构的过程。
以下我们在认知学习理论基础上来探讨学生数学学习的心理过程。
一、数学认知结构
数学学习过程是学生把人类积累的数学知识通过认识活动转化为个体头脑中的知识结构的过程。
在这种转化的过程中存在三种结构:
其一是知识结构,也就是知识本身的逻辑体系。
数学知识结构是以最基本的原理和方法为基本出发点,逻辑地组织起来的,因而具有逻辑性、系统性的特点。
知识结构对学习者来说是认识的客体。
其二是认识结构(或心理结构),即人在认识活动中的心理过程(感觉、知觉、思维、想象、注意、记忆等)以及个性心理特征(情感、意志、兴趣、体质等),认识结构对学习者来说是主体特征。
其三是认知结构,它是学习者头脑里的知识结构,是学习者观念的全部内容和组织。
也就是说,认知结构不仅包括学习者头脑中的全部知识,而且还有这些知识的内部组织方式。
知识结构、认识结构和认知结构三者之间的关系如下图:
认识结构
知识结构
相互作用
(客体)(主体)
认知结构
图21—2
学生在数学认识活动中,也同样存在着某种结构,我们把这种结构称之为数学认知结构。
所谓数学认知结构,就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度,结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构。
实践表明,学生的数学认知结构有其固有的特点,这些特点是:
第一,数学认知结构是数学知识结构和学生的心理结构相互作用的产物。
形成数学认知结构的过程是学生对数学知识结构加工的心理过程。
受学生的观察、注意、感知、理解、记忆等各种心理因素的影响,学生的心理素质决定着所形成的数学认知结构的质量。
第二,数学认知结构是学生头脑中已有数学知识、经验的组织。
现代心理学研究认为,“学习是认知结构的组织或重新组织,”即强调已有知识和经验在学习中的作用。
学生头脑里的所有数学知识、经验的组织,也可以是特殊数学知识内容的组织。
前者所指的是学生数学学科的全部知识、经验的组织特征,这些特征影响他在数学学科中的一般学习。
后者所指的是某一数学知识、经验(如方程)的组织特征。
也就是说,数学认知结构既是专门化的概念,如“有理数认知结构”、“方程认知结构”,又是一个带普遍性的概念。
它体现了数学知识和数学认知的统一。
第三,数学认知结构可以在各种抽象水平上来表征数学知识。
即数学认知结构是一个有层次的阶梯。
最高层次是由所有数学知识、经验有机结合而成的认知结构。
数学知识、经验按性质的类似可区分为不同的种类。
不同的内容逐渐分化成不同层次的数学认知结构。
“每个图式同所有其他图式相协调,而每个图式本身又是由已分化的部分所组成的整体”。
如果把不同数学知识内容的数学认知结构比作图书卡片的话,那么学生的大脑就是索引存储器,也就是说,学生的大脑像索引存储器那样,是一个数学认知结构的集合,当大脑接受到刺激后,就能用相应的认知结构进行辨别和区分。
第四,每一个学生的认知结构各有特点,学生的心理素质存在差异,决定了每个学生的认知方式和认知水平也有明显差异,因而他们的认知结构必然要具有自己的个性特点。
第五,数学认知结构不是一种消极的组织,而是一种积极的组织,它在数学认知活动中,乃至一般的认知活动中发挥着作用。
形成了一定的数学认知结构后,一旦大脑接受到新的数学信息。
人们就能不自觉地、甚至是自动地用相应的认知结构对新信息进行处理和加工。
第六,数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的、不断发展和完善的动态组织。
随着数学认知活动的进行,学生的认知结构不断分化和重组,并逐渐地变得更加精确和完善。
正是因为数学认知结构具有这样的特点,所以通过数学教学能促进学生数学认知结构的完善和发展。
第七,从功能上来说,学生既能借助已有认知结构去掌握现有的知识(例如,平行四边形概念的学习,实质上是平行概念和一般四边形概念的结合,学生就是在这一认知结构基础上学会平行四边形概念的);
又能借助于原有认知结构创造性地去解决问题。
数学认知结构是数学学习过程的一个中心的心理成份。
二、数学学习的四个阶段
形成新的数学认知结构,达到预期目标
根据学习的认知理论,我们认为数学学习过程是一个数学认知过程,即新的学习内容和学生原有数学认知结构相互作用,形成新的数学认知结构的过程。
依据学生认知结构的变化,我们认为数学学习过程可以分为四个阶段:
输入阶段、相互作用阶段、操作阶段和输出阶段。
数学学习的一般认知过程可图示如下:
初步形成新的数学认知结构
产生新的数学认知结构雏形
原有数学认知结构
新的数学学习内容
输入作用操作输出
阶段阶段阶段阶段
图21—3
从上图看出数学学习过程包括四个阶段:
输入阶段,新旧知识相互作用阶段、操作阶段和输出阶段。
1.输入阶段
学习起源于新的学习情境。
输入阶段实际上就是给学生提供新的学习内容,创造学习情境。
在这一学习情境中,学生原有的数学认知结构和新学习内容间发生冲突,使得它们在心理上产生学习新知识的需要,这是输入阶段的关键。
为了引起学习,首先学习者必须具有学习热情(也就是奥苏伯尔所说的学习心向)。
对于没有学习意向的人,无论外界怎么强制也是学习不起来的。
因此,在输入阶段,教师所提供的新学习内容应当适合学生的能力、兴趣,激发其内部学习动机。
2.相互作用阶段
产生学习的需要之后,学生原有的数学认知结构和新的学习内容就发生作用,数学学习便进入相互作用阶段。
学生原有数学认知结构和新的学习内容的相互作用有两种最基本的形式:
同化和顺应。
用瑞士心理学家皮亚杰的话说,“刺激输入的过滤或改变叫同化;
内部图式的改变,以适应现实,叫做顺应”。
同化是数学认知的方式之一。
当新的数学内容输入后,学生并不是消极地接受这一刺激,而是利用自己已有的数学认知结构对新内容进行改造,使新内容同化到原有的数学认知结构中。
实际上,同化是把新内容纳入原有数学认知结构,从而扩大原有认知结构的过程。
例如,初中一年级学生学习负有理数,就是把负有理数同化到正有理数结构中去的过程。
学生在小学学过正有理数,已经形成了正有理数的认知结构,因此,当负有理数概念输入时,学生就在他们的头脑中筛选出可以纳入负有理数的数学认知结构——正有理数认知结构。
根据这个认知结构,学生对负有理数进行改造,即建立负有理数和正有理数之间的联系:
在数轴上,负有理数是零点左边的数,负有理数的性质和正有理相反,负有理数的加、减运算可用正有理数来定义,等等。
这样负有理数就同化到正有理数认知结构中,原有的正有理数认知结构就被扩充成有理数认知结构。
学生学习的数学内容是多种多样的,有时学生头脑中的认知结构不一定能与新学习内容相吻合,换
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