《 任意角》示范公开课教学设计高中数学人教版Word下载.docx
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问题1:
请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言,再回答如下问题:
(1)本章将要学习的函数是什么?
(2)这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题?
你能举出具体例子吗?
(3)你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗?
预设的师生活动:
学生独立阅读教科书,再回答上述问题.
预设答案:
(1)本章将要学习的函数是三角函数;
(2)三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象,例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等;
(3)研究函数的一般思路是:
先给出函数的定义,通过定义作出图象,再由图象研究性质,最后是函数的应用.
设计意图:
明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法,为本章的研究指明方向.
(二)新知探究
1.任意角的概念、运算
引导语:
我们知道,现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象,圆周运动是这类现象的代表.
图1
问题2:
如图1,
上的点
以
为起点做逆时针方向的旋转,如何刻画点
的位置变化呢?
学生独立思考,并回答问题(链接Geogebra动画).
通过角的变化进行刻画.
说明:
“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确,但学生可能不能理解它的含义,因此,我们可以用信息技术(如Geogebra)将这种旋转的过程体现出来,尤其是将线段
用鲜艳的颜色突显出来,学生自然就会想到点
的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动(其实就是射线的运动带动了点的运动),由此让学生可以理解,这种“刻画”就是“描述”“反映”等,另外,主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系.
通过具体问题引出本节课的研究主题——角(版书).
问题3:
我们以前所学角都在0°
~360°
的范围内,生活中有超出0°
角的例子吗?
请你举例说明.
学生独立思考,并举手回答问题.
【知识点解析】知识讲解——任意角的认识
本资源为任意角的认识的概念性讲解微课,供教师备课和授课使用.本视频资源主要针对任意角的认识相关概念进行讲解,加深学生对于知识的理解和掌握.
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例如,体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”(如图2);
如果要将钟表调快一个半小时,那么分针就会顺时针旋转超过360°
(如图).
图2
(2)
图2
(1)
追问1:
这些角的不同,体现在哪几个方面?
两个方面,一是大小;
二是方向.
一方面加强数学与我们现实生活的联系,说明学习数学是有用的;
另一方面,学生在用语言描述这些超出0°
角的时候,会发现用静态角的定义不再适合,让他们体会到:
要想说清楚这些角,有必要将角的范围进行拓展,而且需要从动态的角度重新定义角.
追问2:
假如你的手表快了1.25小时,你应当如何将它校准?
当时间校准以后,分针转了多少度?
从几个方向描述角?
逆时针旋转;
分针会旋转450°
(链接Geogebra动画).假如校准前如图
(1),校准后应该为图
(2).
图3
(1)
图3
(2)
通过这个具体的例子让学生理解:
要想说清楚一个角,包括两个方面,一是旋转方向;
二是旋转量.
追问3:
以上问题中对角的描述的共性是什么?
预设的答案:
都要说清楚角的大小及旋转方向.
问题4:
请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前,再回答下列问题:
根据旋转方向的不同,角可以分为哪几类?
分别是什么?
这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的?
学生独立阅读课文,再举手回答上述问题.
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角,因此,角可以分为正角、负角、零角.这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的.
明确了通过推广以后角的定义,知道了角是“转”出来的,关键是对旋转方向的量化可以通过类比实数,用符号表示方向.
练习1:
你能分别作出210°
、-150°
、750°
、-660°
吗?
学生作图,教师用Geogebra展示动画作图过程.
【数学探究】任意角的概念
本资源为“任意角的概念”知识探究,通过交互式动画的方式,运用了本资源,可以吸引学生的学习兴趣.辅助教师教学,加深学生对于知识的理解和掌握.
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如图3
(1)
(2)(3)(4).
图4
(1)
图4
(2)
图4(4)
图4(3)
熟悉正角、负角的定义,理解“符号”与“方向”之间的关系,从数到形的认识.
你知道什么是两角相等?
两角相加又是怎样规定的?
学生回答.
如果两角的旋转方向相同且旋转量相等,就称两角相等;
规定:
把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β.
定义了一个具有数量特征的数学概念之后,紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题.
你知道什么是互为相反角?
两角怎样相减?
如果两角的旋转方向不同且旋转量相等,就称两角互为相反角;
类比实数减法,我们有α-β=α+(-β).
类比实数,得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算.
练习2:
你能用作图的方式反映出30°
与-30°
;
30°
+120°
与150°
-120°
与-90°
的关系吗?
学生分别作图并说明.
如图5
(1)
(2)(3).
图5
(1)
图5
(2)
图5(3)
追问:
对于一般的α-β呢,你能类比实数给出相应说明吗?
对于一般的α-β,如果α>β,则α-β>0°
如果α=β,则α-β=0°
如果α<β,则α-β<0°
.从图形上看,就是把角α的终边旋转角-β(若β>0°
,则顺时针旋转│β│;
若β<0°
,则逆时针旋转│β│;
若β=0°
,则不作旋转),这时终边所对应的角是α-β.
通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解,并能推广到一般情形,这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法.
2.象限角
问题5:
在直角坐标系中研究角,其顶点和始边的位置是如何规定的?
根据其终边位置的不同,又可以把角分为哪几类?
在直角坐标系内讨论角有什么好处呢?
学生互相交流后,再回答.
为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合;
根据角终边所在象限,将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角;
在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.
让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准.在这个统一前提下,才能对象限角进行定义.另外,终边落在坐标轴上是一种“边界”状态,因此规定它不属于任何一个象限更方便.这样讨论角的好处就是:
在同一“参照系”下,可以使角的讨论得到简化,由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示.
练习3:
教材第171页第1、2、3题.
由学生逐题给出答案.
【数学探究】判定下列各角是第几象限角
本资源探索平面直角坐标系中角度值与象限的关系.通过交互式动画的方式,运用了本资源,可以吸引学生的学习兴趣,增加教学效果,提高教学效率.
1.锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角;
直角是终边落在y轴非负半轴上的角,终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角;
钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角.
2.三,三,五.
3.
(1)第一象限角;
(2)第四象限角;
(3)第二象限角;
(4)第三象限角.
检验学生对象限角的理解情况.
3.终边相同的角
问题6:
在直角坐标系中,将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么与-32°
角终边重合的角还有哪些?
有多少个?
它们与-32°
角有什么关系?
能不能用集合的形式将它们表达出来?
将-32°
推广到一般角
,结论应该是什么?
教师演示(链接Geogebra动画),学生观察并思考后,再举手回答.
【数学探究】终边相同的角的认识
本资源为“终边相同的角的认识”知识探究,通过交互式动画的方式,运用了本资源,可以吸引学生的学习兴趣,增加教学效果,提高教学效率.适用于“终边相同的角的认识”的教学,供教师备课和授课使用.
还有-392°
、328°
、688°
等等;
有无数个;
相差360°
的整数倍;
{β|β=-32°
+k·
360°
,k∈Z};
{β|β=α+k·
通过动画演示与回答问题,使学生明确:
(1)终边相同的角不一定相等;
(2)终边相同的角有无数个,这些角有“始边、终边都相同”的共同特征;
(3)这无数多个终边相同的角在数量上都是相差360°
的整数倍.
例1在0°
范围内,找出与-950°
12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
先由学生独立计算,再回答.
与-950°
12′角终边相同的角都有什么共同点?
12′角终边相同的角可以写成{β|β=-950°
12′+k·
,k∈Z},当k=3时,β=129°
48′,它是第二象限角.
熟悉终边相同的角的表示,并会在0°
范围内找出与已知角终边相同的角,判定其为第几象限角,为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础.
例2写出终边在y轴上的角的集合.
学生先独立完成,再相互交流.
这些角终边在几条射线上?
终边落在每条射线上的角如何表示?
这两条射线上的角都相差多少度?
能不能用一个集合表示这所有的角?
两条;
y轴正、负半轴上的角的集合分别为{β|β=90°
,k∈Z}、{β|β=270°
相差180°
{β|β=90°
180°
,k∈Z}.
此题是终边在坐标轴上的角的表示.应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方式不唯一,要注意采用简约的形式.另外,分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系,可以简化集合的表示,实质是“终边组成一条直线”的代数解释:
“两个集合中的元素相差180°
的整数倍.”
让学生熟悉简化角的集合的表示方法.
例3写出终边在直线
上的角的集合
.
中适合不等式-360°
≤β<720°
的元素β有哪些?
由学生独立完成后,让学生代表进行展示.
在求出角之前,你能判断满足条件角的个数吗?
判断的根据是什么?
六个;
所求角的范围包含了三周;
S={β|β=45°
-315°
、-135°
、45°
、225°
、405°
、585°
此题主要是巩固终边相同的角的表示.为了使学生顺利完成相应的集合运算,可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征.
(三)归纳小结
通过本节课的学习,你能说出本章将要学习什么内容?
其作用是什么?
其基本的研究方法是什么?
本节课关于角的概念出现了几个定义?
分别是怎样规定的?
你能从数与形两个角度进行描述吗?
能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容?
学生自主总结,展示交流.
三角函数;
刻画周期现象;
与其它基本初等函数一样,先抽象出定义,再由定义作出图象,观察图象研究性质,最后是其初步应用;
角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角,规定:
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.在直角坐标系中,将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限就称角为第几象限角.在直角坐标系中,将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·
,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.从形上看,终边相同的角就是“终边旋转整数周回到原来的位置”.
实际问题
任意角
象限角
性质
定义
表示
度量
运算
终边相同角
帮助学生梳理基本知识,提升数学抽象素养.
(四)布置作业
(1)分别写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合;
(2)预习5.1.2弧度制的内容;
(3)第175页习题5.1复习巩固1、2.
(五)目标检测设计
1.写出终边在
轴与坐标轴上的角的集合.
2.写出与下列各角度终边相同的角的集合,并找出集合中适合不等式-720°
≤β<360°
的元素β(教科书第171页练习第5题):
(1)1303°
18′;
(2)-225°
检验学生对任意角、终边相同角和象限角的理解情况.
参考答案:
1.{β|β=k·
{β|β=k·
90°
终边在
轴上的角相差180°
的整数倍,而终边在坐标轴上的角相差90°
2.
(1){β|β=1303°
18′+k·
,k∈Z},-496°
42′,-136°
42′,223°
(2){β|β=-225°
,k∈Z},-585°
,-225°
,135°
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