北师大版高中数学必修一课时作业二十六 412Word文档格式.docx
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【解析】选B.f(a)f(b)<
0,
所以f(b)f
<
0,f(x)在
上有零点.
4.(2014·
济源高一检测)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是
( )
A.[-2,1]B.[-1,0]
C.[0,1]D.[1,2]
【解析】选A.因为f(-2)=-8+5=-3<
0,f
(1)=1+5=6>
0,所以初始区间可为[-2,1].
5.(2014·
南阳高一检测)设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f
(1)<
0,f(1.5)>
0,f(1.25)<
0,则方程的根落在区间( )
A.(1,1.25)内B.(1.25,1.5)内
C.(1.5,2)内D.不能确定
【解析】选B.由题意知f(x)在(1,2)内连续且f(1.25)<
0,所以方程的根在(1.25,1.5)内.
6.(2014·
浏阳高一检测)用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[an,bn](n∈N)上,当|an-bn|<
m时,函数的零点近似值x0=
与真实零点a的误差最大不超过( )
A.
B.
C.mD.2m
【解析】选B.因为取中点,故零点的近似值与真实零点的误差最大不超过区间长度的一半即
.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·
宿迁高一检测)用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精度为0.01),验证f
(2)·
f(4)<
0,取区间[2,4]的中点x1=
=3,计算得f
(2)·
f(x1)<
0,则此时零点x0所在的区间是 .
【解析】因为f
(2)·
0,f
(2)·
f(3)<
因此f(3)·
f(4)>
0,所以x0∈(2,3).
答案:
(2,3)
8.(2014·
南昌高一检测)用二分法求方程lnx-2+x=0在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点C=
则下一个含根的区间是 .
【解析】令f(x)=lnx-2+x,则f
(1)=-2+1<
f
(2)=ln2-2+2>
又f
=ln
-2+
-
-ln
所以,下一个含根的区间是
【变式训练】在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将解锁定在区间(1,2)内,则下一步可以断定解所在的区间为 .
【解析】令f(x)=x3-2x-1,
则f(1.5)=1.53-2×
1.5-1=-0.625<
f
(1)=13-2×
1-1=-2<
f
(2)=23-2×
2-1=3>
所以f(1.5)·
f
(2)<
0,所以解所在的区间为(1.5,2).
(1.5,2)
9.(2014·
临沂高一检测)用二分法求方程x3-9=0在区间(2,3)内的近似解经过
次“二分”后精度能达到0.01.
【解析】设n次“二分”后精度达到0.01,
因为区间(2,3)的长度为1,
所以
0.01,即2n>
100.
注意到26=64<
100,27=128>
故要经过7次二分后精度达到0.01.
7
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精度为0.01).
【解析】令f(x)=x3-3,由于f
(1)=-2<
0,f
(2)=5>
0,因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算:
如表
次数
左端点
函数值
右端点
第1次
1
-2
2
5
第2次
1.5
0.375
第3次
1.25
-1.0469
第4次
1.375
-0.4004
第5次
1.4375
-0.0295
第6次
1.46875
0.1684
第7次
1.453125
0.06838
第8次
1.4453125
0.0192
由于1.4453125-1.4375≈0.0078<
0.01,
因此可以取[1.4375,1.4453125]内的任意一个数作为函数零点的近似值,我们不妨取1.445作为函数y=x3-3的一个正零点的近似值.
11.(2014·
西安高一检测)利用二分法,借助计算器,求方程lgx=2-x的近似解.(精度为0.1)
【解题指南】解答本题可首先确定lgx=2-x的根的大致区间,y1=lgx,y2=2-x的图像可以作出,由图像确定根的大致区间,再用二分法求解.
【解析】作出y1=lgx,y2=2-x的图像,可以发现,方程lgx=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间[1,2]内.
设f(x)=lgx+x-2,用计算器计算得
f
(1)<
0,f
(2)>
0⇒x∈[1,2];
f(1.5)<
0⇒x∈[1.5,2];
f(1.75)<
0⇒x∈[1.75,2];
0,f(1.875)>
0⇒x∈[1.75,1.875];
0,f(1.8125)>
0⇒x∈[1.75,1.8125].
由于1.8125-1.75=0.0625<
0.1,
因此可以取[1.75,1.8125]内的任意一个数作为函数零点的近似值,我们不妨取1.8作为方程lgx=2-x的近似解.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.下列函数图象均与x轴有交点,其中能用二分法求函数零点的是( )
【解析】选C.能用二分法求函数零点的函数,在零点左右两侧的函数值符号必须相反,由图象可得,只有C能满足此条件.
2.(2014·
宜春高一检测)若函数f(x)的图像是连续不断的,且f(0)>
0,f
(1)f
(2)f(4)<
0,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点
【解析】选D.由于f(0)>
0,故函数f(x)在区间(0,4)内有零点.
【误区警示】本题在求解中常误认为函数的零点必在最小区间内,导致错选A.
3.(2014·
海淀高一检测)设f(x)=2x+x-2,用二分法求方程2x+x-2=0在(0,1)内近似解的过程中得f(0)<
0,f
(1)>
0,f(0.5)<
A.(0,0.5)B.(0.5,1)
C.不能确定D.都不正确
【解析】选B.因为f(0)<
0,所以f
(1)f(0.5)<
0.结合二分法的特征及求解原理可知方程的根落在区间(0.5,1)内.
荆州高一检测)已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,3)内近似解的过程中,取区间中点x0=2,那么下一个有根区间为( )
A.(1,2)B.(2,3)C.(1,2)或(2,3)D.不能确定
【解析】选A.令f(x)=3x+3x-8,
所以f
(1)=3+3-8=-2<
0,f
(2)=9+6-8>
所以f
(1)f
(2)<
所以下一个有根区间为(1,2).
二、填空题(每小题5分,共10分)
重庆高一检测)已知图像连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一的零点,如果用“二分法”求这个零点(精度为0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为 次.
【解析】由
0.01,得2n>
10,所以n的最小值为4.
4
6.已知函数f(x)=logax+x-b(a>
0且a≠1).当2<
a<
3<
b<
4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1)(n∈N*),则n= .
【解析】因为函数f(x)=logax+x-b(2<
3)在(0,+∞)上是增函数,
f
(2)=loga2+2-b<
logaa+2-b=3-b<
f(3)=loga3+3-b>
logaa+3-b=4-b>
所以x0∈(2,3)即n=2.
【误区警示】本题在求解中常因为不知如何使用条件“2<
4”导致求解错误或无法求解.
三、解答题(每小题12分,共24分)
珠海高一检测)求方程x3-x-1=0在区间(1,1.5)内的一个近似解(精度为0.1).
(提示:
1.53=3.375,1.253≈1.953,1.3753≈2.6,
1.31253≈2.261).
【解题指南】求方程x3-x-1=0的近似解可以构造函数f(x)=x3-x-1,转化为求函数f(x)在(1,1.5)内的近似零点.
【解析】设f(x)=x3-x-1.
由于f
(1)=1-1-1=-1<
f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>
所以f(x)在区间(1,1.5)上存在零点.
取区间(1,1.5)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算列表如下:
端点(中点)坐标
中点函数值符号
零点所在区间
(1,1.5)
f(1.25)<
(1.25,1.5)
f(1.375)>
(1.25,1.375)
1.3125
f(1.3125)<
(1.3125,1.375)
因为|1.375-1.3125|=0.0625<
故我们可以选取区间[1.3125,1.375]内的任意一个数作为函数f(x)=x3-x-1的近似零点.例如,我们取1.375为方程x3-x-1=0在(1,1.5)内的一个近似解.
8.某电视台曾有一档娱乐节目,主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会,如果猜中,就把物品奖励给选手,某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1000元之间.选手开始报价1000元,主持人说:
高了;
紧接着报价900元,高了;
700元,低了;
800元,低了;
880元,高了;
850元,低了;
851元,恭喜你,你猜中了.表面上看,猜价格具有很大的碰运气的成分;
实际上,游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想.你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?
【解题指南】结合二分法的求解原理,先选定初始区间,然后取中点,逐步逼近真实值.
【解析】取价格区间[500,1000]的中点750.
如果主持人说低了,就再取[750,1000]的中点875;
否则取另一个区间(500,750)的中点.
若遇到小数,则取整数.照这样的方案,游戏过程中猜价如下:
750,875,812,843,859,851,经过6次可以猜中价格.
【变式训练】在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同,假币较轻),现在只有一台天平,请问:
你最多称多少次就可以发现这枚假币?
【解析】将26枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币在较轻的那13枚金币里面,将这13枚金币拿出1枚,将剩下的12枚平均分成两份,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在较轻的那6枚金币里面;
将这6枚平均分成两份,则假币一定在较轻的那3枚金币里面;
将这3枚金币任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则较轻的那一枚即是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.
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