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数学分析中我们熟知的欧式空间和欧式空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间的连续映射，抽象到拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。

数学分析中数列涉及敛散性、连续性、以及极限存在的条件等，而点集拓扑学中序列也涉及到这些内容，但是它们之间存在着异同之处。

在拓扑空间中一般不能用点列的收敛来刻画聚点，进而拓扑空间之间的连续映射不能用极限来刻画。

作为初学者，我们应该尤其注意这些概念上本质性的问题。

另外，在学习过程中也有些疑问。

这学期我们正在学习实变函数论，其中涉及到许多和点集拓扑学相似的结论，以至于我有些混淆。

实变函数论老师说在点集拓扑学中成立的有些结论在实变函数论中一定成立，但是在实变函数论中成立的结论在点集拓扑学中不一定成立，我不知道这具体是为什么。

感觉这两门课程都比较难，还需要花大量时间去学习。

我们在这一学期其实只学习到这门课程的的一部分内容，我有种接触了这门课程但是完全学得不透彻的感觉。

平时的例子很少，也不清楚这门课程的具体应用。

大三下期，同学们要不是准备考研，要不

就是准备师范技能，因此对这门课程的重视度不高。

因此，如果可以调整课程的开设时间也许学习效果会好一些。

第二篇：

拓扑学心得拓扑学心得体会

姓名：

贾文琳学号：

xx02024016班级xx级数师一班

摘要。

拓扑学是一门抽象的学科，是一门研究几何图形在连续变形下保持不变的性质的学科，也是一门在现代数学、自然科学以及社会科学等众多领域中应用极为广泛的数学学科。

它源于对周围世界的直观观察。

它是几何学的一个分支，但又与通常的欧式几何是不同的几何学分支，通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都没有关系。

因此，它以一种独特的视角去将世界数学化。

关键词：

几何学分支数学化抽象

初识拓扑学，是在数学建模培训的时候，当时是老师介绍欧拉在1736年解决的哥尼斯堡的七桥问题：

哥尼斯堡的普雷格尔河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。

人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：

能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。

这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。

1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。

欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。

那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。

经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。

并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。

而后的“四色问题”等拓扑学经典问题都向我们展现了拓扑学的广泛应用以及它独特的思考方式。

为我们用学好数学以及更深刻的理解数学提供了一种思路。

下面我将谈谈我在本学期对本书前三章的学习心得体会。

首先，在《集合论与逻辑》一章中，我们利用高中所学知识就可以很容易的理解集合与函数的相关概念，比如集合中的每一个事物都叫做“元素”，也可以叫做“成员”、“点”，集合根据元素个数可以分为有限集合和无限集合。

同样，我们又学习了集合与元素、集合与集合之间的表示以及集合间的运算等。

而这其中我们首次接触到集合的族的概念，即以集合作为元素的集合我们称之为“族”。

同时也给出了有限集和无限集的定义，这与我们在《近世代数》中所学的定义是不一样的，但它也给我们新的思考方式。

开集的概念直接传承于开区间，但却是抽取了开区间这个概念的本质内容所形成的。

开集最终是一个适合范围很广的概念，也在某些性质上与开区间概念有所不同。

设某非空集合x，它的幂集为2^x。

若某集族t是该幂集的子集，同时还满足下述三个公理：

1）、t中的任何元素（元素是集合）之并还是属于t；

2）、t中的任何有限个元素之交还是属于t；

3）、x本身以及空集是t的元素。

上述三个公理称作“开集公理”。

所以一个拓扑指的就是满足开集公理的一个开集族。

一个集合的幂集的任意一个子集，只要其中的元素（集合）满足开集公理，那么这个子集就是这个集合的一个拓扑。

由此可见，一个集合的拓扑可以有很多个，配上不同的拓扑，就形成了这个集合的不同的结构。

一个开集族决定了集合中元素与元素之间的“连续性”属性，元素与元素之间的连续性决定了这个集合的几何结构。

比如在这个拓扑下，元素1和元素2是连续的，或者称为是相邻的；

而在另一个拓扑下，这俩元素完全可以是分隔开的，不连续的。

其次，在《拓扑空间与连续函数》一章中，给出了拓扑空间的定义：

设x是一个集合，t是x的一子集族，如果t满足：

（1）Ø

，xt，

（2）有限交封闭，（3）任意并封闭。

则称t为x的一拓扑空间。

以及拓扑的基的满足：

（1）对于每一个xx，至少存在一个包含x的基元素b，

（2）如果b1，b2b，xb1b2的交，那么存在b3b，使得xb3b1b2。

而我认为，集合的闭包与内部的定义性质以及相互的关系也是本章节的重点。

即：

拓扑空间x的一个子集a的内部定义为包含于a的所有开集的并，而a的闭包定义为包含着a的所有闭集的交。

而在学习连续函数这一小节时，我们除了联系数学分析中所学知识去学习本节的相应知识点，还要理解到，

（1）对应法则、定义域空间拓扑，至于空间拓扑共同决定该函数的连续性；

（2）连续函数的本质是开集的原像是开集，基的原像是开集，子基的原像是开集；

（3）拓扑的性质是同胚把开集映射成开集，两拓扑空间同胚、开集一样，从而拓扑性质一样。

在学习箱拓扑和积拓扑的定义之后，对两者进行比较可以发现对于有限积xa，两种拓扑是一样的，而一般来说箱拓扑更细于积拓扑。

在度量拓扑的学习中，我印象最深的是老师给我们拓展的四种空间，即拓扑空间、度量空间、赋范空间、内积空间的定义，并给出一致拓扑细于积拓扑，又粗于箱拓扑的定理，为我们理解这些拓扑，把握其中的区别也给出了很多很好的例子解释。

而《连通性与紧致性》一章中，我学习了连通性与紧致性的定义，即设x是一个拓扑空间，所谓的x的一个分割，是指x的一对无交的非空开集u和v，它们的并等于x，而如果x的分割不存在，则称空间x是连通的。

而连通性的定义其实在数学分析中也有提到，这对我加深对其定义的理解起到了很好的效果，使我不易畏惧对该定义的学习。

而我在学习中也发现证明x是连通空间，常常采用了反证法来进行。

连通性也可以定义为：

空间x是连通的当且仅当x中既开又闭的子集只有空集和x本身。

对于连通性，有四个性质值得我们仔细学习，即：

含一个公共点的x的连通子空间族的并是连通的；

设a是x的一个连通子空间，若aba，则b也是连通的；

连通空间在连续映射下的像是连通的；

有限多个连通空间的笛积是连通的。

而紧致性的定义为：

若x的任何一个开覆盖a，包含着一个覆盖x的有限自族，则称空间x是紧致的。

而紧致空间中最核心的一点是任意开覆盖有有限子覆盖。

以上是我对本书学习中学的较明白的一些知识的理解和认识。

在学习本书中，我也有一点体会：

第一，这门课程真的十分抽象，它完全不同于我们所学的其他数学课程，如数学分析、高等代数、解析几何、复变函数、常微分方程等，而且本书基本都是证明题，要求了较高的逻辑推理能力和抽象思维能力。

而且知识间的联系是十分紧密的，如集合知识是拓扑学的基础，也是预备知识，而连续函数一章则是本书的重点。

因此，如果其中一个知识点不清楚，那么在学习其后的知识就显得十分吃力。

第二，本门课程与我们已经学习的其他学科有很大的联系，如连通性、极限存在的条件、敛散性我们在数学分析中已经接触，集合、函数、连续性等也是我们在高中就学习过基本的定义，笛积的定义也在近世代数中学习到。

因此，作为初学者，我们应该注意这些概念上本质性的问题与其他学科的联系，这样才能避免与其他学科的定义混淆。

第三，由于度量的观念在我们学生的脑海中根深蒂固，因此在学习本门课时，九五不感到这门学科简直是一个不可思议的自在之物，而此时，脑海中的度量观念不但不能成为帮助我们进行思维的一种工具，相反，却成为我们理解和运用拓扑学的原理及思想方法的主要障碍。

因此，我们应该避开以度量的观念去思考拓扑学问题，这样才能正确理解到拓扑学这门学科。

连续性与离散性这对矛盾在自然现象与社会现象中普遍存在着，数学也可以粗略地分为连续性的与离散性的两大门类。

拓扑学对于连续性数学自然是带有根本意义的，对于离散性数学也起着巨大的推进作用。

例如，拓扑学的基本内容已经成为现代数学工作者的常识。

拓扑学的重要性，体现在它与其他数学分支、其他学科的相互作用。

拓扑学在泛函分析、实分析、群论、微分几何、微分方程其他许多数学分支中都有广泛的应用。

因此学好拓扑学会给我们提供更多研究数学的方向。

参考文献：

[1]《拓扑学（原书第2版）》美jamesr.munkres著，熊金成吕杰谭枫译[2]《关于点集拓扑学以及它的作用》，杨旭，《松辽学刊·

自然科学版》xx年第一期[3]方嘉琳《点集拓扑学》，辽宁出版社[4]《古思想方法》第四册，科学出版社[5]xiexiebangXX百科“拓扑学”

第三篇：

学习拓扑学的心得体会学习《拓扑学》的心得体会

拓扑学是一门综合性比较强的数学学科，是我们大学生学习必不可少的学科。

我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联，是我们之前学习的延伸，接触了比之前更高深的问题，同时加深了与其他学科的联系。

在学习集合相关概念时，引发了我对于现实生活中的一些思考，进一步感受到了数学的严谨性。

在学习拓扑中的基，由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。

在学习连续函数的不同定义时，与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较，并进一步理解了函数的连续性。

数学学科；

延伸；

联系；

严谨性

一、什么是拓扑学。

我们所谓的拓扑学，是在数学学科当中比较抽象的一门学科。

它的英文名是topology，直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。

我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解，于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。

它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。

然而，这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。

通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。

但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。

在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。

例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数，这些就是拓扑学思考问题的出发点。

而在我们大学中主要主要学习两部分，一部分是一般拓扑学，另一部分是代数拓扑学。

一般拓扑学分为了八章，分别是：

集合论与逻辑、拓扑空间与连续函数、连通性与紧致性、可数性公理与分离公理、tychonoff定理、度量化定理与仿紧致性、完备度量空间与函数空间、baire空间和维数论。

代数拓扑学分为了六章，分别是：

基本群、平面分割定理、seifert-vanken定理、曲面分类、复叠空间分类、在群论中的应用。

二、学习拓扑学的意义

拓扑学本身是一门饶有兴味的学科，很多本科大学把它作为了大学生学习的必修课程，这样有利于培养学生的抽象思维能力，提高解决问题和分析问题的能力，为了让学生在学习中进一步掌握和奠定近世数学的一些知识基础。

因此，它是大学生学习不可缺少的一门专业。

拓扑学是一门综合性的学科，它的作用非常广泛，广泛运用于微分几何学、分析学、抽象代数、物理、经济学、哲学等其他多门学科有着不可分开的关系，对他们都有着极大地推动作用。

在微分几何中，h.m.莫尔斯在20世纪20年代为了研究流体问题，利用拓扑学的相关思想把流体上的光滑函数的临界点指数与流体本身的贝蒂数联系在一起，使之发展成了大范围的变分法。

随后，莫尔斯、陈省身等在这上面的成就，对微分几何和拓扑都有着十分重要的意义。

在分析学中，微分拓扑学的进步，在很大程度上促进了分析学向流形上的分析学的发展。

后来在托姆的影响下，将微分映射的结构稳定性理论和奇点理论发展成了当中重要的分支学科。

后来，著名的阿蒂亚-辛格指标定理把算子的解析指标与流体结合起来，很好的将分析学与拓扑学结合在一起了。

同时，对现代泛函分析和复变函数的多个方面都有着重要的意义。

在抽象代数中，拓扑学很好地促进了抽象代数的发展，在代数数论以及代数群的基础上都有巨大的进步。

后来形成的范畴论又深入了数学基础、代数几何等，还有托普斯的的观念拓广了经典的拓扑空间观念。

在经济学中，很多地方都有着重要的作用，如均衡的存在性、性质、计算等根本问题。

同时，在系统理论、对策论、规划论、网络论中也都有着十分重要的作用。

学习拓扑学，不仅仅让学生体会到拓扑学与其他学科紧密联系，还可用来解决很多实际问题，如：

扭结问题、维数概念、向量场问题、不动点问题。

此外，还能让学生了解当中的研究方法，拓宽了学生的思维，让学生在看问题以及解决问题的时候，能从多方面思考问题，并将其他学科紧紧联系在一起。

三、学习拓扑学中某一内容的感想

学习拓扑学之前，我们认定由一些对象构成的集合这个概念是直观自明的。

而我们在学习第一章《集合论与逻辑》中，我们不仅知道了什么是集合，而且还介绍了集合论的思想，并建立了基本术语和记号，还知道了拓扑学与哲学的联系，集合可以既开又闭，而一扇门不能既开又闭。

通过这些，就很好的吸引了我们的兴趣，引发了我们很多的思考。

对于集合，我们通常用字母a，b…表示集合，用小写字母a，b，…表示属于集合的成员或元素。

集合有时简称为集，元素有时简称为元或点。

如果成员a属于集合a，就记作aa。

如果a不属于a，就记作aa。

若集合a与b是同一个集合的两个符号，也就是说a与b含有完全相同的元素，记为a=b。

反之，则记为ab。

若a的每一个元素都是b的元素，就说a是b的子集，记作ab。

之后学习了集合的“并”与“或”的含义，即给定两个集合a和b，由a中所有元素及b中所有元素可以组成一个集合，这个集合就称为a与b的并或并集，记作ab。

也就是说ab={x

xa或xb}。

在日常生活中，“或”这个词是含糊的，有时“p或q”这句话意味着“p或q，或者既p又q”，有时又意味着“p或q，但不是既p又q”，很多时候都要通过文章的上下文才能知道究竟指的是哪一种。

而在数学当中，是不容许这种含糊的，无论何时都只承认它的一种含义，否则就要引起混乱。

因此，数学家们在这种情况下，若要表示“p或q，但不是既p又q”，就必须明确的加上短语“但不是既p又q”。

照这样下去，定义ab的式子就很清楚了，它表明ab是由所有属于a，或者属于b，或者既属于a又属于b的元素x组成的集合。

通过集合这个简单概念的学习，让我明白了数学的严谨性。

很多东西在日常生活中是含糊的，但是在数学当中是非常严谨的。

学习了拓扑学，让我们的思维变得严谨了，做事考虑得更周到，通过它的学习还是受益匪浅的。

在第二章的学习当中，学习了拓扑空间与连续函数的相关知识。

这个当中，让我明白了拓扑当中的基必须满足两个条件：

（1）对于每一个xx，至少存在一个包含x的基元素b；

（2）若x属于两个基元素b1和b2的交，则存在包含于x的一个基元素b3，使得b3b1b2。

通过这个知识的学习，让我明白了用平面上的两个圆形域所组成的族也满足基的定义当中的两个条件。

同时，平面上所有矩形域组成的族，其中矩形的边平行于两个坐标轴，这样的图形就满足基的基本定义，由于任何两个基元素的交就是一个基元素。

在这当中，我们抽象出了集合的基，知道了集合中元素的基与鸽巢原理的关系，这样和我们之前所学习的初等数论又很好的联系起来了。

在初等数论中，我们知道鸽巢原理就是：

如果k+1个或更多的物体放入k个盒子，那么至少有一个盒子含2个或更多的物体。

推广之后就是：

（1）当盒子仅有n个，而物体的数目大于m×

n时，则必有一个盒子有m+1个物体或者大于m+1个；

（2）若m个物体放入n个盒子中，那么至少有一个盒子包含了至少[m/n]个物体。

在本章的后半部分，学习了函数的连续性，连续函数的概念是许许多多数学学科的基础，尤其是数学分析，基本上都是先讲直线上的连续函数，然后提到平面和空间上的连续函数。

这一章的学习，是前面我们在数学分析中所给出的连续函数的性质的直接推广。

之前，我们在数学分析当中定义的连续函数，是通过极限来定义的，即函数中定义域内任意一点的左右极限存在，且左极限等于右极限为连续函数的定义。

而在拓扑学中，则是通过拓扑空间来定义的，设x和y是两个拓扑空间，函数f：

xy称为连续的，如果对于y中的每一个开子集v，f-1（v）是x中的一个开子集。

在此条件下，与f连续有三个等价的命题，即：

（1）对于x的任意一个子集a，有f（a的闭包）包含于f（a）的闭包；

（2）对于y的任意一个闭集b，f-1（b）是x中的一个闭集；

（3）对于每一个xx和f（x）的每一个邻域v，存在x的一个邻域u使得f（u）v。

仅仅从这些简单的定义来看，拓扑学在定义数学概念中更加严密，更深一步，是我们之前学习知识很好的延伸。

通过大量的学习，让我们认识到了学习拓扑学的好处，它是我们大学学习必不可少的。

虽然在学习的过程中感觉很艰难困苦，但是整个的收获还是不错的。

总的来说，让我们的思维得到了很大的锻炼，提高了我们思维的高度。

1.杨旭.《关于点集拓扑学以及它的作用》.松辽学刊自然科学版xx年第一期，xx-11-082.jamesr.munkres.《拓扑学》原书第2版.机械工业出版社，xx-11第1版第5次印刷3.邓一凡.《拓扑学的产生与发展》.xx-12-034.xp84.《拓扑学》.xx-09-135.亚当斯、沈以淡.《拓扑学基础及应用》.机械工业出版社.xx年04月

第四篇：

点集拓扑学习体会点集拓扑学习体会

拓扑学是把那些很朴素但又很基本的图形的集和直观性质，进行数学化的结果。

在漫长的历史过程中，人们用很多种数学方法来表达这种几何图形的直观性质，直到康托提出了集合论之后，以集合论为基础，配之以映射概念，拓扑学有了根本性的发展。

从欧拉的七桥问题，地图着色问题，jordan曲线定理：

平面上简单闭曲线将平面分成两部分。

高斯研究扭结和二重积分的联系等是当时研究的一些孤立问题，而后成为拓扑学的有关问题。

再到黎曼发现了多值函数解析函数可转化为闭曲面上的单值函数，并得出闭曲面的拓扑分类。

拓扑学都有着很深刻的发展。

拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何不同的分支。

研究对象是一般的几何图形（拓扑空间），即研究几何图形的拓扑性质，而且对应的欧氏几何图形在正交变换下的不变性和不变量。

拓扑学研究更一般的图形在弹性变形下的不变性和不变量，在而在近代拓扑学发展为几个重要的分支：

点集拓扑；

代数拓扑；

微分拓扑；

几何拓扑。

当然我们所学的是点集拓扑学。

何为点集拓扑。

既是数学的拓扑学的一个分支，它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质（这些是在学习点集拓扑的第一次课的内容）。

这些内容充分的给我们这些学生一个整体结构，让我们对于拓扑学产生深刻的印象和兴趣，因此我们虽然还未深入拓扑学就已经被它的、吸引住了。

然后，对于拓扑学的更深入学习，发现其中里面有很多内容在以前的学习都已经学习过，里面的很多定义定理在以前学习的课程中都有，虽然叙述方式不一样，但其中内容是一致的，而且有些内容会在学习《实变函数》中有着具体的应用和阐述证明。

这充分的说明点集拓扑在对于高等数学的融入和镶嵌有着很深的影响。

点集拓扑学不同于数学专业的其他课程，如数学分析、高等代数、微分方程等课程，几乎没有计算之类的内容，逻辑性强，内容抽象；

而且基本概念是比较多的，对于学习者是比较困难的，在教材里，介绍了一些概念之后，接着是一连串的定理及冗长的证明，例子少，教材中出现的例子也比较抽象。

不过老师在课上把基本概念和以前学过的基本概念和实例相联系区别。

在教学中渗透一些具体的实例，这样激发我们的学习兴趣，有利于学生对基本概念方法和原理的理解，使得基本的概念不显得空洞，有声有色。

点集拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域，并且有了日益重要的应用，因此学习点集拓扑学的基本知识，不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识，而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容，加深对这些内容的认识和理解。

由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的，因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系，从而起到事半功倍的效果。

另外把，点集拓扑学实用性更明显的一些，微积分，方程，图论等等联系起来的话，学习者感到更踏实一些。

还有数学这种东西数学这种东西也是分流派，用不同的方法来学习数学，所形成的“气场”也是完全不同的，如果你被动的陷入无尽的题海中，而且工作之后，毕业不了几年，大部分的数学知识都会遗忘，并且会被你定义为一无是处，毫无用途。

总之，虽然点集拓扑学作为本科阶段的一门专业课程，由于它的高度抽象性，学习起来比较困难，但还是应该努力学习

第五篇：

设备点检学习心得设备点检学习心得

我于五月二十二日有幸参加了在xx举行的关于设备点检知识的学习，通过为期两天的学习使我感触很深，受益匪浅，对自己的认识水平、理论水平和业务知识等都有进一步的提高。

下面我就参加这次学习活动结合自身工作实际，谈点自己粗浅的体会。

一、机会难得，学习气氛浓

这次设备点检培训是利用工作之余进行的，大家都很珍惜这次难得的进修机会，通过认真学习使我们这次培训的学员都在最短的时间内完成了由员工到学生的角色转换，虚心、诚恳地接受着培训，态度之端正、学习之专注，仿佛又回到了曾经的校园。

培训期间，每个人都是那样的专心致志，全神贯注，认真的聆听，适时地记录，如饥似渴地接受着新鲜的理念，大家都觉得机会是如此的难得，学习的气氛十分浓厚。

二、异彩纷呈的讲座报告

xxx教师的讲座在我看来就像是一顿丰盛的大餐，精美地呈现在我们的面前，如果用两个词来形