二次函数图像与系数关系含答案Word格式文档下载.docx
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②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.
∵对称轴x=﹣
=1,
∴b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.
故②错误;
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),
∴﹣1×
3=﹣3,
∴
=﹣3,则a=﹣
.
∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),
∴2≤c≤3,
∴﹣1≤﹣
≤﹣
,即﹣1≤a≤﹣
故③正确;
④根据题意知,a=﹣
,﹣
∴b=﹣2a=
,
∴n=a+b+c=
c.
∵2≤c≤3,
≤
c≤4,即
≤n≤4.
故④错误.
综上所述,正确的说法有①③.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
2.(2013•烟台)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:
①abc<0;
②2a﹣b=0;
③4a+2b+c<0;
④若(﹣5,y1),(
,y2)是抛物线上两点,则
y1>y2.其中说法正确的是( )
②③
①②④
②③④
根据图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;
把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,求出点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大即可判断④.
∵二次函数的图象的开口向上,
∴a>0,
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c<0,
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1,
∴﹣
=﹣1,
∴b=2a>0,
∴abc<0,∴①正确;
2a﹣b=2a﹣2a=0,∴②正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).
∴与x轴的另一个交点的坐标是(1,0),
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得:
y=4a+2b+c>0,∴③错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1,
∴点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),
根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大,
∵
<3,
∴y2<y1,∴④正确;
故选C.
本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力.
3.(2013•十堰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:
①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是( )
5个
4个
3个
2个
由抛物线的对称轴在y轴右侧,可以判定a、b异号,由此确定①正确;
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0,又抛物线过点(0,1),得出c=1,由此判定②正确;
由抛物线过点(﹣1,0),得出a﹣b+c=0,即a=b﹣1,由a<0得出b<1;
由a<0,及ab<0,得出b>0,由此判定④正确;
由a﹣b+c=0,及b>0得出a+b+c=2b>0;
由b<1,c=1,a<0,得出a+b+c<a+1+1<2,由此判定③正确;
由图象可知,当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时,函数值y>0,由此判定⑤错误.
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过点(0,1)和(﹣1,0),
∴c=1,a﹣b+c=0.
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴x=﹣
>0,
∴a与b异号,∴ab<0,正确;
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2﹣4ac>0,
∵c=1,∴b2﹣4a>0,b2>4a,正确;
④∵抛物线开口向下,∴a<0,
∵ab<0,∴b>0.
∵a﹣b+c=0,c=1,∴a=b﹣1,
∵a<0,∴b﹣1<0,b<1,
∴0<b<1,正确;
③∵a﹣b+c=0,∴a+c=b,
∴a+b+c=2b>0.
∵b<1,c=1,a<0,
∴a+b+c=a+b+1<a+1+1=a+2<0+2=2,
∴0<a+b+c<2,正确;
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(﹣1,0),设另一个交点为(x0,0),则x0>0,
由图可知,当x0>x>﹣1时,y>0,错误;
综上所述,正确的结论有①②③④.
故选B.
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,不等式的性质,难度适中.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a的符号由抛物线开口方向决定;
b的符号由对称轴的位置及a的符号决定;
c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定;
抛物线与x轴的交点个数,决定了b2﹣4ac的符号,此外还要注意二次函数与方程之间的转换.
4.(2012•沙坪坝区模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( )
abc<0
a+c<b
b>2a
4a>2b﹣c
二次函数图象与系数的关系;
二次函数与不等式(组).4946047
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
A、∵图象开口向下,∴a<0,∵与y轴交于正半轴,∴c>0,∵对称轴在y轴左侧,﹣
<0,∴b<0,∴abc>0,故本选项错误;
B、∵当x=﹣1时,对应的函数值y>0,即a﹣b+c>0,∴a+c>b,故本选项错误;
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
>﹣1,又a<0,∴b>2a,故本选项正确;
D、∵当x=﹣2时,对应的函数值y<0,即4a﹣2b+c<0,∴4a<2b﹣c,故本选项错误.
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与不等式的关系,难度中等.
5.(2013•鄂州)小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:
①ab>0;
②a+b+c<0;
③b+2c>0;
④a﹣2b+4c>0;
⑤
你认为其中正确信息的个数有( )
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
①如图,∵抛物线开口方向向下,∴a<0.
=﹣
,∴b=
a<0,
∴ab>0.故①正确;
②如图,当x=1时,y<0,即a+b+c<0.
故②正确;
③如图,当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
∴2a﹣2b+2c>0,即3b﹣2b+2c>0,
∴b+2c>0.
④如图,当x=﹣
时,y>0,即
a﹣
b+c>0.
∴a﹣2b+4c>0,
故④正确;
⑤如图,对称轴x=﹣
,则
.故⑤正确.
综上所述,正确的结论是①②③④⑤,共5个.
6.(2013•德州)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:
①b2﹣4c>0;
②b+c+1=0;
③3b+c+6=0;
④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确的个数为( )
1
2
3
4
由函数y=x2+bx+c与x轴无交点,可得b2﹣4c<0;
当x=1时,y=1+b+c=1;
当x=3时,y=9+3b+c=3;
当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,可得x2+bx+c<x,继而可求得答案.
∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点,
∴b2﹣4c<0;
故①错误;
当x=1时,y=1+b+c=1,
∵当x=3时,y=9+3b+c=3,
∴3b+c+6=0;
③正确;
∵当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,
∴x2+bx+c<x,
∴x2+(b﹣1)x+c<0.
故④正确.
主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
7.(2012•天门)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:
①b﹣2a=0;
②abc<0;
③a﹣2b+4c<0;
④8a+c>0.其中正确的有( )
1个
0个
首先根据二次函数图象开口方向可得a>0,根据图象与y轴交点可得c<0,再根据二次函数的对称轴x=﹣
,结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1,结合对称轴公式可判断出①的正误;
根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0,根据a、b、c的正负即可判断出②的正误;
利用a﹣b+c=0,求出a﹣2b+4c<0,再利用当x=4时,y>0,则16a+4b+c>0,由①知,b=﹣2a,得出8a+c>0.
根据图象可得:
a>0,c<0,
对称轴:
x=﹣
①∵它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0),
∴对称轴是x=1,
∴b+2a=0,
②∵a>0,
∴b<0,
∵c<0,
∴abc>0,故②错误;
③∵a﹣b+c=0,
∴c=b﹣a,
∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4(b﹣a)=2b﹣3a,
又由①得b=﹣2a,
∴a﹣2b+4c=﹣7a<0,
故此选项正确;
④根据图示知,当x=4时,y>0,
∴16a+4b+c>0,
由①知,b=﹣2a,
∴8a+c>0;
故正确为:
③④两个.
故选:
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;
当a<0时,抛物线向下开口;
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).
8.已知:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:
①abc>0;
②2a+b<0;
③a+b≠m(am+b)(m≠1的实数);
④(a+c)2<b2;
⑤a>1,其中正确的是( )
由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
①∵抛物线的开口向上,∴a>0,
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,
∵对称轴为x=﹣
∴a、b异号,即b<0,
又∵c<0,∴abc>0,
故本选项正确;
②∵对称轴为x=﹣
>0,a>0,
﹣
<1,
∴﹣b<2a,
∴2a+b>0;
故本选项错误;
③当x=1时,y1=a+b+c;
当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m>1,y2>y1;
当m<1,y2<y1,所以不能确定;
④当x=1时,a+b+c=0;
当x=﹣1时,a﹣b+c>0;
∴(a+b+c)(a﹣b+c)=0,即(a+c)2﹣b2=0,
∴(a+c)2=b2
⑤当x=﹣1时,a﹣b+c=2;
当x=1时,a+b+c=0,
∴a+c=1,
∴a=1+(﹣c)>1,即a>1;
综上所述,正确的是①⑤有2个.
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换;
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:
开口方向向上,则a>0;
否则a<0;
(2)b由对称轴和a的符号确定:
由对称轴公式x=﹣
判断符号;
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:
交点在y轴正半轴,则c>0;
否则c<0;
(4)b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定:
2个交点,b2﹣4ac>0;
1个交点,b2﹣4ac=0,没有交点,b2﹣4ac<0.
9.(2013•莒南县二模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:
②b<a+c;
③4a+2b+c>0;
④2c<3b;
⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).
其中正确的结论有( )
压轴题;
数形结合.
观察图象:
开口向下得到a<0;
对称轴在y轴的右侧得到a、b异号,则b>0;
抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c>0,所以abc<0;
当x=﹣1时图象在x轴下方得到y=a﹣b+c<0,即a+c<b;
对称轴为直线x=1,可得x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c>0;
利用对称轴x=﹣
=1得到a=﹣
b,而a﹣b+c<0,则﹣
b﹣b+c<0,所以2c<3b;
开口向下,当x=1,y有最大值a+b+c,得到a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m(am+b)(m≠1).
开口向下,a<0;
对称轴在y轴的右侧,a、b异号,则b>0;
抛物线与y轴的交点在x轴的上方,c>0,则abc<0,所以①不正确;
当x=﹣1时图象在x轴下方,则y=a﹣b+c<0,即a+c<b,所以②不正确;
对称轴为直线x=1,则x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c>0,所以③正确;
=1,则a=﹣
b﹣b+c<0,2c<3b,所以④正确;
开口向下,当x=1,y有最大值a+b+c;
当x=m(m≠1)时,y=am2+bm+c,则a+b+c>am2+bm+c,即a+b>m(am+b)(m≠1),所以⑤正确.
本题考查了二次函数图象与系数的关系:
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,当a>0,开口向上,函数有最小值,a<0,开口向下,函数有最大值;
对称轴为直线x=﹣
,a与b同号,对称轴在y轴的左侧,a与b异号,对称轴在y轴的右侧;
当c>0,抛物线与y轴的交点在x轴的上方;
当△=b2﹣4ac>0,抛物线与x轴有两个交点.
二.填空题(共1小题)
10.(2013•柳林县一模)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的对称轴是直线x=1,其图象的一部分如图所示.对于下列说法:
②当﹣1<x<3时,y>0;
③3a+c<0;
④a﹣b+c<0,其中正确的是 ①③④ (把正确的序号都填上).
a<0,b>0,c>0.
则abc<0,故①正确;
当﹣1<x<3时图象在x轴的上方,且有的点在x轴的下方,故②错误;
根据图示知,该抛物线的对称轴直线是x=1,即﹣
=1,则b=﹣2a.那么当x=﹣1时,y=a﹣b+c=a+2a+c=3a+c<0,故③正确;
当x=﹣1时,y=a﹣b+c一定在x轴的下方,因而a﹣b+c<0,故④正确.
故答案是:
①③④.
主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.
(2013•绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:
①2a+b>0;
②b>a>c;
③若﹣1<m<n<1,则m+n<﹣
④3|a|+|c|<2|b|.
其中正确的结论是 ①③④ (写出你认为正确的所有结论序号).
分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a,b,c的符号,再利用特殊值法分析得出各选项.
∵抛物线开口向下,∴a<0,∴2a<0,
对称轴x=﹣
>1,﹣b<2a,∴2a+b>0,故选项①正确;
∵﹣b<2a,∴b>﹣2a>0>a,
令抛物线解析式为y=﹣
x2+bx﹣
此时a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为
和2,
则
解得:
b=
∴抛物线y=﹣
x2+
x﹣
,符合“开口向下,与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间,
对称轴在直线x=1右侧”的特点,而此时a=c,(其实a>c,a<c,a=c都有可能),
故②选项错误;
∵﹣1<m<n<1,﹣2<m+n<2,
∴抛物线对称轴为:
>1,
>2,m+n
,故选项③正确;
当x=1时,a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,
∴3a+c>﹣2b,∴﹣3a﹣c<2b,
∵a<0,b>0,c<0(图象与y轴交于负半轴),
∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c<2b=2|b|,故④选项正确.
故答案为:
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键.
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