第四章傅里叶变换和系统的频域分析Word格式文档下载.docx

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［、.（c）］［ej、（c）e（‘

2222

=呱、（•寸）、（c）］

■-”t

可得输出为y（t）=cos（』）

2

2、求周期信号ej100t的基波角频率门和周期T。

解：

角频率鳥-100rad/s,周期T=—

Q100

兀

s

50

3、求周期信号cos（^：

t）cos（^：

t）cos（5t）的基波角频率门和周期

T。

cos（2「t）、cos（3「：

t）、cos（5「：

t）的角频率分别为1^=2二，门2-3~，/'

3=5二，取三者

2兀2兀

的最大公约数为二，即其三项的和信号的基波角频率；

」-二rad/s,周期T=22

n

4、用直接计算傅里叶系数的方法，求下图所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。

二2s

由f（t）波形，如周期T=4，角频率门

数傅里叶系数

2■:

■:

■，根据指数傅里叶系数定义式，得指

Fn

12

—2rf（t）eTT

1_jn•t1

2dt=_

4

Jn2

1（e2-e2）

e

-jn■:

-1

^sin（）,n=1,_1,_2…

5、求下图所示信号的傅里叶变换。

1丁

由f（t）波形写出表达式f（t）t,^：

t：

：

[0,其他

根据傅里叶变换定义，得f（t）的傅里叶变换为

1

卩（「）=」（啊葩0-”『jj

e”1

6•、利用对称性求函数f（t）二Sin[2（t「2）],」：

:

t：

的傅里叶变换。

■:

（t_2）

f（t）」n0（t-2）]

二（t-2）

=2sa[2：

（t-2）]

g4-（t）i4：

Sa（2z;

）利用对称性有4：

）i2~.g4_.（--）

TlTl

故2Sa（2二t），2g4-.（-）

根据傅里叶变换的时移特性，得f（t）的傅里叶变换为

f（t）=2SaL2（t-2）].g-（）e」2•

7、求信号f（t）二e（t-2）的傅里叶变换。

基本信号j（t）的傅里叶变换为；

.（t^-1

由时移特性，有、；

（t-2）「e」2'

又由频移特性，得f（t）的傅里叶变换为f（t）二e』：

（t-2）「6」（=

一1

8、求信号f（t）=；

（t「1）的傅里叶变换。

由常见信号;

（t）的傅里叶变换；

（t）_'

3^■）-

1e"

根据傅里叶变换的时移特性，有；

（t-1）尸[二、（）]e‘-二、（■）■

jo

再根据傅里叶变换尺度变换特性，即可得f（t）的傅里叶变换为

11e」2*^

f（t）=；

（tT）i2［二、（2，）e^2］二二、.（）

2j2国j«

由f（t）波形，可写出其表达式为f（t）二一tg2.（t）

X

根据傅里叶变换的时移特性和线性性质，有

f'

（t）二_、.（t.）仝（t7）1tg2（t）ie」—e〉'

2Sa（.J二2sin（―-2cos（.）

TTO

于是，由傅里叶变换的时域积分特性，得f（t）的频谱为

10、若已知f（t）「F（j），试求下列函数的频谱。

（1）

tf（2t）

（2）

（t-2）f（t）

（3）严⑴

dt

（4）

f（1_t）

（5）

（1-t）f（1-t）

（6）f（2t_5）

（7）

2f（）d

（8）

ejtf（3-2t）

df（tk1

（9）*—

dt毗

1CC

（1）由尺度变换特性，有f（2t）F（j）

22

再根据频域的微分特性，得（-jt）f（2t）「1dF（j）

2d⑷2

所以，有tf（2thj-—F（j-）

2d灼2

（2）由频域微分特性，得（-jt）f（t）*—F（j）

do

则tf（th-j—F（j）

de

根据线性性质，有（t-2）f（thj—F（j0-2F（j）d®

-J

（3）由时域微分特性，可知f（t）「j「F（j「）

t

再根据频域的微分特性，得（-jt）Qf（t）「—[jF（j）]

所以，有t-f（thj—[jF（j）^-[F（j0■—F（j）]

（4）由时移特性，得f（1thF（j）ej■

再根据尺度变换特性（a=-1），有f（1—t）㈠F（—jB）e"

^

（5）由第二问知，tf（thjF（j）

d①

再根据时移特性，有（t1）f（t1）jer—F（j■）

Qt

fC）d*-fi（1_[t）

根据傅里叶变换的积分特性，得

再根据反转特性，得

d.d

（1_t）f（1_t）,jeF（—j‘）-一je」F（—j‘）

d（-©

）d«

（6）由时移特性，有

f（t-5），F（jJe」5'

再根据尺度变换特性，得f（2t-5^丄F（j二）

（7）设f,（t）二f（）d.则

——^0

tF（jco）

f1（t）f（.）d*F（0）（）

fj■

再由时移特性，得f1（t1^[二F（0）"

・）•F（j^]ej：

F（0^（）F（j）ej'

joj怕

1■

应用尺度变化特性，有fi（—3+1）㈠存tfG）d£

㈠2[肝（0疋（-2灼）+"

72町「2勻2皿-j2

即[方^⑴肛㈠jiF（0疋©

）+F（_j2豹）e*

j-

（8）由时移特性，有f（3thF（j）ej3■

3

再根据尺度变换特性，得

蛍一參

f（3-2t）F（-j）e2

（9）根据时域微分特性，得jF（j）

又有jsgn（J

珥

利用时域卷积定理，得df（t）*1㈠jaF（ja）Ljsgn（a）l=asgn（m）F（jm）F（jm）

dt珥

由于g^0（th20Sa（0），则利用对称性，得20Sa（0t^-2：

g^0（'

故0Sa（，ot）尸g2.0（J

兀w

则可知F（jJ的傅里叶逆变换为F*F（j•）]=-°

Sa（「0t）二」Sin（ot）二Sin（ot）

二二，0t二t

12、求函数F（j）二'

（门亠门0）仝（；

.；

o）的傅里叶逆变换。

由于仁2二、（•）

根据线性性质，得——「「（J

2兀

根据频移特性，得——ej0tr秆心亠心0）,——ef，'

（；

•-；

•；

讥）

则由线性性质，得F（j•）=>

'

「：

心）--（•5）的傅里叶逆变换为

F[F（j•）]二丄/Q^—ejot

2-2-j二

13、求函数F（j「）=2cos（3「）的傅里叶逆变换。

由于（th1，则利用时移特性：

.（t3^ej3；

（t-3）「e"

故有2cos（3o）=ej3豹+e」3豹㈠6（t+3）+6（t_3）

即得2cos（3）的傅里叶逆变化为FJ[F（j）^F」[2cos（3J]-・（t-3）（^3）

14、禾U用傅里叶变换性质，求下图所示的函数的傅里叶逆变换。

«

由图所示的F（j.）1的幅频特性F（jj1和相频特性（■），可得

由于g2®

（t）㈠2%Sa（w），可利用对称性，得

©

2，°

Sa（yt），2二g2°

（‘）,〒Sa（，°

t），g?

°

（J

再根据时移特性，得F（j-）1的傅里叶逆变换为

FJ[F（j）]二F」[Aejt0g2。

（「）]=A^Sag（tt。

）]n

将f（t）的门函数表示为f（t）二g2（t2）g2（t-2）

由于g2（t）—2Sa（■）

根据时移特性，有g2（t2^-2SaC,g2（t-2），-2Sa^）^j2'

再由线性性质，则可得f（t）的频谱F（j）1为

F（j■）l-2Sa（）ej2'

2Sa（归十'

~4sincos

（2）

o

16、一个周期为T的周期信号f（t），已知其指数形式的傅里叶系数为Fn,求周期信号

f（t）二f（t-t。

）的傅里叶系数。

将周期信号展开为傅里叶级数为f（t）-'

〔：

Fnej^tl

n=3

qQ

其傅里叶变换为F（「）=2.•.二Fn-：

（y-n=）

n^jQO

由时移特性，知f（t）的傅里叶变换为

oOO0

F（j・•）=e」t0F（j•）=e」t02^'

斤、（一n「」）=2二、（ej’Fn）、。

一n"

n-；

n二二

由此可知f（t）的傅里叶系数为e』MFn

17、一个周期为T的周期信号f（t），已知其指数形式的傅里叶系数为Fn,求周期信号

f（t）二f（—t）的傅里叶系数。

根据反转特性，知f（t）的傅里叶变换为

oCoOO0

F（j・•）二F（—j）=2二Fn、•（一一n「）=2二、Fn、（一n「）=2二'

卩』、（一2）

n二；

n=:

二n=:

】

由此可知f（t）的傅里叶系数为F」

18、一个周期为T的周期信号f（t），已知其指数形式的傅里叶系数为Fn,求周期信号

f（t）=业9的傅里叶系数。

根据时域微分特性，得f（t）的傅里叶变换为

□0Q0

F（j•）二jF（jJ=j・2二'

Fn、（，一n「」）=2二'

（jn门Fn）、（■—n"

n二；

由此可知f（t）的傅里叶系数为jn1Fn

19、一个周期为T的周期信号f（t），已知其指数形式的傅里叶系数为Fn,求周期信号

f（t）二f（at）,a0的傅里叶系数。

根据尺度变换特性，知f（t）的傅里叶变换为

7F“a、（，-na」）=2八F,（，-na1）

nn

由此可知f（t）的傅里叶系数仍为Fn,但基波角频率由「变为a1。

20、求微分方程y'

（t）3y'

（t）2y（t^f'

（t）所描述系统的频率响应H（j「）

对方程两边去傅里叶变换，根据时域微分特性及线性性质有

j丫j■3（j■）Y（j■）2Y（j0-（j-）F（j■）

经整理，得系统的频率响应H（j「）为日（「.）=耳丄

F（jw）（jw）+3jo+2

21、某LTI系统的频率响应Hj申i=2_j•，若系统输入f（t）二COS（2t），求该系统的输

2十jco

出y（t）。

F（j「）=F[f（t）]=F[cos（2t）]=二[「（「2）•2）]故系统的输出的傅里叶变换

丫j=Hj，Fj=二[、（•2）、（一2）]2匸

2+j®

二[（•2）乞」2、（•-2）2一j2]

2+j22+j2

=j二[、（■2）-、（一2）]

取其傅里叶逆变换，即得系统的输出为y（t）二sin（2t）

（a）

22、如图（a）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图（b）所示，其相频特性「（’）=0,

（b）

由于g4-（t）r4二Sa（2二），根据对称性，有4Sa（2t）^2g^.（）

由线性性质，可得f（t）/n（2t）=sa（2：

t）i1g^C）

2毗2

即f（t）的傅里叶变换为F（j・）=3g4_（J

由频移特性，得f（t）s（t）=Sa（2二t）cos（IOOOt）[gj，-1000）g「（•1000）]

由图（b），知带通滤波器的响应为H（jco）=g2（①-1000）+g2（①+1000）

系统输出y（t）的频谱为

丫（「）=F[f（t）s（t）]H（「）

二I[g,（.-1000）g4-（「1000）][g2（・-1000）g2（'

1000）]

[g2（■-100°

）g2（■1000）]

由一Sa（thg2（「）和频移特性，求Y（「）的傅里叶逆变换，则可得

y（t）二1Sa（t）[ej1000te^1000tH1Sa（t）cos（1000t）

4兀2兀

23、有限频带信号f（t）的最高频率为100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频

率fs。

（1）f（3t）

（2）f2（t）（3）f（t）*f（2t）（4）f（t）f2（t）

（1）设f（t）「F（j）

1©

由尺度变换特性，有f（3t）F（j）

33

则f（3t）的最高频率为f1m=3fm=300Hz

由时域取样定理可知，最小取样频率为fs=2fjm=600Hz

（2）设f（t）,-F（j‘）

21

由频域卷积定理得f2（t）=f（t）f（t）Fj-Fj■

•亠1亠

F（j■）的最咼频率为100Hz，贝UF（jF（j■）的最咼频率为200Hz，记为

f2m=200Hz

由时域取样定理可知，最小取样频率为fs=2f2m=400Hz

（3）由尺度变换特性，有f（2t）「

1时

由频域卷积定理得f（t）*f（2t）「F（jO-F（j-

1■:

■-

因为F（j「）的最高频率为100Hz,而F（j—）的最高频率为200Hz，故F（「）一F（j）的

222

最高频率为f3m=100Hz

由时域取样定理可知，最小取样频率为fs=2f3m=200Hz

（4）由第

（2）问可知f（t）•f2（t）「FjFj■*Fj■

s（j2二f）二F［s（t）］二F［rs（t）］=2兀'

、（2二f—2n二fs）

n-..:

由卷积定理，可得fs（t）频谱为

Fsgf）亍F（j2"

S（j2f）

［10二、（2f）2二、（2f2二fi）2二、（2二f-2二fi）二、（2二f4：

fi）

2二

QO

二、（2二f-4：

f1）］*［^：

f^（^：

f-2n二fs）］

n=joO

=f「［10二、（2二f-2n二fs）2二、（2二f2苗-2n二fs）2二、（2二f-2^-2n二fs）

n:

二、（2二f4苗-2n二fs）亠门（2二f-4茁-2n二fs）］

由题知，f^1kHz,fs=5kHz,而f（t）的最高频率臨=2£

=2kHz,故f22fm,取样信号

fs（t）的频谱不发生混叠，其在（-10KHz，10KHz）的频谱如图（b）所示。

（2）若由取样信号fs（t）恢复信号，理想低通滤波器的截止频率fc应满足fm：

f「：

fs-fm

即2kHz：

fc:

3kHz