数学教案已知三角函数值求角高一数学教案模板Word格式.docx

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，，，

由此可见：

书上的反正弦与反正弦函数是一致的，当然理解了反正弦函数，能使大家更加系统地掌握这部分知识。

２．反余弦定义：

反余弦函数：

函数，的反函数叫做反余弦函数，记作：

相当于内的一个角，这个角的余弦值为。

反余弦：

，，由于，故为负值时，表示的是钝角。

３．反正切定义：

反正切函数：

相当于内的一个角，这个角的正切值为。

反正切：

符合条件（）的角，叫做实数的反正切，记作：

对于反三角函数，大家切记：

它们不是三角函数的反函数，需要对定义域加以改进后才能出现反函数。

反三角函数的性质，有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于对称这一特性，得到反三角函数的性质。

根据新教材的要求，这里就不再讲了。

练习：

三．课堂练习：

例1．请说明下列各式的含义：

（1）；

（2） 

；

（3）；

（4）。

解：

（1）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角是；

（2）表示之间的一个角，这个角的正弦值为，这个角不存在，即的写法没有意义，与，矛盾；

（3）表示之间的一个角，这个角的余弦值为，这个角是；

（4）表示之间的一个角，这个角的正切值为。

这个角是一个锐角。

例2.比较大小：

（1）与；

（2）与。

（1）设：

，；

，，

则，，

∵在上是增函数，，

∴，即。

（2）中小于零，表示负锐角，

中虽然小于零，但表示钝角。

例3．已知：

，，求：

的值。

解：

正弦值为的角只有一个，即：

，

在中正弦值为的角还有一个，为钝角，即：

所求的集合为：

注意：

如果题目没有特别说明，结果应为准确值，而不应是近似值，书上均为近似值。

例4．已知：

余弦值为的角只有一个，即：

在中余弦值为的角还有一个，为第三象限角，即：

例5．求证：

（）。

证明：

∵，∴，设，，

则，即：

，即：

∵，∴，

∴，∴，即：

例6．求证：

（*），

注意：

（*）中不能用来替换，虽然符号相同，但，不能用反余弦表示。

四．课后作业。

书上：

P76.练习,P77. 

习题4.11。

（均要准确值，划掉书上的精确到）

4.8 

正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）

（一）教学具准备

　　直尺、投影仪．

（二）教学目标

　　1．理解，的周期性概念，会求周期．

　　2．初步掌握用定义证明的周期为的一般格式．

（三）教学过程

　　1．设置情境

　　自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角的终边每转一周又会与原来的位置重合，故，的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题）

　　2．探索研究

（1）周期函数的定义

　　引导学生观察下列图表及正弦曲线

1

－1

　　正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．

　　联想诱导公式，若令则，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：

　　对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期．

　　如，，…及，…都是正弦函数的周期．

　　注意：

周期函数定义中有两点须重视，一是是常数且不为零；

二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．

　　师：

请同学们思考下列问题：

①对于函数，有能否说是正弦函数的周期．

　　生：

不能说是正弦函数的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式成立，所以不符合周期函数的定义．

　　②是周期函数吗？

为什么

若是周期函数，则有非零常数，使，即，化简得，∴（不非零），或（不是常数），故满足非零常数不存在，因而不是周期函数．

　　思考题：

若为的周期，则对于非零整数，也是的周期．（课外思考）

（2）最小正周期的定义

我们知道…，，，，…都是正弦函数的周期，可以证明（且）是的周期，其中是的最小正周期．

　　一般地，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．

　　今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．

　　依据定义，和的最小正周期为．

　　（3）例题分析

　　【例1】求下列函数的周期：

（1），；

（2），；

　　（3），．

　　分析：

由周期函数的定义，即找非零常数，使．

　　解：

（1）因为余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得，函数，的值也才能重复取得，从而函数，的周期是．

即，∴

（2）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而所以自变量只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，从而函数，的周期是．

　　即 

　　∴

　　（3）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式成立的最小正数，从而函数，的周期是．

　　而

从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？

你能否求出函数，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期？

　　∴．

　　同理可求得的周期．

　　【例2】求证：

（1）的周期为；

（2）的周期为；

　　（3）的周期为．

依据周期函数定义证明．

　　证明：

（1）

　　∴的周期为．

（2）

　　（3）

　　3．演练反馈（投影）

（1）函数的最小正周期为（ 

）

　　A．　　B．　　C．　　D．

（2）的周期是_________

　　（3）求的最小正周期．

参考答案：

（1）C；

（2） 

∴

　　（3）欲求的周期，一般是把三角函数化成易求周期的函数或的形式，然后用公式求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．

　　由

　　4．总结提炼

（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．

（2）设，．若为的周期，则必有：

①为无限集，②；

③在上恒成立．

　　（3）只有或型的三角函数周期才可用公式，不具有此形式，不能套用．如，就不能说它的周期为．

（四）板书设计

课题

1．周期函数定义

两点注意：

思考问题①

②

2．最小正周期定义

例1

例2

的周期

练习反馈

总结提炼

设是定义在上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当时，，求上的表达式

　　参考答案：

教学目标

　　1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质．

（1）了解对数式的由来和含义，清楚对数式中各字母的取值范围及与指数式之间的关系．能认识到指数与对数运算之间的互逆关系．

（2）会利用指数式的运算推导对数运算性质和法则，能用符号语言和文字语言描述对数运算法则，并能利用运算性质完成简单的对数运算．

　　（3）能根据概念进行指数与对数之间的互化．

　　2．通过对数概念的学习和对数运算法则的探究及证明，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想，培养学生的逻辑思维能力．

　　3．通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想．通过对数运算法则的探究，使学生善于发现问题，揭示数学规律从而调动学生思维的积极参与，培养学生分析问题，解决问题的能力及大胆探索，实事求是的科学精神．

教学建议

教材分析

（1）对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与对数式中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：

（2）本节的教学重点是对数的定义和运算性质，难点是对数的概念．

　　对数首先作为一种运算，由引出的，在这个式子中已知一个数和它的指数求幂的运算就是指数运算，而已知一个数和它的幂求指数就是对数运算（而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算），所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识．此外对数作为一种运算除了认识运算符号“”以外，更重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，脱到过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．

　　对数运算的符号的认识与理解是学生认识对数的一个障碍，其实与+，等符号一样表示一种运算，不过对数运算的符号写在前面，学生不习惯，所以在认识上感到有些困难．

教法建议

（1）对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数的要求，其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明，验证．同时在关系的指导下完成指数式和对数式的互化．

（2）对于运算法则的探究，对层次较高的学生可以采用“概念形成”的学习方式通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识．

　　（3）对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围．最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性．

教学设计示例

对数的运算法则

　　1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题．

　　2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．

　　3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神．

教学重点，难点

　　重点是对数的运算法则及推导和应用

　　难点是法则的探究与证明．

教学方法

　　引导发现法

教学用具

　　投影仪

教学过程

一. 

引入新课 

　　我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?

通过下面的题目来回答这个问题．

　　如果看到这个式子会有何联想?

　　由学生回答

（1）

（2） 

（3） 

（4）．

　　也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则．

二．对数的运算法则（板书）

　　对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．

　　由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：

，，．

　　然后直接提出课题：

若是否成立?

由学生讨论并举出实例说明其不成立（如可以举而），教师在肯定结论的正确性的同时再提出

　　可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32=2，还可以让学生再找几个例子，．之后让学生大胆说出发现有什么规律?

　　由学生回答应有成立．

　　现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?

你学过哪些与之相关的证明依据呢?

　　学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书．

设则，由指数运算法则

　　得

　　，

　　即． 

（板书）

　　法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识：

（1）公式成立的条件是什么?

（由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件）．

（2）能用文字语言叙述这条法则：

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和．

　　（3）若真数是三个正数，结果会怎样?

很容易可得．

　　（条件同前）

　　（4）能否利用法则完成下面的运算：

例1：

计算

（1） 

（3）

　　由学生口答答案后，总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．然后提出新问题：

　　．

　　可由学生说出．得到大家认可后，再让学生完成证明．

设则，由指数运算法则得

　　教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法?

能否用上刚才的结论?

　　有的学生可能会提出把看成再用法则，但无法解决计算问题，再引导学生如何回避的问题．经思考可以得到如下证法

．或证明如下

，再移项可得证．以上两种证明方法都体现了化归的思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的．最后板书法则2，并让学生用文字语言叙述法则2．（两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差）

请学生完成下面的计算

（2）．

　　计算后再提出刚才没有解决的问题即并将其一般化改为学生在说出结论的同时就可给出证明如下：

　　设则，．教师还可让学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究．

　　将三条法则写在一起，用投影仪打出，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下几个方面认识法则

（1）了解法则的由来．（怎么证）

（2）掌握法则的内容．（用符号语言和文字语言叙述）

　　（3）法则使用的条件．（使每一个对数都有意义）

　　（4）法则的功能．（要求能正反使用）

三．巩固练习

例2．计算

（1）　　　

（2）　　（3） 

　　（4）　　　　（5） 

（6）

解答略

　　对学生的解答进行点评．

例3．已知，用的式子表示

（1）　　

（2）　　（3）．

由学生上黑板写出求解过程．

四．小结

　　1．运算法则的内容

　　2．运算法则的推导与证明

　　3．运算法则的使用

五．作业略

六．板书设计

二．对数运算法则 

　　　　　例1 

例3

1.内容

（1）

（2）

（3） 

　　　　　　　　　　　例2 

小结

2.证明

3.对法则的认识　　

（1）条件　　 

（2）功能

探究活动试研究如下问题．

（1）已知求证：

或

（2）若都是正数且至少有一个不为1，且，则之间的关系是_____________________．

答案：

（1）证明略

（2）或．

课题：

等比数列前项和的公式

（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.

（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.

　　（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.

　　教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.

　　幻灯片，课件，电脑.

　　引导发现法.

一、新课引入：

（问题见教材第129页）提出问题：

（幻灯片）

二、新课讲解：

　　记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.

（板书）即， 

①

　　　　　　　， 

②

②－①得即.

由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？

（板书）等比数列前项和公式

仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即

（板书）③两端同乘以，得

④，

③－④得⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值）

当时，由③可得（不必导出④，但当时设想不到）

当时，由⑤得.

于是

反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.

（板书）例题：

求和：

设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.

两端同乘以，得

两式相减得

于是.

说明：

错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.

公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.

三、小结：

1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；

2.用错位相减法求一些数列的前项和.

四、作业：

略.

五、板书设计：

等比数列前项和公式　　　　　　　　　例题