平行四边形专题整理Word文件下载.docx

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的长度

以矩形为背

平行四边形面

景，探求不规

则四边形周长

性质和判定

面积、和最值

积、和最值等

的最小值，禾U

解答题

用对称

等问题的实

问题的实际应

际应用问题

用问题

二、平行四边形有关知识点

1平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD'

，读作“平行四边

形ABCD'

。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线

的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）

定义

（2）

定理

（3）

（4）

（5）

:

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

1:

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

2:

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

3:

对角线互相平分的四边形是平行四边形

4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积

S平行四边形=底边长X高=ah

矩形

1矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

矩形的四个角都是直角

矩形的对角线相等

矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

（1）定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1:

有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2:

对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积

S矩形=yx宽=ab

菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

菱形的四条边相等

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

四边都相等的四边形是菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积

S菱形=底边长X高=两条对角线乘积的一半

正方形

1正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

正方形的四个角都是直角，四条边都相等

正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

正方形是轴对称图形，有4条对称轴

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种:

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下:

先证明它是平行四边形;

再证明它是菱形（或矩形）最后证明它是矩形（或菱形）

4、正方形的面积

设正方形边长为a,对角线长为b

C2

S正方形=a=

三、真题演练

考点一：

平行四边形和特殊平行四边形性质和判定

题型一、平行四边形性质和判定

1、（2011陕西卷9,3分）如图，在？

ABCD中，E、F分别是ADCD边上的点，连接BEAF,

他们相交于G延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有（

A2对

边形AECF为正方形，则AE的长为（

4、（2006陕西卷20,8分）如图。

0为I口仙仞|的对角线

AC的中点，过点

0左一条直线分

A.7

B.4

或10C.5

别与ABCD交于点MN,E、F在直线MN上，且OE=OF

题型二、菱形性质和判定

1、（2012陕西卷7,3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,0E丄AB,

OABC，已知/ABC=60°

OA=1.先

60°

连续翻转2014次，点B的落点

3、（2014?

莱芜，第17题4分）如图在坐标系中放置一菱形将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转依次为B1,B2,B3,…，贝yB2014的坐标为（1342,0）

4、（2014?

四川成都，第24题4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，/A=60°

M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AAMN沿MN所在直线翻折得到△MN连接AC,则A’C长度的最小值是护-1.

5、（2014?

无锡，第18题2分）如图，菱形ABCD中，/A=60°

AB=3,OA、OB的半径

分别为2和1,P、E、F分别是边CD、OA和OB上的动点，贝UPE+PF的最小值是

题型三、矩形性质和判定

2、（2006陕西卷10,3分）如图，矩形ABCG（AByBC）与矩形CDEF全等，点BC、D

在同一条直线上，NAPE的顶点P在线段BD上移动，使NAPE为直角的点P的个数是

A.0B.1C.2D.43、（2014?

黑龙江绥化，第18题3分）如图，在矩形ABCD中，AD=（^AB,/BAD的平分线交BC于点E,DH丄AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点0,下列结论：

BC-CF=2HE;

⑤AB=HF,

①/AED=/CED;

②OE=OD;

③BH=HF;

④

其中正确的有（B）

A.2个

题型四、正方形性质和判定

分别作BE1AGDF丄AG垂足分别为E,F两点，求证：

△ADF^ABAE

，第20题3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且

黑龙江龙东

CD=3DE.将AADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.则下列

结论：

①△ABGAFG;

②BG=CG;

③AG//CF;

④Saegc=Szafe；

⑤/AGB+/AED=145.

其中正确的个数是（

2B.

是—崗_.

7、（2014?

重庆A,第18题4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点0是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF丄BE,垂足为F,连接OF,贝UOF的长为坐.

—5—

考点二、平行四边形和二次函数求面积和坐标问题

1、（2012陕西卷12,10分）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（aH0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

（1）“抛物线三角形”一定是三角形;

（2）若抛物线y=-x2+bx（b>

0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值;

2

（3）如图，△OAB是抛物线y=-x+bX（b'

>

0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为

对称中心的矩形ABCD?

若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；

若不存在,

说明理由.

2、（2014陕西卷12,10分）已知抛物线C:

y=—x2+bx+c经过A（-3,0）和B（0,3）两点，将抛

物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.

（2）求点M的坐标;

（3）将抛物线C平移到抛物线C'

抛物线C的顶点记为

M、它的对称轴与x轴的交点

记为N'

如果点MNM、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物

线C怎样平移？

为什么?

3、（2010陕西卷24,10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0）,B（3,0）C（0,-1）三点。

（1）求该抛物线的表达式;

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使QP、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所

有满足条件点P的坐标。

考点三、特殊平行四边形的综合应用问题

60cm的正方形

1、（2006陕西卷25,12分）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为

板子；

另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①），王

师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材。

他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直

B为一个顶点。

角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCDE围成的区域（如

图②），由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点

（1）求FC的长;

（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积最大？

最大面积时多少?

（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长。

2、（2009陕西卷25,12

分）问题探究

（1）请在图①的正方形

ABCD内，画出使NAPB=90°

的一个点P,并说明理由.

（2）请在图②的正方形

ABCD内（含边），画出使NAPB=60°

的所有的点P,并说明理

由.

3、（2010陕西卷25,12

（1）请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABC酚成面积相等的两部分;

（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD

分成面积相等的两部分。

问题解决

（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBC［是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC//OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管.理委员会（其占地面积不计）设在点P

（4,2）处。

为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所

I是否存在？

若存在求出

在的直线I将直角梯形OBCD＞成面积相等的了部分，你认为直线

直线I的表达式；

若不存在，请说明理由

使B落在边AD（含端点）

4、（2011陕西卷25,12分）如图①，在矩形ABCD中,将矩形折叠,

上，落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F,然后展开铺平，则以B、E、

F为顶点的三角形^BEF称为矩形ABCD勺“折痕三角形”

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD勺任意一个“折痕^BEF”是一个等腰

角形

5、（2012陕西卷25,12分）如图，正三角形

ABC的边长为3+J3.

EFPN'

的面积最大（不要求写作法）

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上.在正三角形

6、（2013陕西卷25,12分）问题探究

（1）请在图①中，作出两条直线，使它们将圆面四等分;

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直

线必须过点M,使它们将正方形ABCD勺面积四等分，并说明理由。

（3）如图③，在四边形ABCD中,AB//CD,AB+CD=BC点P是AD的中点，如果AB=a,CD=

ABCD的面积分成相

b,且bAa,那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在的直线将四边形

0,/CAB的平分

海南，第23题13分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点

线分别交BD,BC于点E,F，作BH丄AF于点H，分别交AC,CD于点G,P,连接GE,

8、（2014?

黑龙江绥化第26题9分）在菱形ABCD和正三角形BGF中，/ABC=60°

P是DF的中点，连接PG、PC.

②若EF//HG,求/AHE的度数，并求此时的最小值;

（2）如图3,/AEH=60,EG=2BG，连接FG,交边FG,交边DC于点P,且FG丄AB,

G为垂足，求a的值.

B、C重合）。

10、（2014?

江西，第23题8分）如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点

依此操作下去…

的长;

（2）若经过三次操作可得到四边形EFGHO

②以①中的结论为前提，设AE的长为X,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关

系式及面积y的取值范围。