圆锥曲线常用结论Word格式.docx
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2mn
1cos24a
4c2=4b2,
所以mn
2b,从而有
1cos2
c1
.2
S-
sin2=btan°
21
cos2
5:
从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。
6:
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角。
即有
MPKF2PM,PTMN,F1PTF?
PT°
7•:
PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点。
爲1上,则过Po的椭圆的切线方程是驾ba
Pl、P2,则切点弦
爲1外,则过Po作椭圆的两条切线切点为
yoyq
X2
7:
若Po(Xo,yo)在椭圆—a
2x8若F0(Xo,yo)在椭圆飞a
P1P2的直线方程是竽
眉1.
&
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
9:
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
10:
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和
AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,贝UMF丄NF.
A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和
11:
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、
A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,贝yMF丄NF.
x
12:
AB是椭圆—
kAB,即
kOM
13:
XoX
14:
2X~~2a
15:
y_
KAB
若P)(Xo,yo)在椭圆
y°
yxo
眉-
椭圆
1的不平行于对称轴
b2Xo
。
y1内,
b
X
~~2
的弦,
则被Po
M(Xo,yo)为AB的中点,则
所平分的中点弦的方程是
yo2
Po(xo,yo)在椭
-2~
yoy
则过PO的弦中点的轨迹方程是
的两个顶点为
A1(a,o),A2(a,o),与y轴平行的直线交
椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是—
13过椭圆p
1(a>
0,b>
0)上任一点A(Xo,yo)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆
于B,C两点,则直线
BC有定向且kBC产(常数).
ay。
14若P为椭圆字
2y_b2
1(a>
0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2
PF2F1
,则
tancot—.2
1.
设椭圆—
(a>
b>
0)
的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意
2.
3.
4.
sin
若椭圆
PF1F2中,记
F1PF2
PF1F2
F1F2P
c
e.a
y
0)b2
1时,可在椭圆上求一点
的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0ve
P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
P为椭圆—21(a>
0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则
2a|AF2||PA|IPF1I2a〔AF」当且仅当代F2,P三点共线时,等号成立•
(xXo)2
Bb
已知椭圆一2
(1)
|OP|
"
Aa
(yyo)
泸1与直线AxByC0有公共点的充要条件是b2
(Ax0By0C).
七1(a>
b>
0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,b2
|OQ|
22;
(2)|OP2+|OQ|2的最小值为单虽
abab
且OPOQ.
;
|OP|2+|OQ|2的
最大值为a2
b2(3)
2r2
SOPQ的最小值是一a—2,最大值为ab(4)并且点O到PQ
a2b2
的距离为定值
ab_a2b2
的垂直平分线交
已知椭圆—
0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于
x轴于P,则IfUe
|MN|2
21(a>
0),A、
与x轴相交于点P(x0,0),则
设P点是椭圆
F1PF2,
设A、B是椭圆
PBA
(1)|PA|
已知椭圆
是椭圆上的两点,线段
M,N两点,弦MN
AB的垂直平分线
Xo
a>
上异于长轴端点的任一点
F1、F2为其焦点记
则
(1)|PF1
xy_
2,2
BPA
2abIcosI
a2
2x~~2a
IIPF2I
斗.⑵Spf1f2b2tan-.
1cos122
1(a>
0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB
e分别是椭圆的半
c2cos2
.
(2)tan
tan1e.(3)Spab
焦距离心率,则有
2a2b2+
2cot.
的右准线I与x轴相交于点E,
过椭圆右焦点F的
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
直线与椭圆相交于A、
B两点,点C在右准线I上,且BCx轴,则直线AC经过线段
EF的中点.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点
的连线必与切线垂直.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心
率).
(注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项
双曲线
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线为直径的圆,除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆
P在左支)
若Po(x°
yo)在双曲线
是X0Xy°
y〔
线切点为P1、P2,
~7"
PT上的射影H点的轨迹是以长轴
相切.(内切:
P在右支;
外切:
-一占
八、、
~2
.2
若Po(Xo,yo)在双曲线
0,b>
则切点弦
y1(a>
上,
P1P2的直线方程是2
o)的左右焦点分别为
则双曲线的焦点角形的面积为
~7~2
当M(x°
)在右支上时,〔MF,ex0a,|MF2
0,b>
o)的焦半径公式:
则过Po的双曲线的切线方程
,则过Po作双曲线的两条切
y0y1
皆1.
F1,F2,点P为双曲线上任意
SF1PF2bLot?
.
仲c,0),F2(c,0)
|ex0a.
当M(X0,y°
)在左支上时,IMF1Iex0a,|MF21exja
设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,
连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,贝UMF丄NF.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶
点,A1P和A2Q交于点
AB是双曲线—
的中点,贝UKom
M,A2P和A1Q交于点N,贝UMF丄NF.
2yb2
Kab
若P°
(x0,y°
)在双曲线
0)的不平行于对称轴的弦,M(X0,y°
)为AB
b2x°
务£
1(a>
0,b>
0)内,则被Po所平分的中点弦的方
yZ
b2.
即KAB
20
5.
2x13.若P0(X0,y°
)在双曲线—a
21(a>
0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程
i.
y2
牙1(a>
0)的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)b
,与y轴
平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是—
ii.
过双曲线—
o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补
的直线交双曲线于
B,C两点,则直线BC有定向且
b2X0(常数).
iii.
若P为双曲线
0)右(或左)
支上除顶点外的任一点,Fi,
F2是焦点,
c-tan—cot(或
a22
rltanicoti).
iv.
设双曲线
的两个焦点为
F2,P(异于长轴端点)
v.
为双曲线
上任意一点,
在△PF1F2
记f1pf2
F1F2P,则有
(sinsin)
e.
若双曲线
0)的左、右焦点分别为
F1、F2,左准线为L,
则当1vew,21时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距
离d与PF2的比例中项.
vi.
P为双曲线—2
0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内
定点,则|AF2|
2aIPAI〔PF』当且仅当代F2,P三点共线且P和
A,F2在y轴同侧时,
双曲线~
件是A2a2
丄1
b21
B2b2
0)与直线AxByC0有公共点的充要条
C2.
viii.
已知双曲线
点,且OP
221(b>
a>
0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动
OQ.
值是
|0p|2
|0Q|2
2;
(2)|OPf+|OQ|2的最小值为b
22;
(3)SOPQ的最小
ba
2-2
~722
过双曲线
0)的右焦点F
作直线交该双曲线的右支于
M,N两点,弦
已知双曲线—
垂直平分线与
MN
|PF|e
的垂直平分线交x轴于P,则叩|2
0),A、B是双曲线上的两点,
x轴相交于点P(x0,0),则x0
设P点是双曲线—
每1(a>
为其焦点记
,则
(1)|PFi||PF2|
线段AB的
ab卡
或x°
上异于实轴端点的任一点,F1、F2
宀.
(2)SPF1F2
x2
设A、B是双曲线—
一点,PAB,
的长轴两端点,P是双曲线上的
,c、e分别是双曲线的半焦距离
心率,则有
(1)|PA|
2ab|cos|
~222~
|accos
⑵tantan
线右焦点F
轴,则直线
e.(3)Spab
|
2a2b2
b2a2
cot
2x"
2a
0)的右准线I与x轴相交于点
的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线I上,
AC经过线段EF的中点.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,
点与相应焦点的连线必与切线垂直
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,
线必与焦半径互相垂直
E,过双曲
且BCx
则相应交
则该点与焦点的连
8.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常
数e(离心率).
在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、夕卜
点).
9.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
10.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项
圆锥曲线的光学性质
双曲线的光学性质
从双曲线一个焦点发出的光,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。
抛物线的光学性质
从抛物线的焦点发出的光,经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物线的对称轴。
一束平行光垂直于抛物线的准线,向抛物线的开口射进来,经抛物线反射后,反射光线汇聚在抛物线的焦点。
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:
常利用第一定义
和正弦、余弦定理求解。
设椭圆或双曲线上的一点P(xo,y。
)到两焦点Fi,F2的距离分别为
「山,焦点RPF2的面积为S,则在椭圆笃爲1中,
1=arccos—1),且当r1r2即P为短轴端点时,最大为max:
b2c2
arccos2;
2Sb2tanc|y°
|,当|y°
|b即P为短轴端点时,Smax的最大值为bc;
对于双曲线^71的焦点三角形有:
arccos1
AD
抛物线
1•抛物线的焦点弦公式
已知直抛物线的标准方程为y22px,p0,
圆锥曲线的统一公式
1:
圆锥曲线的切线(切点弦)公式
设点pxo,y°
在二次曲线Fx,y0上,过点px°
yo的
切线方程的求法:
将二次曲线Fx,y0中含有x2,y2,xy,x,y项分别用
xxo,yyo,
xy°
x°
xXo
-匹代换常数项及系数不变而求得
2:
圆锥曲线的焦点弦长
若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B,且x,,x2分别为A、B的横坐标,则AB
Jk2为x2,若
yi,y2分别为a、B的纵坐标,则
k2
y1—,若弦ab
所在直线方程设为x
kyb,则AB=k2
Y1
y2°
特别地,焦点弦(过焦点的弦):
焦点弦的弦长的计算,
般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利
用第二定义求解。
(
为AB的倾角,a,b,c分别是长半轴,短半轴,半焦距长)
椭圆的焦点弦长AB
2ab2
cos
双曲线的焦点弦长AB
22ab——2特别的当双曲线为等轴双曲线时双
accos
曲线的焦点弦长AB
2acos2
抛物线的焦点弦长(p为焦参数)。
3圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:
(1)抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;
椭圆以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相离,双曲线以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相交
(2)设AB为焦点弦,M为与相应准线与x轴的交点,则/AMF=ZBMF;
(3)抛物线设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A1,B1,若P为A1B1的中点,贝UPA丄PB;
(4)抛物线(椭圆,双曲线)设AB为焦点弦若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
(1)相交:
0直线与椭圆相交;
0直线与双曲线相交,但直线与双曲
线相交不一定有0,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交
点,故0是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;
0直线与抛物线相
交,但直线与抛物线相交不一定有0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线
相交且只有一个交点,故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;
如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
X2y2
(2)过双曲线—牙=1外一点P(x°
)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如
下:
1P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和
分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;
2P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和
只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;
3P在两条渐近线上但非原点,只有两条:
一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;
4P为原点时不存在这样的直线
4:
设F是圆锥曲线的焦点,P1P2是焦点弦。
e,p分别是离心率和焦参数,则有
_2_
PF1
ep
对圆x2
y2r2,由直径上的圆周角是直角出发,
可得:
若AB是圆O的直
径,M是圆
O上点,KAM.KBM
1,对椭圆笃
7~21有KAM.KBM
~~2,
双曲线务
詁1有KaM.KbM
6:
对圆过弦AB
(非直径),中点M
的直径垂直于此弦,可得Kom.Kab
1。
那么对于椭圆笃
苕1(a>
b)有
b22
Kom.Kab二,对于双曲线笃
aa
kom・kab
7:
圆锥曲线的相关弦问题(设AB为圆锥曲线C的任意一条不垂直于焦点所在轴的弦,作点A关于焦点所在轴的对称点A,,则称弦A,B与弦AB为一对相关弦)
2222
定理:
设AB为椭圆务与1(a>
b)(双曲线务爲1)的一条不垂直
于x轴的弦,A,B为相关弦。
点Mm,0,(m0)为已定点,则直线AB过定点
Mm,0的充要条件是直线AB过点M'
—,0。
m
设AB为抛物线y22px(p>
0)的任意一条不垂直于对称轴的弦,A,B为相关
弦。
点Mm,0,(m0)为已定点,则直线AB过定点Mm,0的充要条件是直线
A,B过点M,m,0。
推论:
设AB为圆锥曲线C的任意一条不垂直于焦点所在轴的弦,AB为相关弦。
则直线AB过焦点的充要条件是直线AB过对应准线与对称轴的交点。
8定理一:
设点T是椭圆笃爲1(a>
b>
0)上的一点,以T为切点的
椭圆的切线I分别交x轴,y轴于A,B两点,若T点为线段AB的中点,则
2I
AT|-|AF^AF2(其中F「F2分别为椭圆的左右焦点)。
定理二:
设务1(a>
0)总存在以椭圆上点T为切线I,满足T为
两坐标轴截l所得线段的中点。
T(阜,芈),AV2a,0,B0,Qb。
72<
定理三:
设点T是双曲线笃与1(a>
0)上的一点,以T为切点的双
曲线的切线l分别交x轴,y轴于A,B两点。
若A点为线段TB的中点,则
AT『AF』AF2(其中F1,F2分别为双曲线的左右焦点)。
定理四:
设点T是椭圆右寺1(a>
0)上的一点,以T为切点的椭圆
的切线I分别交X轴,y轴于
A,B两点,若点T分有向线段AB的比为,则
AT
21AFiAF2
设点T是双曲线笃
爲1(a>
0)上的一点,以T为切点的双
曲线的切线I分别交x轴,
y轴于A,B两点。
若点T分有向线段AB的比为,
则AT
1|AF1AF2
定理五:
T是圆锥曲线笃
討1上的一点'
以T为切点的双曲线的切线1分别
交X轴,y轴于A,B两点。
若点T分有向线段AB的比为,则
AT『|一|*AFJAF2。
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