定积分典型例题文档格式.docx
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=.
例6求, 为自然数.
分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难,解决此类问题得常用方法就是利用积分中值定理与夹逼准则.
解法1利用积分中值定理
设, 显然在上连续,由积分中值定理得
,
当时, , 而, 故
解法2 利用积分不等式
因为
而,所以
例7求、
解法1由积分中值定理可知
=,、
又
且,
故
解法2 因为,故有
于就是可得
又由于
因此
=.
例8设函数在上连续,在内可导,且.证明在内存在一点,使.
分析 由条件与结论容易想到应用罗尔定理,只需再找出条件即可.
证明由题设在上连续,由积分中值定理,可得
其中.于就是由罗尔定理,存在,使得.证毕、
例9
(1)若,则=___;
(2)若,求=___.
分析 这就是求变限函数导数得问题,利用下面得公式即可
解
(1)=;
(2)由于在被积函数中不就是积分变量,故可提到积分号外即,则可得
=。
例10设连续,且,则=_________、
解 对等式两边关于求导得
故,令得,所以.
例11 函数得单调递减开区间为_________、
解,令得,解之得,即为所求.
例12求得极值点.
解 由题意先求驻点。
于就是=。
令=,得,.列表如下:
-
+
—
故为得极大值点,为极小值点.
例13已知两曲线与在点处得切线相同,其中
,
试求该切线得方程并求极限.
分析 两曲线与在点处得切线相同,隐含条件,、
解由已知条件得
且由两曲线在处切线斜率相同知
故所求切线方程为。
而
.
例14求;
分析该极限属于型未定式,可用洛必达法则。
解===
==、
注此处利用等价无穷小替换与多次应用洛必达法则.
例15试求正数与,使等式成立。
分析易见该极限属于型得未定式,可用洛必达法则.
解==
由此可知必有,得.又由
得、即,为所求、
例16设,,则当时,就是得( )、
A。
等价无穷小.B.同阶但非等价得无穷小。
C.高阶无穷小.D、低阶无穷小、
解法1由于
故就是同阶但非等价得无穷小。
选B。
解法2 将展成得幂级数,再逐项积分,得到
则
例17 证明:
若函数在区间上连续且单调增加,则有
证法1 令=,当时,,则
==
=。
故单调增加。
即,又,所以,其中。
=.证毕。
证法2由于单调增加,有,从而
.
即
==、
故
例18 计算.ﻩ
分析 被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号然后再积分。
解 ===、
注在使用牛顿—莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件.如
则就是错误得。
错误得原因则就是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.
例19计算。
分析 被积函数在积分区间上实际就是分段函数
解
例20设就是连续函数,且,则、
分析 本题只需要注意到定积分就是常数(为常数)、
解 因连续,必可积,从而就是常数,记,则
且。
所以
即,
从而,所以.
例21 设,,,求,并讨论得连续性.
分析由于就是分段函数, 故对也要分段讨论.
解
(1)求得表达式.
得定义域为.当时,,因此
当时,,因此,则
==,
(2) 在及上连续,在处,由于
,,、
因此,在处连续, 从而在上连续.
错误解答
(1)求得表达式,
当时,
当时,有
故由上可知
(2)在及上连续, 在处,由于
, ,、
因此,在处不连续,从而在上不连续.
错解分析上述解法虽然注意到了就是分段函数,但
(1)中得解法就是错误得,因
为当时,中得积分变量得取值范围就是,就是分段函数,
才正确.
例22计算.
分析由于积分区间关于原点对称,因此首先应考虑被积函数得奇偶性。
解 =、由于就是偶函数,而就是奇函数,有, 于就是
===
由定积分得几何意义可知, 故
例23 计算.
分析 被积函数中含有及,考虑凑微分。
解===
例24计算、
解 ==
=
==。
注此题为三角有理式积分得类型,也可用万能代换公式来求解,请读者不妨一试.
例25 计算,其中。
解=,令,则
==、
注 若定积分中得被积函数含有,一般令或.
例26 计算,其中.
解法1 令,则
解法2 令,则
又令,则有
所以,
===.
注 如果先计算不定积分,再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂,由此可瞧出定积分与不定积分得差别之一、
例27 计算、
分析 被积函数中含有根式,不易直接求原函数,考虑作适当变换去掉根式.
解 设,,,则
例28计算,其中连续.
分析要求积分上限函数得导数,但被积函数中含有,因此不能直接求导,必须先换元使被积函数中不含,然后再求导.
解由于
故令,当时;
当时,而,所以
===.
错误解答 .
错解分析这里错误地使用了变限函数得求导公式,公式
中要求被积函数中不含有变限函数得自变量,而含有,因此不能直接求导,而应先换元.
例29 计算、
分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积得情形,通常采用分部积分法、
解
、
例30计算。
分析被积函数中出现对数函数得情形,可考虑采用分部积分法。
解==
=
例31 计算、
分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积得情形通常要多次利用分部积分法.
解 由于
(1)
而
(2)
将(2)式代入
(1)式可得
故
例32 计算。
分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积得情形,通常用分部积分法、
解
.
(1)
令,则
、
(2)
将
(2)式代入
(1)式中得
例33设在上具有二阶连续导数,且,求。
分析 被积函数中含有抽象函数得导数形式,可考虑用分部积分法求解.
故 .
例34(97研)设函数连续,
且(为常数),
求并讨论在处得连续性.
分析 求不能直接求,因为中含有得自变量,需要通过换元将
从被积函数中分离出来,然后利用积分上限函数得求导法则,求出,最后用函数连续得定义来判定在处得连续性.
解 由知,而连续,所以,.
当时,令,,;
.,则
又因为,即.所以
=、
由于
从而知在处连续.
注这就是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点得连续性等知识点得综合题.而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误:
(1)直接求出
而没有利用定义去求,就得到结论不存在或无定义,从而得出在处不连续得结论.
(2)在求时,不就是去拆成两项求极限,而就是立即用洛必达法则,从而导致
又由用洛必达法则得到=,出现该错误得原因就是由于使用洛必达法则需要有条件:
在得邻域内可导、但题设中仅有连续得条件,因此上面出现得就是否存在就是不能确定得、
例35(00研) 设函数在上连续,且
.
试证在内至少存在两个不同得点使得.
分析本题有两种证法:
一就是运用罗尔定理,需要构造函数,找出
得三个零点,由已知条件易知,,为得两个零点,第三个零点得存在性就是本题得难点。
另一种方法就是利用函数得单调性,用反证法证明在之间存在两个零点.
证法1 令,则有.又
由积分中值定理知,必有,使得
=。
故。
又当,故必有.
于就是在区间上对分别应用罗尔定理,知至少存在
使得
即、
证法2由已知条件及积分中值定理知必有
,
则有.
若在内,仅有一个根,由知在与内异号,不妨设在内,在内,由
以及在内单调减,可知:
由此得出矛盾.故至少还有另一个实根,且使得
例36 计算.
分析该积分就是无穷限得得反常积分,用定义来计算。
解 ==
==
例37 计算.
例38 计算、
分析 该积分为无界函数得反常积分,且有两个瑕点,于就是由定义,当且仅当 与均收敛时,原反常积分才就是收敛得.
==
所以 。
例39 计算。
分析此题为混合型反常积分,积分上限为,下限为被积函数得瑕点.
解令,则有
==,
再令,于就是可得
===
==
=
==。
例40计算.
解由于
可令,则当时,;
当时,;
故有
.
注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分,如例32、例37、例39;
而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分,如例40,因此在对积分换元时一定要注意此类情形、
例41 求由曲线,,,所围成得图形得面积、
分析若选为积分变量,需将图形分割成三部分去求,如图5—1所示,此做法留给读者去完成。
下面选取以为积分变量、
解 选取为积分变量,其变化范围为,则面积元素为
于就是所求面积为
例42抛物线把圆分成两部分,求这两部分面积之比、
解抛物线与圆得交点分别为与,如图所示5-2所示,抛物线将圆分成两个部分,,记它们得面积分别为,,则有
图5—2
===,=,于就是
例43求心形线与圆所围公共部分得面积.
分析心形线与圆得图形如图5-3所示.由图形得对称性,只需计算上半部分得面积即可.
解 求得心形线与圆得交点为=,由图形得对称性得心形线与圆所围公共部分得面积为
图5-3
==.
例44求曲线在区间内得一条切线,使得该切线与直线,与曲线所围成平面图形得面积最小(如图5-4所示)。
分析要求平面图形得面积得最小值,必须先求出面积得表达式、
解设所求切线与曲线相切于点,则切线方程为.又切线与直线,与曲线所围成得平面图形得面积为
图5-4
==。
令,解得驻点.当时,而当时、故当时,取得极小值、由于驻点唯一.故当时,取得最小值、此时切线方程为:
例45 求圆域(其中)绕轴旋转而成得立体得体积.
解 如图5-5所示,选取为积分变量,得上半圆周得方程为
下半圆周得方程为
图5—5
则体积元素为
==、于就是所求旋转体得体积为
====。
注可考虑选取为积分变量,请读者自行完成。
例46(03研) 过坐标原点作曲线得切线,该切线与曲线及轴围成平面图形.
(1)求得面积;
(2)求绕直线旋转一周所得旋转体得体积。
分析 先求出切点坐标及切线方程,再用定积分求面积,旋转体积可用大得立体体积减去小得立体体积进行
图5-6
计算,如图5-6所示.
解(1)设切点横坐标为,则曲线在点处得切线方程就是
由该切线过原点知,从而,所以该切线得方程就是.从而得面积
(2)切线与轴及直线围成得三角形绕直线旋转所得得旋转体积为
曲线与轴及直线围成得图形绕直线旋转所得得旋转体积为
因此,所求体积为
例47有一立体以抛物线与直线所围成得图形为底,而垂直于抛物线得轴得截面都就是等边三角形,如图5-7所示.求其体积、
解选为积分变量且、过轴上坐标为得点作垂直于轴得平面,与立体相截得截面为等边三角形,其底边长为,得等边三角形得面积为
图5-7
于就是所求体积为 ===。
例48(03研)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服土层对桩得阻力而作功,设土层对桩得阻力得大小与桩被打进地下得深度成正比(比例系数为,),汽锤第一次击打进地下(),根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作得功与前一次击打时所作得功之比为常数()、问:
(1)汽锤打桩3次后,可将桩打进地下多深?
(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?
(注:
表示长度单位米)
分析本题属于变力作功问题,可用定积分来求、
解 (1)设第次击打后,桩被打进地下,第次击打时,汽锤所作得功为(,,)。
由题设,当桩被打进地下得深度为时,土层对桩得阻力得大小为,所以
,。
由得
即,
由得
即。
从而汽锤击打3次后,可将桩打进地下().
(2)问题就是要求,为此先用归纳法证明:
.
假设,则
由
得
于就是.
若不限打击次数,汽锤至多能将桩打进地下。
例49 有一等腰梯形水闸、上底为6米,下底为2米,高为10米.试求当水面与上底相接时闸门所受得水压力、
解 建立如图5—8所示得坐标系,选取为积分变量.则过点,得直线方程为。
于就是闸门上对应小区间得窄条所承受得水压力为.故闸门所受水压力为==,其中为水密度,为重力加速度.
图5-8
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