八年级数学画相似图形图形与坐标华东师大版知识精讲文档格式.docx
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分析:
本题主要考查位似图形的概念,如果两个图形不仅相似,而且每组对应点的连线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,但位似中心的位置比较自由。
可以是位似图形的一个顶点[如图
(1)所示]可以在位似图形之外[如图
(2)所示],也可以在位似图形之内[如图(3)所示],由位似图形的定义可以判断图(4)、(5)、(6)不是位似图形,事实上,图(4)是图形的旋转,图(5)是图形的反射,图(6)是图形的平移。
解:
由位似图形的概念知,
(1)、
(2)、(3)是位似图形,(4)、(5)、(6)不是位似图形。
例2.下面介绍三种特殊的画相似多边形的方法:
(1)现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍,即新图与原图的相似比为1.5。
我们可以按下列步骤画出图1。
1.任取一点O;
2.以点O为端点作射线OA、OB、OC、…;
3.分别在射线OA、OB、OC、…上取点A’、B’、C’、…,使OA’:
OA=OB’:
OB=OC’:
OC=…=1.5;
4.连结A’B’、B’C’、…,得到所要画的多边形A’B’C’D’E’。
(2)还可以任取一点O,如图2所示,作直线OA、OB、OC、OD,在点O的另一侧取点A’、B’、C’、D’,使OA’:
OC=OD’:
OD=2,也可以得到放大到2倍的四边形A’B’C’D’。
(3)如果把位似中心取在多边形内,那么也可以把一个多边形放大或缩小,而且较为简便。
想一想,还可以把位似中心放在哪里?
方法一:
图1
方法二:
图2
方法三:
图3
小结:
位似中心的位置分三种情况:
(1)位似中心在两图形同侧;
(2)位似中心在两图形之间;
(3)位似中心都在两个图形的内部,特殊位置:
位似中心在原图形的顶点或一边上。
例3.已知,四边形ABCD,如图所示。
画一个四边形
,使四边形
与原图形的相似比为2.5。
解:
要使所画图形与原图形的相似比为2.5,即5:
2,也就是说,新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为5:
2,位似中心可取在图形外(如图
(1)
(2)所示),或图形内(如图(3)所示),或取在一条边上(如图(4)所示),或取在某一顶点上(如图(5)所示)
例4.用直尺画出图中各对位似图形的位似中心。
找两对对应点,取对应点连线的交点,则此交点为位似中心。
二.用坐标来确定位置:
1.在平面直角坐标系中,利用点的坐标可以确定点的位置。
2.建立不同的直角坐标系,选定的坐标单位不同,则各点的坐标也不相同。
3.地图中的经度和纬度表示一个地点在地球上的位置,电影院的座位用几排几座表示等都是坐标表示位置的实际应用。
1.在生产和日常生活中,可以用坐标来确定位置。
例1.夏令营举行野外拉练活动,老师交给大家一张地图,如图所示,地图上画了一个直角坐标系,作为定向标记,给出了四座农舍的坐标是:
(1,2)、(-3,5)、(4,5)、(0,3)。
目的地位于连结第一与第三座农舍的直线和连结第二与第四座农舍的直线的交点,你能在图中画出目的地的位置吗?
根据点的坐标在图中找出四座农舍的位置,依次为A、B、C、D,过A、C作直线,过B、D作直线,两直线的交点就为目的地的位置。
A(1,2)、B(-3,5)、C(4,5)、D(0,3)。
作直线AC、BD交于点P,P点即为目的地位置。
还可借助直线AC与直线BD解析式求P点坐标,也可通过度量近似求P点坐标。
2.以任一点为原点,建立直角坐标系,则可以用坐标来准确地表示点的位置。
例2.如图所示,是某旅游景点的示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度),请以某景点为原点,画出直角坐标系,并用坐标表示下列景点的位置。
分析:
以图中的不同景点为原点,建立的直角坐标系各不相同,则各地的坐标也不相同。
如图所示,选择中心广场为原点,向东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则各景点的坐标分别为:
科技大学(-5,-4)、钟楼(-4,2)、大成殿(-3,-1)、雁塔(-2,4)、中心广场(0,0)、碑林(4,4)、映月湖(4,-3)。
3.用一个角度和距离也可以表示一个点的位置。
例3.张红在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图,试借助刻度尺、量角器解决如下问题:
(1)建立适当的直角坐标系,用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置;
(2)填空:
百鸟园在大门的北偏东___________度的方向上,到大门的图上距离约为_________厘米;
熊猫馆在大门的北偏西___________度的方向上,到大门的图上距离约为__________厘米;
驼峰在大门的南偏东__________度的方向上,到大门的图上距离约为__________cm。
(1)中,我们可以选择任何一个景点为原点,向东方向为x轴的正方向,取0.5cm作为单位长度,建立直角坐标系,用测量的方法写出猴山、驼峰、百鸟园的位置。
(2)中,以大门为射线的端点,向四个景点所在位置作射线,用量角器量出相应角的度数,用刻度尺测量两点间的距离。
(1)情况不一样,自己可以写出坐标;
(2)以大门为射线的端点,向四个景点所在位置作射线,由于测量产生误差,距离略。
给出如下结果:
猴山位于大门北偏西88°
熊猫馆位于大门北偏西45°
百鸟园位于大门北偏东50°
驼峰位于大门东偏南7°
例:
已知边长为4的正方形ABCD,请选用特殊的点作原点,建立平面直角坐标系,写出各顶点的坐标(用两种不同的方法。
)
坐标系的建立有多种方案,但我们总是选取一些特殊的坐标使坐标数字简单,给以后解题带来方便。
方法一:
如图
(1)所示,以一顶点为原点,使其中两点也在坐标轴上,此时各顶点坐标为A(0,0),B(4,0),C(4,4),D(0,4)
方法二:
如图
(2)所示,以正方形的中心为原点使AB、CD与x轴平行,此时各顶点的坐标为A(-2,-2),B(2,-2),C(2,2),D(-2,2)。
三.图形的运动与坐标:
在同一直角坐标系中,图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后,点的坐标存在一定的变化规律。
1.一个图形沿x轴向右(左)平移a个单位之后,图形的各个顶点的纵坐标都没有改变,而横坐标增加(减小)a;
一个图形沿y轴向上(下)平移b个单位之后,图形的各个顶点的横坐标都没有改变,而纵坐标增加(减小)b。
如图所示,△AOB沿x轴向右平移2个单位之后,得到
,三个顶点的坐标有什么变化?
先写出△AOB的三个顶点坐标,平移后每个顶点的位置都发生了变化,写出平移后的
的顶点坐标,并比较变化的规律。
△AOB的顶点的坐标是A(2,4)、O(0,0)、B(4,0),平移之后的
对应顶点的坐标是:
。
则:
△AOB沿x轴向右平移2个单位之后得到的
的各对应顶点的纵坐标不变,横坐标增加了2个单位。
2.一个图形关于x轴的轴对称图形对应顶点的坐标变化规律是:
横坐标不变,纵坐标为其相反数,在x轴上的点的对称点是它本身。
一个图形关于y轴的轴对称图形对应顶点的坐标变化规律是:
点(x,y)的对称点是(-x,y),在y轴上的点的对称点是它本身。
如图所示,△AOB关于x轴的轴对称图形是
,关于y轴的轴对称图形是
,对应顶点的坐标有什么变化?
由于△AOB有两个顶点在x轴上,故△AOB关于x轴对称的三角形O、B两点是其本身,A’和A横坐标相同,纵坐标互为相反数;
易写出△AOB关于y轴的轴对称图形
的坐标。
可以看出
与A,
与B的纵坐标相同,横坐标互为相反数。
△AOB的各顶点坐标是
;
的各顶点坐标是
在直角坐标系中,△AOB关于x轴和y轴的轴对称图形的对应点坐标的变化规律:
(1)关于x轴对称:
横不变纵变;
(2)关于y轴对称:
纵不变横变。
特别是在轴上的点:
关于此轴对称的对称点是其本身。
3.把一个图形放大(缩小)得到一个新的图形,变化后的对应点的横纵坐标的比等于它们的相似比。
(注意:
通常在同一象限内研究有此规律)。
如图所示,表示△AOB和它缩小后得到的△COD、△EOF,观察变化前后三角形顶点的坐标发生了什么变化。
你能求出它们的相似比吗?
把你的想法和你的同学交流。
因为
,则它们的相似比是1:
2,又知A点坐标为(2,4),由相似三角形对应边的比等于相似比,则可求出C点的坐标。
同理可求E点的坐标。
过C作
求得
故
同理可求
将△AOB缩小后得到△COD和△EOF,其对应点的横、纵坐标的比等于相似比。
如
有
[典型例题讲析]
例1.将下图中的△ABC作下列运动,画出相应的图形,指出三个顶点的坐标所发生的变化。
(1)沿y轴正向平移3个单位;
(2)关于x轴对称;
(3)以C点为位似中心,将△ABC放大2倍;
(4)以点C为中心,将△ABC旋转180°
本题考查直角坐标系中的点运动以后的坐标变化规律,解题时,先画出变化后图形,写出变化后点的坐标,发现变化的规律。
如图所示,
(1)沿y轴正向平移3个单位得到
(2)关于x轴对称的
,则
(3)以C点为位似中心,将
放大2倍得到
、
(4)以C为中心,将△ABC旋转180°
得到
例2.某出版社一位编辑在设计一本书的封面时,想把长21cm,宽14cm的长方形纸片划分为四个矩形,其中左上角矩形与右下角矩形相似,以给人一种和谐的感觉,为了明确划分的位置,你能否帮助这位编辑叔叔建立平面直角坐标系来说明划分线的交点坐标,这样的两个矩形是怎样画出来的?
首先建立平面直角坐标系,以矩形的一个顶点为原点,就可表示其他三个顶点的坐标。
我们没有具体的学习四边形相似的认识方法,那就只能根据“对应边成比例,对应角相等”来识别了。
如图所示:
作对角线AC,在AC上根据需要取一点P,过P作EF//BC,GH//AB,显然
所以
这样在矩形AEPG和CHPF就满足对应边成比例,对应角相等,所以这两个矩形相似。
从而交点的坐标就有很多种,可以任写一种。
说明:
对于四边形相似的识别方法并没有具体地学习,那就只可以根据“对应边成比例,对应角相等”来识别了。
矩形AEPG和矩形CHPF相似,P点就可以确定了,但它可在对角线AC的不同位置。
【模拟试题】
(答题时间:
30分钟)
1.相似这种变换是将图形的_________改变,而保持图形的________不变。
2.如图所示,四边形ACDE∽四边形ABHF,则它们的位似中心是____________。
3.如图所示,点D、点E分别是AB、AC边中点,则△_________∽△_______,它们的位似中心是___________,相似比是__________。
4.如图所示中位似的图形是__________(填序号)。
5.已知四边形ABCD,如图所示。
画一个四边形
6.请用位似的方法把下图放大1倍,要求位似中心在AB边上。
7.玩一玩挡光板:
小明学了“位似变换”以后,周末在家做了一个“位似”小实验(如图所示),为了使家中的墙壁上一幅壁画不受太阳光从点O照射,他在壁画与入射光线O之间设置一个长方形障碍,以拦住壁画不受照射,要求使壁画和障碍物成位似图形,相似比为3:
1,请你帮小明画出其位似图形。
8.如图所示,按要求进行位似变换:
(1)将△ABC放大2倍,且位似中心选在△ABC左侧图中黑点处。
(2)将正六边形ABCDEF缩小
倍,且位似中心选在图形的内部图中黑点处。
9.一个矩形如图所示,四边形ABCD的坐标分别为A(-3,1),B(-3,-1),C(-1,-1),D(-1,1)。
(1)写出沿CD翻折后的图形坐标。
(2)绕D点逆时针旋转180°
后的图形坐标。
(3)关于坐标原点O成中心对称的图形的顶点坐标。
(4)把图形再向下平移2个单位得到图形的点坐标。
10.将如图所示中的△ABC作如下运动,画出图形,写出三个顶点变化后的坐标;
(1)沿x轴向右平移4个单位;
(3)以C点为位似中心,缩小0.5倍。
11.如图所示是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图,对我方潜艇来说:
(1)北偏东40°
的方向上有哪些目标?
要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据?
(2)距我方潜艇的图上距离小于1cm的敌舰有几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?
并用已学知识加以说明。
【试题答案】
1.大小;
形状2.A
3.ADE;
ABC;
A;
1:
2
4.①③④
5.图略6.图略
7.图略8.图略
9.
(1)A(1,1),B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1)
(2)A(1,1),B(1,3),C(-1,3),D(-1,1)
(3)A(3,-1),B(3,1),C(1,1),D(1,-1)
(4)A(-3,-1),B(-3,-3),C(-1,-3),D(-1,-1)
10.
(1)图略
A1(7,3),B1(5,-1),C1(9,0);
(2)A2(3,-3),B2(1,1),C2(5,0);
(3)A3(4,1.5),B3(3,-0.5),C3(5,0)
11.
(1)北偏东40°
的方向有敌舰B和小岛两个图标;
要想确定敌舰B的位置,还需知道敌舰B距我方潜艇的距离。
(2)距我方潜艇的图上距离为1cm的敌舰有2艘,敌舰A和敌舰C。
(3)要确定每艘敌舰的位置,需知道两个数据,距离和方位角。
即要确定每艘敌舰的位置,可建立方位坐标。
用方位坐标标出敌舰位置。
如:
敌舰B在我方潜艇北偏东40°
,距离为×
×
cm的地方。
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