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众所周知,生活离不开数学,数学让人受益。
确实,数学不仅是工具,而且是人类文化的一个深刻又强有力的部分。
为了探讨数学之美,数学的文化及艺术价值,以及学习数学的实际意义,我运用多种方式查阅资料。
数学之难或者之美,就在于它的高度抽象。
举个例,小学生学数数,1,2,3......这个数的发明,来自人类经历了漫长岁月,从各类纷繁复杂中抽象出共通的概念。
世界上没有一个叫“1”的东西,但是“1”能附属任何一种事物,单单想想这个,就能感觉出数字简洁明快的美。
不仅去图书馆借阅与数学相关的文献,还在电子阅览室上网查阅相关内容,最终将收集到的资料径整理写成论文。
通过深层次的探讨,可以了解到数学之美及数学的各种价值等等,当然也能够激发个人的学习兴趣,从而努力奋斗,认真学习,为今后的发展奠定较坚实的基础
2、数学之美
著名数学家陈省身先生不止一次的提出:
”数学的美体现在方方面面,也许美在她是探求时间现象规律的出发点,也许美在她用几个字母符号就能表示若干信息的简单明了,也许美在她大胆假设和严格论证的伟大结合,也许美在她对一个问题论证时殊途同归的奇妙感受,也许美在数学家耗尽终身论证定理的锲而不舍,也许美在她在几乎所有学科中的广泛应用。
而美的数学,在自古崇尚诗书传世的中国,竟也浸染着扑鼻的书香。
中国悠久历史所积淀出来的文学底蕴,为中国的数学染上了一层夺目的别样的颜色,这就是数学的风采。
(1)自然美
刘缌《文心雕龙》以为文章之可贵,在尚自然。
文章是反映生活的一面镜子,脱离生活的文学是空洞的,没有任何用处。
数学也是这样。
数学存在的意义,在于理性的解释自然界的一些现象规律,帮助人们认识自然,改造自然。
可以这样说,数学是取诸生活而用诸生活的。
数学最早的起源,大概来自古代人们的结绳记事,一个一个的绳扣,把数学的根和生活从一开始就牢牢地系在了一起。
后来出现的计数法,是牲畜养殖或商品买卖的需要,古代的几何学产生,是为了丈量土地。
中国古代的众多数学著作(如:
《九章算术》)中,几乎全是对于某个具体问题的探究和推理。
在中国,数学源于生活,在国外,历代数学家也都宗法自然。
阿基米德的数学成果,都用于当时的军事,、建筑、工程等众多的科学领域,牛顿见物象而思考数学之所出,即有微积分的创作。
费尔马和尤拉对变分法的开创性发明也是有探索自然界的现象而引起的。
(2)简洁之美
世事再纷繁,
加减乘除算尽;
宇宙虽广大,
点线面体包完。
这首诗,用字不多,却到位的概括出了数学的简洁明了,微言大义。
数学和诗歌一样,有着独特的简洁美。
诗歌的简洁,众所周知——着寥寥几字,却为读者创造出了广阔的想象空间,这大概正是诗歌的魅力所在。
美国著名心理学家布隆菲尔德说:
“数学是语言所能达到的最高境界。
”如果说,诗歌的简洁,是写意的,是欲言还休的,是中国水墨画中的留白,那么数学语言的微言大义,则是写实的,更简洁明确、抽象规范的,是严谨的科学态度的体现。
剩下的简洁,不仅使人们更快、更准确的把握理论的精髓,促进自身学学科的发展,也使数学学科具有了很强的通用性。
目前,数学作为自然科学的语言和工具,已经成了所有科学——包括社会科学在内的语言和工具。
最为典型的例子,莫过于二进制咋计算机领域的应用。
试想,任何一个复杂的概念,都被翻译作明确的01数字串,这是多么伟大的一个构想。
可以说没有数学的简化,就没有现在这个互联网四通八达、信息技术飞速发展的时代。
(3)对称美
中国文学讲究对称,这点可以从历时百年的楹联文化中窥见一斑。
而更胜一筹的对称,就是回文了。
苏轼有一首著名的骑驴《游金山寺》,便是这方面的上乘之作:
《游金山寺》
潮随暗浪雪山倾,远浦渔舟钓明月。
桥对寺门松径小,槛当泉眼石波清。
迢迢绿树江天晓,霭霭红霞晚日晴。
遥望四边云接水,碧峰千点数鸥轻。
不难看出,把它倒转过来,仍然是一首完整的七律诗:
轻鸥数点千碧峰,水接云边四望遥。
晴日晚霞红霭霭,晓天江树绿迢迢。
清波石眼泉当槛,小径松门寺对桥。
月明钓舟浦渔远,倾山雪浪暗随潮。
这首回文诗无论是顺读或是倒读,都是情景交融、清新可读的好诗。
类似的又如“香莲碧水东风凉,水动风凉夏日长。
长日夏凉风动水,凉风动水碧莲香”。
这些诗凭着精巧的构思,给人以奇妙的感受,每每读之,读者都会暗自叫绝。
而数学中的现象,也不乏这样的回文现象,如:
12x12=144,21x21=441;
13x13=169,31x31=961;
102x102=10404,201x201=40401;
103x103=10609,301x301=90601;
9+5+4=8+7+3,92+52+42=82+72+32
而数学中更为一般的对称,则体现在函数图像的对称和几何图形上。
前者带我们探求函数的性质提供了方便,后者则运用在建筑、美术领域后给人以无穷的美感。
(4)悬念美
文学中的小说以设置悬念见长,在开头先抛出一个引人入胜的画面、出人意表的事件、叫人揪心的矛盾、令人关注的悬念、令人发省的问题,然后一步步去描写,讲述、展开、解答、思考;
或者在最后留下一个无结局、无断论、无答案、无重点的结尾,让读者自己去想象、去求证、去追问、去体验。
照米兰昆德拉的说法:
小说家的才智就是把一切肯定变成疑问,教读者把世界当成问题来理解。
这种现象,在数学中绝非少见。
许多数学问题都是从一个看不出任何端倪的方程式开始,运用各种方法,一步步求解,最终得出一个清楚明白的答案。
而数学的乐趣,在于人们抱着探求事实真相的态度,满怀好奇的求解过程和最终真相大白时的快感。
这一点,和人们读悬疑小说所产生的感觉是相似的,难怪有人啊说,世界本身就是个未知数,而文学本身就是探索世界之谜的方程式。
(4)意象美
是关于数学之间最终深刻的关系莫过于数学概念或意象与诗歌的结合。
七八个星天外,两三点雨山前。
(辛弃疾)
一去二三里,烟村四五家。
亭台六七座,八九十枝花。
(邵雍)
一别之后,二地相悬,只说三四月,又谁知五六年,七弦琴无心抚弹,八行书无信可传,九连环从中折断,十里长亭我望眼欲穿,百思想,千系念,万般无奈叫丫环。
万语千言把郎怨,百无聊赖,十依阑干,九九重阳看孤雁,八月中秋月圆人不圆,七月半烧香点烛祭祖问苍天,六月伏天人人摇扇我心寒,五月石榴如火偏遇阵阵冷遇浇花端,四月枇杷未黄我梳妆懒,三月桃花又被风吹散!
郎呀郎,巴不得来世你为女来我为男。
(卓文君)
读上面这首诗,每个人都能明显感到,诗的意境全来自那几个数词,无论是数词的单个应用,重复应用,抑或是循环使用,看似毫无感染力的数词竟也都能表现出或寂寥,或恬淡,或忧伤的思想感情。
在国外,中世纪欧洲两个最伟大的诗人——但丁和乔叟的作品也无不充满着数学知识。
17世纪,英国著名形而上学诗人约翰多恩和安德鲁马佛尔,通过圆规、欧氏几何中的平行线之类的数学概念来类比爱情。
后者的《爱的定义》尤为有趣:
像直线一样,爱也是倾斜的
它们能够相交在每个角度
但我们的爱确实是平行
尽管无限,却永不相遇
爱情,向来是难以用语言来表达清楚的一个名词。
作者用读者都熟悉的平行线,借助数学丰富的意象,巧妙地向读者准确地传达了自己的意思。
(6)逻辑美
提起逻辑,就不能不提中国四大名著之一的《红楼梦》。
复杂的人物关系,缜密的故事情节,引得至今仍有大量的学者终生考证,乐此不疲。
《红楼梦》迷人之处在于有卷初一首诗开始,章回紧扣地发展下来。
优美的数学也是在一个宏观的概念之下,经由严谨的论证,简单有力的表达出来。
数学规律就如《红楼梦》,由一些基本定理出发,雅洁、鲜明地表达出来。
大多数的数学论文都是艰涩难懂,有些却能令人流连在三。
牛顿三大定律,非常简单,但可以解释非常复杂的现象,如天体运行的规律。
这就是数学家的口味,不够严谨,经不起推敲,就不入法眼。
数学和文学作品不但同样讲究严谨的逻辑论证,还同样遵守从局部结构发展到大范围结构的发展规律。
同文学作品极为相似的是,从结局结构发展到大范围结构也是近代数学发展的过程。
文学的局部到大范围,往往通过比兴的手法来访处理:
即对事物有不同感受,同一事或同一物可以产生不同的吟脉。
对事物有不同的感受后,往往通过比兴的方法另有所指,例如“美人”有多重意思,除了指美丽的女子外,也可以指君主。
屈原《九章》:
“结微情以陈词兮,矫以遗夫美人。
”也可以指品德美好的人,《诗经》:
“云谁之思,西方美人。
”苏轼《赤壁赋》:
“望美人兮天一方。
”而几何学和数论都有着一段历史,代数几何学家在研究奇异点时通过爆炸的手段,有如将整个世界浓缩在一点。
微分几何和广义相对论所见到的奇异点比代数流行复杂,但也希望从局部开始,逐渐了解整体结构。
数学专家研究局部结构时则通过素数的模方法,将算术流行变成有限域上的几何,然后和大范围的算术几何作对比,得出丰富的结果。
此外,数学家对于某些重要的定理,也会提出很多不同的证明。
例如勾股定理的不同证明有10个以上,等周不等式亦有五六个证明,高斯则给出数论对偶定定律的6个不同看法。
不同的证明让我们一不同的发展。
着也可以算是局部到大范围的一个例子。
总之,数学并不像有些人认为的那般枯燥乏味,它不是定理公式的积累,而是一种美的学科。
也许,用某网友的一篇《沁园春数学》来总结一下再合适不过了:
《沁园春数学》
数苑飘香,千载繁荣,拜师流芳。
读《九章算术》,何其精彩,《几何原本》,意味深长;
复变函数,概统理论,壮阔雄奇涌大江;
逢盛世,趁春明日暖,好学轩昂。
难题四处飞扬,引无数英才细参详;
仰枷罗华氏,煌煌群论,陈氏定理,笑傲万方;
一代天骄,A怀尔斯,求证费马破天荒;
微昂首,看数学发展,无可限量!
还记得一天,我收到朋友发来的一个小文件——“数学之美”,一看,我就被吸引了。
1×
8+1=9
12×
8+2=98
123×
8+3=987
1234×
8+4=9876
12345×
8+5=98765
123456×
8+6=987654
1234567×
8+7=9876543
12345678×
8+8=98765432
123456789×
8+9=987654321
很神奇吧。
还有呢。
9+2=11
9+3=111
9+4=1111
1224×
9+5=11111
9+6=111111
9+7=1111111
9+8=11111111
9+9=111111111
9+10=1111111111
再来一个!
9×
9+7=88
98×
9+6=888
987×
9+5=8888
9876×
9+4=88888
98765×
9+3=888888
987654×
9+2=8888888
9876543×
9+1=88888888
98765432×
9+0=888888888
数学之美真的很酷、很炫啊!
1=1
11×
11=121
111×
111=12321
1111×
1111=1234321
11111×
11111=123454321
111111×
111111=12345654321
1111111×
1111111=1234567654321
11111111×
11111111=123456787654321
111111111×
111111111=12345678987654321
继续看下去,令人心旷神怡,自然的规律,纯粹的规律,简直完美无缺,真的让人怀疑,这个世界是不是事先被设计好的,还有多少这样的规律,这样无可改变的规律,在左右着我们的生活,而我们自己也许因为无知,却丝毫没有察觉呢?
它提了一个问题:
什么是100%?
它没有回答这个问题,而是把这个问题引向了更加现实的领域:
我们的付出,我们的拥有,我们成功的可能。
那么,这些现实中的概念,如何落实到与100%有关的“数学之美”呢?
它给了一个计算的方案。
假设:
A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T、U、V、W、X、Y、Z,一共26个英文字母,依次分别代表数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26(即,A=1、B=2、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7、H=8、I=09、J=10、K=11、L=12、M=13、N=14、O=15、P=16、Q=17、R=18、S=19、T=20、U=21、V=22、W=23、X=24、Y=25、Z=26),那么,“数学之美”又会给我们带来怎样的神奇呢?
请继续看——
Workhard意思是努力工作。
把它每个字母代表的数字加起来,你成功的希望是:
23+15+18+11+8+1+18+4=98%;
Knowledge的意思是知识。
11+14+15+23+12+5+4+7+5=96%;
Attitude的意思是态度。
1+20+20+9+20+21+4+5=100%;
看到这里,我真的要佩服这个玩数字游戏的人,居然能从数字中找到这样神奇的暗示。
它仿佛用另一种数字化精确的方式,解读着我们过去听到过的一系列名言,关于天才、关于学习、关于知识,关于刻苦、关于付出,关于我们的精神状态。
例如“书山有路勤为径,学海无涯苦作舟”,“1%的天才加99%的汗水”,“态度决定一切”。
难道真理就是这样殊途同归地存在着吗?
这难道是另一个“数字化生存”的神秘启示?
我们不禁真的要心悦诚服了。
在这个“数学之美”的最后,作者给出了一个更加令人感到神奇的结论。
LoveofGod意思是“上帝之爱”。
12+15+22+5+15+6+7+15+4=101%!
“数学之美”最后写道:
“因此,我们从以上数学运算得到一个确定的结论,那就是:
努力工作和知识,只能让你接近目标,而态度能让你达成目标。
惟有上帝的爱,能让你超越巅峰。
“数学之美”这个文件,到这里结束了。
我知道,它不是我朋友自己做的,应该是他从什么地方得到了这个文件,然而传给我和其他人一起分享。
我也是到了最后才发现,这个充满数字神奇的小文件,目的是宣扬对上帝的信仰。
虽然我对信仰上帝素无兴趣,但是,经过它这样的渲染,我也不由得心头一震:
难道这是真的?
如果它是真的,我以往对待上帝的态度是否值得好好反思一下?
不该对上帝那么不敬?
我相信,很多人都会很自然地产生这样的想法。
我突然意识到:
我被骗了!
我被这个“数学之美”玩弄的花招给骗了!
“数学之美”像很多骗术一样,先用精彩的、确凿无疑的事实吸引你,将你的思维彻底导入它预设的轨道,让你对它心悦诚服。
这是所有骗子的第一步。
要实现这个第一步,还真需要点真本事。
在这个骗局中,它的真本事就是它神奇的、精致的数学之美。
真难为它辛辛苦苦为我们整理了那么精彩的数学之美妙。
但是,它要达成他自己的目标。
这个目标由它事先设计好的路线,将人们的思维引入它的圈套。
在最终结果面前,我像最初一样,放弃了自己的思维,让它代替了自己的思考,于是,我在恍惚中,似乎即将接受它那确定无疑的结论——那可是数学精确运算的结果啊!
于是,我们真的希望自己能够得到上帝之爱。
而且,为何我们只能workhard(努力工作),而不能workveryhard(非常努力地工作)?
如果我们“非常努力地工作”,别说可以超越101%,超越好几个巅峰都可以。
不信,你自己算算,168%!
那么,谁更能让我超越巅峰?
于是,我兴趣盎然地,按照“数学之美”给我的计算方式,重新作了一些数学运算,结果真的让我很开心,我决定将我开心地成果,继续与大家分享。
如果LoveofGod(上帝之爱)=101%
LoveofPeople(人民之爱)=144%。
数学之美真是太神奇了!
只要我自己稍微动一动脑子,只要我不是把自己的思考交给上帝,我立即就会发现,数学真的是很美。
3、我们为什么要学数学?
不知道有没有人认真思考过这个问题,我是稀里糊涂读到大学才明白点的。
前面提到,真正进入数学理论研究领域最终寥寥无几,有些人也极端讲过,长大了,又没有谁会需要用函数来买菜,可见数学不好也没什么,基本上生活中用不到嘛。
数学,我们学的应该是一种严谨的思维,一种观念。
大家耳熟能详的哥德巴赫猜想,这个猜测是归纳法,是根据观察的结果产生的,至今不能证明,也不能驳倒。
在数学领域,不能被证明就不能形成公理。
而我们生活中,处处充满猜测,太多的事无法证明,如果能吸取点数学的思维方法,不仅能帮我们清晰扑捉问题的本质,不被细节干扰。
而且,也能培养出一些谦逊,看问题不会那么独断。
不说那些理论了,举个例,比如某人在工作单位没获升职,他开始猜测一定是某某在领导面前说了自己坏话,而现实中确实也有这方面的迹象支持他的猜测。
于是,他便对与此猜测相反的迹象视而不见,笃定地相信自己的判断,从不怀疑,坚持到底。
虽然我们可以从性格上心理学角度去分析这个事件,但是,如果他稍微有点数学思维,知道猜测不能被证明即不能认定,那么,或许他能跳出自己的猜测寻找相反的迹象了。
缺乏数学思维的人,一般非常憎恶严格的思维检查,特别喜欢玩弄些模糊的概念。
在网络上,现实中,崇尚感觉型的人,往往缺乏数学思维,喜欢把一些无关的个人因素拉进问题中。
中国的数学成绩好的学生或学理工科的,不一定有数学思维。
暑假看了一位很红的理科状元大谈提高高考成绩心得,还出了书,名字我就不提了。
看了他的技巧演示,那叫一个汗哪,数学能学成那样,还得了状元称号,不由感慨我国的数学教育,这么多年,还是没多少进步。
我一直觉得,如果你把函数真学懂了,对已知和未知的依存关系就会特别敏感,社会上的许多看似纷繁复杂的事件,在你眼里就能看到关键因素,形成函数式。
4、数学的价值
数学一直是人类文明发展的主要文化力量,同时人类文化的发展又极大地影响了数学的进步;
(1).数学文化的含义
《辞海》文化条:
指人类在社会历史实践中所创造的物质财富和精神财富的总和。
文化体现社会的某种价值取向,无形的规范着人们的行动。
关于文化的定义,不管学术界的各抒己见,归根结底人类创造出来的文化形式只有彻底溶与人们的生活,它才是真正成熟的文化。
数学是研究空间形式和数量关系的科学。
它的内容、思想、方法和语言已成为文化的重要组成部分。
数学的观念,如推理意识、划归意识、整体意识、抽象意识、数学审美意识等也具有精神领域的功效,它蕴含着深厚的人文精神,具有特殊的文化内涵。
(2).数学与文化素质
数学使人精微,数学使人形成的科学的思维品质,在以后的学习和工作中都会起到重要的作用。
大科学家牛顿、爱因斯坦,他们能够作出巨大的贡献,这和他们同时具有精湛的数学知识和高超的数学素质是分不开的。
柏拉图(Plato)曾在他的哲学学校门口张榜声明,不懂几何学的人不要进他的哲学学校。
他学校里的所学的课程与几何知识没有多大的关系,柏拉图之所以要求他的弟子通晓几何学,只是因为数学精神和数学思想是重要的文化素质。
数学的思维,数学所形成的科学素质,体现了数学文化的丰富内涵。
(3).数学与人文精神
数学在提高思维素养的意义上,对完善人的精神品格,比其它的学科的作用显得更为突出。
数学的严格规范,对于形成严肃认真、踏实细微、团结协作、遵纪守法的良好作风,起着潜移默化的作用。
利用数学美、图形美、符号美、奇异美对学生进行心灵美、行为美、语言美、科学美教育。
使学生在学习和解题时,学会沉着、严谨的处事品格,形成独立创新的意识。
从数学的发展史观上领会辩证唯物主义和历史唯物主义。
让学生在接受科学家在科学领域的杰出贡献过程中,吸取其科学献身精神,有利于增强学科学爱科学的理想和信念,以及培养坚韧不拔的毅力。
说道科学献身精神,不妨提到18世纪法国女数学家索非热尔曼(SophieGermain),为了学习数学女扮男装,由于她的勤奋学习,在巴黎综合工科学校深得当时的数学教师拉格朗日的喜欢,并从此准许他学习数学。
正因为他热爱数学并且刻苦钻研,使她取得了第一次对费马大定理部分给予证明的优秀成果。
(4).数学史与文化
数学的发展史就是一部文化史,其中充满着可歌可泣的故事和妙趣横生的传说。
现行的全日制普通高级中学教科书(试验修订本必修)《数学》中就把数学史吸纳进来了。
例如,第一册(上)数列中,就介绍了古代印度关于国际象棋的动人传说,既增强了学生的学习兴趣,又使学生对数列求和有了一个初步的印象。
在讲方程时,不妨介绍丢番图(Diophantus,公元3世纪)之墓志铭:
丢番享年几何?
坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它真实的记录了他所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一,又过十二分之一两夹长胡,再过七分之一点燃起结婚的蜡烛,五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入了冰冷的坟墓。
悲伤只有用算术的研究去弥补,又过四年,他走完了人生的旅途。
这种既有数学传说,又诗文并茂的题目,一定会增强学生学习数学的兴趣,调动学生研究数学的积极性。
(5).数学
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