尖子生专训3相交线平行线含答案文档格式.docx
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∠AHB的数量关系.
(1)如图1,∵MN∥PQ,∴∠MAG=∠BDG,∵∠AGB是△BDG的外角,BG⊥AD,
∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°
,∴∠MAG+∠PBG=90°
(2)2∠AHB﹣∠CBG=90°
或2∠AHB+∠CBG=90°
,证明:
①如图,当点C在AG上时,
∵MN∥PQ,∴∠MAC=∠BDC,∵∠ACB是△BCD的外角,∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC,
∵AH平分∠MAC,BH平分∠DBC,∴∠MAC=2∠MAH,∠DBC=2∠DBH,∴∠ACB=2(∠MAH+∠DBH),
同理可得,∠AHB=∠MAH+∠DBH,∴∠ACB=2(∠MAH+∠DBH)=2∠AHB,
又∵∠ACB是△BCG的外角,∴∠ACB=∠CBG+90°
,∴2∠AHB=∠CBG+90°
,即2∠AHB﹣∠CBG=90°
②如图,当点C在DG上时,
同理可得,∠ACB=2∠AHB,又∵Rt△BCG中,∠ACB=90°
﹣∠CBG,∴2∠AHB=90°
﹣∠CBG,即2∠AHB+∠CBG=90°
(3)
(2)中的结论不成立.存在:
2∠AHB+∠CBG=270°
2∠AHB﹣∠CBG=270°
.
①如图,当点C在AG上时,由MN∥PQ,可得:
∠ACB=360°
﹣∠MAC﹣∠PBC=360°
﹣2(∠MAH+∠PBH),∠AHB=∠MAH+∠PBH,
∴∠ACB=360°
﹣2∠AHB,又∵∠ACB是△BCG的外角,∴∠ACB=90°
+∠CBG,∴360°
﹣2∠AHB=90°
+∠CBG,
即2∠AHB+∠CBG=270°
②如图,当C在DG上时,
同理可得,∠ACB=360°
﹣2∠AHB,又∵Rt△BCG中,∠ACB=90°
﹣∠CBG,∴360°
﹣∠CBG,
∴2∠AHB﹣∠CBG=270°
3.“一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯.如图1所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度,灯B转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的,即PQ∥MN,且∠BAM:
∠BAN=2:
1.
(1)填空:
∠BAN= 60 °
(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前,A灯转动几秒,两灯互相平行?
(3)如图2,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120°
,则在转动过程中,请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化?
若改变,请说明理由.
(1)∵∠BAM+∠BAN=180°
,∠BAM:
1,∴∠BAN=180°
×
=60°
,故答案为:
60;
①当0<t<90时,如图1,
∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD∴2t=1•(30+t),解得t=30;
②当90<t<150时,如图2,
∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°
,∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•(30+t)+(2t﹣180)=180,解得t=110,综上所述,当t=30秒或110秒时,两灯的光束互相平行;
(3)∠BAC和∠BCD关系不会变化.理由:
设灯A射线转动时间为t秒,
﹣2t,∴∠BAC=60°
﹣2t)=2t﹣120°
,又∵∠ABC=120°
﹣t,
∴∠BCA=180°
﹣∠ABC﹣∠BAC=180°
﹣t,而∠ACD=120°
,∴∠BCD=120°
﹣∠BCA=120°
﹣t)=t﹣60°
,
∴∠BAC:
∠BCD=2:
1,即∠BAC=2∠BCD,∴∠BAC和∠BCD关系不会变化.
4.如图1所示,已知BC∥OA,∠B=∠A=120°
(1)说明OB∥AC成立的理由.
(2)如图2所示,若点E,F在BC上,且∠FOC=∠AOC,OE平分∠BOF,求∠EOC的度数.
(3)在
(2)的条件下,若左右平移AC,如图3所示,那么∠OCB:
∠OFB的比值是否随之发生变化?
若变化,请说明理由;
若不变,请求出这个比值.
(4)在(3)的条件下,当∠OEB=∠OCA时,求∠OCA的度数.
(1)∵BC∥OA,∴∠B+∠O=180°
,∴∠O=180°
﹣∠B=60°
,而∠A=120°
,∴∠A+∠O=180°
,∴OB∥AC;
(2)∵OE平分∠BOF,∴∠BOE=∠FOE,而∠FOC=∠AOC,∴∠EOF+∠COF=
∠AOB=
60°
=30°
,即∠EOC=30°
(3)比值不改变.∵BC∥OA,∴∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF,∵∠FOC=∠AOC,∴∠AOF=2∠AOC,∴∠OFB=2∠OCB,即∠OCB:
∠OFB的值为1:
2;
(4)设∠AOC的度数为x,则∠OFB=2x,
∵∠OEB=∠AOE,∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°
+x,而∠OCA=180°
﹣∠AOC﹣∠A=180°
﹣x﹣120°
﹣x,
∵∠OEB=∠OCA,∴30°
+x=60°
﹣x,解得x=15°
,∴∠OCA=60°
﹣x=60°
﹣15°
=45°
5.已知,直线AB∥DC,点P为平面上一点,连接AP与CP.
(1)如图1,点P在直线AB、CD之间,当∠BAP=60°
,∠DCP=20°
时,求∠APC.
(2)如图2,点P在直线AB、CD之间,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,点P落在CD外,∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,∠AKC与∠APC有何数量关系?
(1)如图1,过P作PE∥AB,
∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°
+20°
=80°
(2)∠AKC=
∠APC.理由:
如图2,过K作KE∥AB,
∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,
过P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,
∴∠BAK+∠DCK=
∠BAP+
∠DCP=
(∠BAP+∠DCP)=
∠APC,∴∠AKC=
∠APC;
(3)∠AKC=
∠APC.
理由:
如图3,过K作KE∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,
∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK,过P作PF∥AB,
同理可得,∠APC=∠BAP﹣∠DCP,∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K,
∴∠BAK﹣∠DCK=
∠BAP﹣
(∠BAP﹣∠DCP)=
6.如图,已知AM∥BN,∠A=60°
.点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数;
(2)当点P运动时,∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化?
若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;
若变化,请写出变化规律.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,∠ABC的度数是 30°
.
(1)∵AM∥BN,∴∠A+∠ABN=180°
,∵∠A=60°
,∴∠ABN=120°
,∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN,
∴∠CBP=
∠ABP,∠DBP=
∠NBP,∴∠CBD=
∠ABN=60°
(2)不变化,∠APB=2∠ADB,
证明:
∵AM∥BN,∴∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN,又∵BD平分∠PBN,∴∠PBN=2∠DBN,∴∠APB=2∠ADB;
(3)∵AD∥BN,∴∠ACB=∠CBN,又∵∠ACB=∠ABD,∴∠CBN=∠ABD,∴∠ABC=∠DBN,
由
(1)可得,∠CBD=60°
,∠ABN=120°
,∴∠ABC=
(120°
﹣60°
)=30°
30°
7.数学思考:
(1)如图1,已知AB∥CD,探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系,并证明你的结论
推广延伸:
(2)①如图2,已知AA1∥BA1,请你猜想∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、∠A3的关系,并证明你的猜想;
②如图3,已知AA1∥BAn,直接写出∠A1,∠B1,∠B2,∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系
拓展应用:
(3)①如图4所示,若AB∥EF,用含α,β,γ的式子表示x,应为 B
A.180°
+α+β﹣γB.180°
﹣α﹣γ+β C.β+γ﹣α D.α+β+γ
②如图5,AB∥CD,且∠AFE=40°
,∠FGH=90°
,∠HMN=30°
,∠CNP=50°
,请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是 30°
(1)证明:
如图1,过点P作OP∥AB,
∵AB∥CD,∴OP∥AB∥CD,∴∠1=∠PAB,∠2=∠PCD,∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD,即∠APC=∠PAB+∠PCD;
(2)①如图2,过点A2作A2O∥AA1,
由
(1)可知∠B1=∠A1+∠1,∠B2=∠2+∠A3,所以,∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3;
②如图3,由①可知:
∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1;
(3)①如图4,过∠x的顶点作CD∥AB,则∠x=(180°
﹣α)+(β﹣γ)=180°
﹣α﹣γ+β,
②如图5,由
(1)可知,40°
+∠GHM+50°
=∠G+∠M,∵∠G=90°
,∠M=30°
,∴∠GHM=90°
+30°
﹣40°
﹣50°
故答案为:
B;
8.已知直线AB∥CD.
(1)如图1,直接写出∠ABE,∠CDE和∠BED之间的数量关系是 ∠ABE+∠CDE=∠BED .
(2)如图2,BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系?
请说明理由.
(3)如图3,点E在直线BD的右侧,BF,DF仍平分∠ABE,∠CDE,请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 2∠BFD+∠BED=360°
(1)∠ABE+∠CDE=∠BED.
如图1,作EF∥AB,∵直线AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠ABE=∠1,∠CDE=∠2,∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED,
即∠ABE+∠CDE=∠BED.故答案为:
∠ABE+∠CDE=∠BED.
(2)∠BFD=
∠BED.
如图2,∵BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,∴∠ABF=
∠ABE,∠CDF=
∠CDE,
∴∠ABF+∠CDF=
∠ABE+
∠CDE=
(∠ABE+∠CDE),
由
(1),可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=
(∠ABE+∠CDE)∠BED=∠ABE+∠CDE,∴∠BFD=
(3)2∠BFD+∠BED=360°
如图3,过点E作EG∥CD,,∵AB∥CD,EG∥CD,∴AB∥CD∥EG,
∴∠ABE+∠BEG=180°
,∠CDE+∠DEG=180°
,∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°
由
(1)知,∠BFD=∠ABF+∠CDF,又∵BF,DF分别平分∠ABE,∠CDE,
∴∠ABF=
∠CDE,∴∠BFD=
(∠ABE+∠CDE),∴2∠BFD+∠BED=360°
2∠BFD+∠BED=360°
9.已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ∠A+∠C=90°
;
(2)如图2,过点B作BD⊥AM于点D,求证:
∠ABD=∠C;
(3)如图3,在
(2)问的条件下,点E、F在DM上,连接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°
,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
解:
(1)如图1,∵AM∥CN,∴∠C=∠AOB,∵AB⊥BC,∴∠A+∠AOB=90°
,∴∠A+∠C=90°
(2)如图2,过点B作BG∥DM,
∵BD⊥AM,∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°
,又∵AB⊥BC,∴∠CBG+∠ABG=90°
,∴∠ABD=∠CBG,
∵AM∥CN,BG∥AM,∴CN∥BG,∴∠C=∠CBG,∴∠ABD=∠C;
(3)如图3,过点B作BG∥DM,
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,由
(2)可得∠ABD=∠CBG,
∴∠ABF=∠GBF,设∠DBE=α,∠ABF=β,则∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,
∴∠AFC=3α+β,∵∠AFC+∠NCF=180°
,∠FCB+∠NCF=180°
,∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°
,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°
,①
由AB⊥BC,可得β+β+2α=90°
,②
由①②联立方程组,解得α=15°
,∴∠ABE=15°
,∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°
+90°
=105°
10.已知直线l1∥l2,直线l3和直线l1、l2交于点C和D,点P是直线l3上一动点
(1)如图1,当点P在线段CD上运动时,∠PAC,∠APB,∠PBD之间存在什么数量关系?
(2)当点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合,如图2和图3),上述
(1)中的结论是否还成立?
若不成立,请直接写出∠PAC,∠APB,∠PBD之间的数量关系,不必写理由.
(1)∠APB=∠PAC+∠PBD,如图1,过点P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC∵l1∥l2,∴PE∥l2,
∴∠BPE=∠PBD,∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD,∴∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)不成立,
如图2:
∠PAC=∠APB+∠PBD,理由:
过点P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC,∵l1∥l2,∴PE∥l2,
∴∠BPE=∠PBD,∵∠APB=∠APE﹣∠BPE=∠PAC﹣∠PBD,∴∠PAC=∠APB+∠PBD;
如图3:
∠PBD=∠PAC+∠APB,
过点P作PE∥l1,∴∠APE=∠PAC,∵l1∥l2,∴PE∥l2,∴∠BPE=∠PBD,
∵APB=∠BPE﹣∠APE=∠PBD﹣∠PAC,∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
11.已知,∠AOB=90°
,点C在射线OA上,CD∥OE.
(1)如图1,若∠OCD=120°
,求∠BOE的度数;
(2)把“∠AOB=90°
”改为“∠AOB=120°
”,射线OE沿射线OB平移,得O′E,其他条件不变,(如图2所示),探究∠OCD、∠BO′E的数量关系;
(3)在
(2)的条件下,作PO′⊥OB垂足为O′,与∠OCD的平分线CP交于点P,若∠BO′E=α,请用含α的式子表示∠CPO′(请直接写出答案).
(1)∵CD∥OE,∴∠AOE=∠OCD=120°
,∴∠BOE=360°
﹣90°
﹣120°
=150°
(2)如图2,过O点作OF∥CD,
∵CD∥OE,∴OF∥OE,∴∠AOF=180°
﹣∠OCD,∠BOF=∠EO′O=180°
﹣∠BO′E,
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°
﹣∠OCD+180°
﹣∠BO′E=360°
﹣(∠OCD+∠BO′E)=120°
,∴∠OCD+∠BO′E=240°
(3)∵CP是∠OCD的平分线,
∴∠OCP=
∠OCD,∴∠CPO′=360°
﹣∠OCP=150°
﹣
∠OCD=150°
(240°
﹣∠BO′E)=30°
+
α.
12.探究:
如图①,已知直线l1∥l2,直线l3和l1,l2分别交于点C和D,直线l3上有一点P.
(1)若点P在C、D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD之间有怎样的关系?
并说明理由.
(2)若点P在C、D两点的外侧运动时(点P与点C、D不重合),请尝试自己画图,写出∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并说明理由.
(3)如图②,AB∥EF,∠C=90°
,我们可以用类似的方法求出∠α、∠β、∠γ之间的关系,请直接写出∠α、∠β、∠γ之间的关系.
(1)如图①,当P点在C、D之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD.
理由如下:
过点P作PE∥l1,
∵l1∥l2,∴PE∥l2∥l1,∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD;
(2)如图甲,当点P在C、D两点的外侧运动,且在l1上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB.
∵l1∥l2,∴∠PEC=∠PBD,∵∠PEC=∠PAC+∠APB,∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
如图乙,当点P在C、D两点的外侧运动,且在l2下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB.
∵l1∥l2,∴∠PED=∠PAC,∵∠PED=∠PBD+∠APB,∴∠PAC=∠PBD+∠APB.
(3)∠α+∠β﹣∠γ=90°
如图②,分别过C、D作AB的平行线CM和DN,
∵AB∥EF,∴AB∥CM∥DN∥EF,∴∠α=∠BCM,∠MCD=∠NDC,∠NDE=∠γ,
∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ,又∵BC⊥CD,∴∠BCD=90°
∴∠α+∠β=90°
+∠γ,即∠α+∠β﹣∠γ=90°
13.如图1,AB∥CD,E是AB、CD之间的一点.
(1)判定∠BAE,∠CDE与∠AED之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图2,若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F.直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系;
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若∠AGD的余角等于2∠E的补角,求∠BAE的大小.
(1)∠BAE+∠CDE=∠AED.理由如下:
作EF∥AB,如图1,
∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠1=∠BAE,∠2=∠CDE,∴∠BAE+∠CDE=∠AED;
(2)如图2,由
(1)的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF,
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F,∴∠BAF=
∠BAE,∠CDF=
∴∠AFD=
(∠BAE+∠CDE),∵∠BAE+∠CDE=∠AED,∴∠AFD=
∠AED;
(3)由
(1)的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG,而射线DC沿DE翻折交AF于点G,
∴∠CDG=4∠CDF,∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=
∠BAE+2∠CDE=
∠BAE+2(∠AED﹣∠BAE)=2∠AED﹣
∠BAE,
∵90°
﹣∠AGD=180°
﹣2∠AED,∴90°
﹣2∠AED+
∠BAE=180°
﹣2∠AED,∴∠BAE=60°
14.如图1.将线段AB平移至CD,使A与D对应,B与C对应,连AD、BC.
(1)填空:
AB与CD的关系为 AB∥CD,且AB=CD ,∠B与∠D的大小关系为 相等
(2)如图2,若∠B=60°
,F、E为BC的延长线上的点,∠EFD=∠EDF,DG平分∠CDE交BE于G,求∠FDG.
(3)在
(2)中,若∠B=α,其它条件不变,则∠FDG=
(1)AB∥CD,且AB=CD,∠B与∠D相等;
(2)∵AB∥CD,∴∠DCE=∠B,
由三角形的外角性质得,∠CDF=∠DFE﹣∠DCE,∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE﹣∠DCE+∠FDG,
在△DEF中,∠DEF=180°
﹣2∠DFE,在△DFG中,∠DGF=180°
﹣∠FDG﹣∠DFE,
∴∠EDG=∠DGF﹣∠DEF=180°
﹣∠FDG﹣∠DFE﹣(180°
﹣2∠DFE)=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE,
∵DG平分∠CDE,∴∠CDG=∠EDG,∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE,
∴∠FDG=
∠DCE,即∠FDG=
∠B,∵∠B=60°
,∴∠FDG=
(3)思路同
(2),∵∠B=α,∴∠FDG=
.故答案为:
(1)AB∥CD,且AB=CD,相等;
(3)
15.问题情境:
如图1,AB∥CD,∠PAB=130°
,∠PCD=120°
,求∠APC的度数.
小明的思路是:
过P作PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC.
(1)按小明的思路,易求得∠APC的度数为 110 度;
(2)问题迁移:
如图2,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B、D两点之间运动时,问∠APC与α、β之间有何数量关系?
请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,如果点P在B、D两点外侧运动时(点P与点O、B、D三点不重合),请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
(1)解:
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