高中数学竞赛教案讲义13排列组合与概率Word格式文档下载.docx

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8．二项式定理：

若n∈N+,则（a+b）n=

.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。

9．随机事件：

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。

在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p（A）,0≤p（A）≤1.

10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为p（A）=

11.互斥事件：

不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。

如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一个发生的概率为

p（A1+A2+…+An）=p（A1）+p（A2）+…+p（An）.

12．对立事件：

事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为。

由定义知p（A）+p（）=1.

13．相互独立事件：

事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

14．相互独立事件同时发生的概率：

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即p（A•B）=p（A）•p（B）.若事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p（A1•A2•…•An）=p（A1）•p（A2）•…•p（An）.

15.独立重复试验:

若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.

16.独立重复试验的概率:

如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn（k）=•pk（1-p）n-k.

17．离散型随机为量的分布列：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。

如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。

一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi（i=1,2,…）的概率p（ξ=xi）=pi，则称表

ξ

x1

x2

x3

…

xi

p

p1

p2

p3

pi

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=（x1-Eξ）2•p1+（x2-Eξ）2•p2+…+（xn-Eξ）2pn+…为ξ的均方差，简称方差。

叫随机变量ξ的标准差。

18．二项分布：

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p（ξ=k）=,ξ的分布列为

1

N

此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B（n,p）.若ξ～B（n,p），则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.

19.几何分布：

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p（ξ=k）=qk-1p（k=1,2,…），ξ的分布服从几何分布，Eξ=，Dξ=（q=1-p）.

二、方法与例题

1．乘法原理。

例1有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？

2．加法原理。

例2没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？

3．插空法。

例310个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？

4．映射法。

例4如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：

a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？

5．贡献法。

例5已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。

6．容斥原理。

例6由数字1，2，3组成n位数（n≥3），且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：

这样的n位数有多少个？

7．递推方法。

例7用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：

能构造出多少个这样的n位数？

8．算两次。

例8m,n,r∈N+，证明：

①

9．母函数。

例9一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各一张，编号均为0。

从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：

每张编号为k的牌计为2k分，若它们的分值之和为xx，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。

10．组合数的性质。

例10证明：

是奇数（k≥1）.

例11对n≥2,证明：

11．二项式定理的应用。

例12若n∈N,n≥2，求证：

例13证明：

12．概率问题的解法。

例14如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问：

恰好有k件是次品的概率是多少？

例15将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。

例16甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：

在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？

例17有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；

B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。

从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。

求：

（1）取出3张卡片都写0的概率；

（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；

（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。

三、基础训练题

1．三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。

2．在正xx边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。

3．用1，2，3，…，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。

4．10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。

5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。

6．今天是星期二，再过101000天是星期_________。

7．由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_________项。

8．如果凸n边形（n≥4）的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。

9．袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k（1≤k≤a+b）次取到黑球的概率为_________。

10．一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，…，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。

11．某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。

他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。

12．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。

13．a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_________种安排方式。

14．已知i,m,n是正整数，且1<

i≤m≤n。

证明：

（2）（1+m）n>

（1+n）m.

15.一项“过关游戏”规定：

在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n，则算过关。

问：

（1）某人在这项游戏中最多能过几关？

（2）他连过前三关的概率是多少？

（注：

骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体）

四、高考水平训练题

1．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个。

2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。

3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。

4．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。

5．一条铁路原有m个车站（含起点，终点），新增加n个车站（n>

1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。

6．将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个。

7．从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。

8．二项式（x-2）5的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。

9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？

（颠倒后相同的算同一种）

10．在1，2，…，xx中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。

11．投掷一次骰子，出现点数1，2，3，…，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率为_________。

12．某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m（m≥n）名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。

13．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？

（粮食单产=）

五、联赛一试水平训练题

1．若0<

a<

b<

c<

d<

500，有_________个有序的四元数组（a,b,c,d）满足a+d=b+c且bc-ad=93.

2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线倾斜角为锐角，这样的直线条数是_________。

3．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射f:

A→A满足：

（1）若i≠j，则f（i）≠f（j）；

（2）若i+j=7，则f（i）+f（j）=7，这样的映射的个数为_________。

4．1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性质：

对于1≤i≤4,a1,a2,…,ai不构成1，2，…，i的某个排列，这种排列的个数是_________。

5．骰子的六个面标有1，2，…，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V，则全变差V的最大值为_________，最小值为_________。

6．某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_________。

7．如果a,b,c,d都属于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d,d≠a；

且a是a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数的个数为_________。

8．如果自然数a各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=xx，则an=_________。

9．求值：

=_________。

10．投掷一次骰子，出现点数1，2，…，6的概率均为，连续掷10次，出现的点数之和是30的概率为_________。

11．将编号为1，2，…，9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S，求S达到最小值的放法的概率（注：

如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法）。

12．甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p（0<

p<

1），乙每次击中的概率为q（0<

q<

1），求甲、乙首先击中的概率各是多少？

13．设m,n∈N,0<

m≤n，求证：

…+

六、联赛二试水平训练题

1．100张卡片上分别写有数字1到100，一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。

一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。

共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？

（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的）

2．设S={1,2,…,10}，A1，A2，…，Ak是S的k个子集合，满足：

（1）|Ai|=5,i=1,2,…,k;

（2）|AiAj|≤2,1≤i<

j≤k，求k的最大值。

3．求从集合{1,2,…,n}中任取满足下列条件的k个数{j1,j2,…,jk}的组合数；

（1）1≤j1<

j2<

…<

jk≤n；

（2）jh+1-jh≥m,h=1,2,…,k-1,其中m>

1为固定的正整数；

（3）存在h0,1≤h0≤k-1，使得≥m+1.

4.设,其中S1，S2，…，Sm都是正整数且S1<

S2<

Sm，求证组合数中奇数的个数等于2m。

5．个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵，设Mk是从上往下第k行中的最大数，求M1<

M2<

Mn的概率。

6．证明：

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（14）极限与导数

一、基础知识

1．极限定义：

（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>

m且n∈N时，恒有|un-A|<

ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=A表示x大于x0且趋向于x0时f（x）极限为A，称右极限。

类似地表示x小于x0且趋向于x0时f（x）的左极限。

2极限的四则运算：

如果f（x）=a,g（x）=b，那么[f（x）±

g（x）]=a±

b,[f（x）•g（x）]=ab,

3.连续：

如果函数f（x）在x=x0处有定义，且f（x）存在，并且f（x）=f（x0），则称f（x）在x=x0处连续。

4．最大值最小值定理：

如果f（x）是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f（x）在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：

若函数f（x）在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy（Δy=f（x0+Δx）-f（x0））.若存在，则称f（x）在x0处可导，此极限值称为f（x）在点x0处的导数（或变化率），记作（x0）或或，即

由定义知f（x）在点x0连续是f（x）在x0可导的必要条件。

若f（x）在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。

导数的几何意义是：

f（x）在点x0处导数（x0）等于曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处切线的斜率。

6．几个常用函数的导数：

（1）=0（c为常数）；

（2）（a为任意常数）；

（3）（4）;

（5）;

（6）;

（7）；

（8）

7．导数的运算法则：

若u（x）,v（x）在x处可导，且u（x）≠0,则

（1）

（2）

（3）（c为常数）；

（4）；

8．复合函数求导法：

设函数y=f（u）,u=（x），已知（x）在x处可导，f（u）在对应的点u（u=（x））处可导，则复合函数y=f[（x）]在点x处可导，且（f[（x）]=.

9.导数与函数的性质：

（1）若f（x）在区间I上可导，则f（x）在I上连续；

（2）若对一切x∈（a,b）有，则f（x）在（a,b）单调递增；

（3）若对一切x∈（a,b）有，则f（x）在（a,b）单调递减。

10．极值的必要条件：

若函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则

11.极值的第一充分条件：

设f（x）在x0处连续，在x0邻域（x0-δ,x0+δ）内可导，

（1）若当x∈（x-δ,x0）时，当x∈（x0,x0+δ）时，则f（x）在x0处取得极小值；

（2）若当x∈（x0-δ，x0）时，当x∈（x0,x0+δ）时，则f（x）在x0处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：

设f（x）在x0的某领域（x0-δ,x0+δ）内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。

（1）若，则f（x）在x0处取得极小值；

（2）若，则f（x）在x0处取得极大值。

13．罗尔中值定理：

若函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且f（a）=f（b），则存在ξ∈（a,b），使

[证明]若当x∈（a,b），f（x）≡f（a），则对任意x∈（a,b），.若当x∈（a,b）时，f（x）≠f（a），因为f（x）在[a,b]上连续，所以f（x）在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f（a），不妨设最大值m>

f（a）且f（c）=m，则c∈（a,b），且f（c）为最大值，故，综上得证。

14．Lagrange中值定理：

若f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则存在ξ∈（a,b），使

[证明]令F（x）=f（x）-,则F（x）在[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且F（a）=F（b），所以由13知存在ξ∈（a,b）使=0，即

15．曲线凸性的充分条件：

设函数f（x）在开区间I内具有二阶导数，

（1）如果对任意x∈I,,则曲线y=f（x）在I内是下凸的；

（2）如果对任意x∈I,,则y=f（x）在I内是上凸的。

通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。

16．琴生不等式：

设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。

（1）若f（x）是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f（a1x1+a2x2+…+anxn）≤a1f（x1）+a2f（x2）+…+anf（xn）.

1．极限的求法。

例1求下列极限：

（3）

例2求下列极限：

（1）（1+x）（1+x2）（1+）…（1+）（|x|<

1）；

（3）。

2．连续性的讨论。

例3设f（x）在（-∞,+∞）内有定义，且恒满足f（x+1）=2f（x），又当x∈[0,1）时，f（x）=x（1-x）2，试讨论f（x）在x=2处的连续性。

3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。

4．导数的计算。

例5求下列函数的导数：

（1）y=sin（3x+1）；

（3）y=ecos2x；

（5）y=（1-2x）x（x>

0且）。

5．用导数讨论函数的单调性。

例6设a>

0，求函数f（x）=-ln（x+a）（x∈（0,+∞））的单调区间。

6．利用导数证明不等式。

例7设，求证：

sinx+tanx>

2x.

7.利用导数讨论极值。

例8设f（x）=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f（x）在x1与x2处是取得极大值还是极小值。

例9设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f（x,y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x的最小值。

1．=_________.

2．已知，则a-b=_________.

3．

_________.

4．_________.

5．计算

_________.

6．若f（x）是定义在（-∞,+∞）上的偶函数，且存在，则_________.

7．函数f（x）在（-∞,+∞）上可导，且，则

8．若曲线f（x）=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_________.

9．函数f（x）=x-2sinx的单调递增区间是_________.

10．函数的导数为_________.

11．若曲线在点处的切线的斜率为，求实数a.

12.求sin290的近似值。

13．设0<

求证：

四、高考水平练习题

1．计算=_________.

2．计算_________.

3．函数f（x）=2x3-6x2+7的单调递增区间是_________.。

4．函数的导数是_________.

5．函数f（x）在x0邻域内可导，a,b为实常数，若，则

6．函数f（x）=ex（sinx+cosx）,x的值域为_________.

7．过抛物线x2=2py上一点（x0,y0）的切线方程为_________.

8．当x>

0时，比较大小：

ln（x+1）_________x.

9.函数f（x）=x5-x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________，最小值为_________.

10．曲线y=e-x（x≥0）在点M（t,e-t）处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t），则S（t）的最大值为_________.

11．若x>

0，求证：

（x2-1）lnx≥（x-1）2.

12．函数y=f（x）在区间（0,+∞）内可导。

导函数是减函数，且>

0，x0∈（0,+∞）.y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0,f（x0））处的切线方程，另设g（x）=kx+m，

（1）用x0,f（x0）,表示m；

（2）证明：

当x∈（0,+∞）时，g（x）≥f（x）；

（3）若关于x的不等式x2+1≥a