平面体系的几何组成分析Word格式.docx
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在本章中,所讨论的体系只限于平面杆件体系。
6.2平面体系的自由度
为了便于对体系进行几何组成分析,先讨论平面体系的自由度的概念。
所谓体系的自由度,是指该体系运动时,用来确定其位置所需独立的数目。
在平面内的某一动点A,其位置要由两个坐标x和y来确定(图6.2a),所以一个点的自由度等于2,即点在平面内可以作两种相互独立的运动,通常用平行于坐标轴的两种移动来描述。
在平面体系中,由于不考虑材料的应变,所以可认为各个构件没有变形。
于是,可以把一根梁,一根链杆或体系中已经肯定为几何不变的某个部分看作一个平面刚体,简称为刚片。
一个刚片在平面内运动时,其位置将由它上面的任一点A的坐标x、y和过A点的任一直线AB的倾角
来确定(图6.2b)。
因此,一个刚片在平面内的自由等于3,即刚片在平面内不但可以自由移动,而且还可以自由转动。
对刚片加入约束装置,它的自由度将会减少,凡能减少一个自由度的装置称为一个联系。
例如用一根链杆将刚片与基础相联(图6.3a),则刚片将不能沿链杆方向移动,因而沽少了一个自由度,故一根链杆为一个联系。
如果在刚片与基础之间再加一根链杆(图6.3b),则刚片又减少了一个自由度。
此时,它就只能绕A点作转动而丧示了自由移动的可能,即减少了两个自由度。
用一个圆柱铰把两个刚片I和II在A点联结起来(图6.3c),那么,对刚片I而言,其位置可由A点的坐标x、y和AB线的倾角
1来确定。
因此,它仍有三个自由度。
当刚片I的位置被确定后,因为刚片II与刚片I在A点以铰联结,所以刚片II只能绕A点作相对转动。
也就是说,刚片II只保留了独立的相对转角
2。
因此,由刚片I,II所组成的体系在平面内的自由度为4。
而两个独立的刚片在平面内的自由度总数应为2×
3=6。
因此,用一个圆柱铰将两个刚片联结起来后,就使自由度的总数减少了两个。
这种联结两个刚片的圆柱铰称为单铰。
由上述可见,一个单铰相当于两个联系,也相当于两根相交链杆的约束作用(见图6.3b)。
一个平面体系,通常都是由若干个刚片加入某些联系所组成的。
加入联系后能减少体系的自由度。
如果在组成体系的各刚片之间恰当地加入足够的联系,就能使刚片与刚片之间不可能发生相对运动,从而使该体系成为几何不变体系。
6.3几何不变体系的组成规则
为了确定平面体系是否几何不变,须研究几何不变体系的组成规则。
现就三种常见的基本情况来分析平面几何不变体系的简单组成规则。
6.3.1两刚片的组成规则
平面中两个独立的刚片,共有六个自由度,如果将它们组成为一个刚片,则只有三个自由度。
由此可知,在两刚片之间至少应该用三个联系相联,才能组成一个几何不变的体系。
下面讨论这些联系应怎样布置才能达到这一目的。
如图6.4a所示,若刚片I和II用两根不平行的链杆AB和CD联结。
为了分析两刚片间的相对运动情况,设刚片I固定不动,刚片II将可绕AB与CD两杆延长线的交点O而转动;
反之,若设刚片II固定不动,则刚片I也将绕O点而转动。
我们称O点为刚片I和II的相对转动的瞬心。
上述情况等效于在O点用圆柱铰把刚片I和II相联结。
这个铰的位置是在两链杆轴线的交点上,但随着两刚片的相对转动,其位置将会改变。
因此,这种铰与一般的铰不同,把它称为虚铰。
为了制止刚片I和II发生相对运动,还需要加上一根链杆EF(图6.4b)。
如果链杆EF的延长线不通过O点,则刚片I和II之间就不可能再发生相对运动。
于是所组成的体系是几何不变的。
如图6.4c刚片I和II之间由一个铰和一个不通过铰的链杆连接也组成一个几何不变体系。
于是得出第一个组成规则:
两刚片用不完全交于一点也不全平行的三根链杆相联结,则组成一个无多余联系的几何不变体系。
或表述为:
两刚片用一个铰和一根不通过铰的链杆相联结,则组成一个无多余联系的几何不变体系。
6.3.2三刚片的组成规则
平面中三个独立刚片,共有九个自由度,而组成为一个刚片后便三个自由度。
由此可见,在三个刚片之间至少应加入六个联系,方可将三个刚片组成一个几何不变的体系。
为了确定这个六个联系的布置原则,考察图6.5a,其中刚片I、II、III用不在同一直线上的A、B、C三个铰两两相联。
这一情况如同用三直线段AB、BC、CA作一三角形。
由平面几何知识可知,用三条定长的直线只能作出一个形状和大小都为一定的三角形。
换言之,由此得出的三角形是几何不变的。
于是得出第二个组成规则:
三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联,则组成一个无多余联系的几何不变体系。
图6.5b所示两个刚片有两个不相互平行的链杆连接,延长线交于0点(虚铰)。
如果把图6.5a中A、B、C三处的铰链用两个链杆形成的虚铰代替,则三个刚片有这样的虚铰组成的体系也是几何不变体系。
6.3.3二元体规则
所谓二元体是指两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的装置。
如图6.6所示的B-A-C部分即是一个二元体。
一个结点的自由度等于2,因两根不在同一直线上的链杆,其联系数也等于2。
所以,二元体规则为:
在体系中增加或者撤去一个二元体,不会改变体系的几何组成性质。
这一规则一方面可用来组成几何不变体系。
另一方面在分析某体系的几何组成时,可先将二元体撤除,再对剩余部分进行分析,所得结论就是原体系的结论。
根据上述简单规则,可进一步组成为一般的几何不变体系,也可用这些规则来判别给定体系是否几何不变。
值得指出,在上述三个组成规则中,都提出了一些限制条件。
如果不能满足这些条件,将会出现下面所述的情况。
如图6.7a所示的两个刚片用三根链杆相联,链杆的延长线交于一点O,此时,两个刚片可以绕O点作相对转对,但在发生一微小转动后,三根链杆就不同全交于一点,从而将不再继续发生相对运动。
这种在某一瞬时可以产生微小运动的体系,称为瞬变体系。
又如图6.7b所示的两个刚片用三根互相平行但不等长的链杆相联,此时,两个刚片可以沿着与链杆垂直的方向发生相对移动,但在发生一微小移动后,此三根链杆就不再互相平行,故这种体系也是瞬变体系。
应该注意,若三链杆等长并且是从其中一个刚片沿同一方向引出时(图6.7c),则在两刚片发生一相对运动后,此三根链杆仍互相平行,故运动将继续发生,这样的体系就是几何可变体系。
现在再看图6.8,三个刚片用位于一直线上的三个铰两两相联的情形(这里把支座和基础看成一个刚片)。
此时C点位于以AC和BC为半径的两个圆弧公切线上,故C点可沿此公切线作微小的移动。
不过在发生一微小移动后,三个铰就不再位于一直线上,运动就不再发生,故此体系也是一个瞬变体系。
虽然看起来瞬变体系只发生微小的相对运动,似乎可以作为结构,但实际上当它受力时将可能出现很大的内力而导致破坏,或者产生过大的变形而影响使用。
图6.8所示瞬变体系,在外力F作用下,铰C向下发生一微小的位移而到C´
的位置,由图6.9所示隔离体的平衡条件∑Y=0可得
因为
为一无穷小量,所以
可见,杆AC和BC将产生很大的内力和变形。
因此,在工程中一定不能采用瞬变体系。
几何不变体系的组成规则中,指明了最低限度的联系数目。
按照这些规则组成的体系称为无多余联系的几何不变体系。
如果体系中的联系数目少于规定的数目,则该体系是几何可变的(图6.10a)。
如果体系中的联系比规则中所要求的多,则可能出现有多余联系的几何不变体系。
例如图6.10b所示体系。
AB部分以固定支座A与大地联结已构成一几何不变体系,支座B处的两根链杆对保证体系的几何不变来说是多余的,称为多余联系,故该体系是具有两个多余联系的几何不变体系。
6.4几何组成分析的应用
杆件组成的体系包括:
几何可变体系、几何不变体系(包括有多余联系和无多余联系两种),瞬变体系三类。
对工程技术人员来说,最重要的是通过对给定体系的几何组成分析,确定其属于哪一类,从而得知它能否作为结构。
几何组成分析的依据是前述的三个规则,分析时可将基础(或大地)视为一刚片,也可把体系中的一根梁、一根链杆或某些几何不变部分视为一刚片,特别是根据规则三可先将体系中的二元体逐一撤除以便使分析简化。
例6.1试对图6.11所示铰结链杆体系作几何组成分析。
解:
在此体系中,先分析基础以上部分。
把链杆1-2作为刚片,再依次增加二元体1-3-2、2-4-3、3-5-4、4-6-5、5-7-6、6-8-7,根据二元体法则,此部分体系为几何不变体系,且无多余联系。
把上面的几何不变体系视为刚片,它与基础用三根既不完全平行也不交于一点的链杆相联,根据两刚片法则图6.11所示体系为一几何不变体系,且无多余联系。
例6.2试对图6.12所示体系进行几何组成分析。
首先在基础上依次增加A-C-B和C-D-B两个二元体,并将所得部分视为一刚片;
再将EF部分视为另一刚片。
该两刚片通过链杆ED和F处两根水平链杆相联,而这三根链杆既不全交于一点又不全平行,故该体系是几何不变的,且无多余联系。
例6.3试如图6.13所示体系进行几何组成分析。
将AB、BED和基础分别作为刚片I、II、III。
刚片I和II用铰B相联;
刚片I和III用铰A相联;
刚片II和III用虚铰C(D和E两处支座链杆的交点)相联。
因三铰在一直线上,故该体系为瞬变体系。
例6.4试对图6.14所示体系进行几何组成分析。
杆AB与基础通过三根既不全交于一点又不全平行的链杆相联,成为一几何不变部分,再增加A-C-E和B-D-F两个二元体。
此外,又添上了一根链杆CD,故此体系为具有一个多余联系的几何不变体系。
例6.5试分析图6.15所示的体系的几何组成。
根据规则三,先依次撤除二元体G-J-H、D-G-F、F-H-E,D-F-E使体系简化。
再分析剩下部分的几何组成,将ADC和CEB分别视为刚片I和II,基础视为刚片III。
此三刚处分别用铰C、B、A两两相联,且三铰不在同一直线上,故知该体系是无多余联系的几何不变体系。
6.5静定结构和超静定结构
如前所述,用作结构的杆件体系,必须是几何不变的,而几何不变体系又可分为无多余联系的(例6.1、例6.2、例6.5)和有多余联系的(例6.4)。
后者的联系数目除满足几何不变性要求外有多余。
例如图6.16a所示连续梁,如果将C、D两支座链杆去掉(图6.16b),剩下的支座链杆恰好满足两刚片联结的要求,所以它有两个多余联系。
又如图6.17a所示加劲梁,若将链杆AB去掉(图6.17b),则它就成为没有多余联系的几何不变体系,故此加劲梁具有一个多余联系。
对于无多余联系的结构(例如图6.18所示的简支梁),它的全部反力和内力都可由静力平衡条件求得,这类结构称为静定结构。
但是对于具有多余联系的结构,却不能只依靠静力平衡条件求得其全部反力和内力。
例如图6.19所示连续梁,其支座反力共有五个,而静力平衡条件只有三个,因而仅利用三个静力平衡条件无法求得其全部反力,从而也就不能求得它的内力,这类结构称为超静定结构。
从上面的分析可知,无多余联系的几何不变体系为静定结构,而有多余联系的几何不变体系为超静定结构。
本章小结
1体系可以分为几何可变体系、几何瞬变体系和几何不变体系。
只有几何不变体系才可以作为结构使用,几何可变体系和几何瞬变体系不能用作结构。
2自由度是确定体系位置所需的独立参数的数目。
3几何不变体系组成规则有三个:
两刚片法则、三刚片的组成规则和二元体法则。
满足这三条规则的体系是几何不变体系。
4静定结构是无多余联系的几何不变体。
5超静定结构是有多余联系的几何不变体。
思考题
6.1什么是几何可变体系?
为什么它们不能作为结构使用,试举说明。
6.2什么是几何不变体系?
为什么它们能作为结构使用,试举说明。
6.3虚铰与实际铰链有何不同,为什么虚铰也具有实际铰链的约束性质?
6.4几何不变体有三个组成规则,其最基本的规则是什么?
习题
6.1—6.11试对图示体系作几何组成分析。
如果是具有多余联系的几何不变体系,则须指出其多余联系的数目。
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