浙教版八年级数学上册特殊三角形八年级数学教研组Word下载.docx
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2、等腰三角形哪三线合一?
它有什么作用?
3、等腰三角形中底角平分线、一腰上的中线和高三线合一吗?
2等腰三角形的性质
本课重点:
1、掌握等腰三角形的性质;
2、会用等腰三角形的性质进行说明和计算。
(1)等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
(2)等腰三角形有一个角是120°
,那么其他两个角的度数是和。
(3)△ABC中,∠A=∠B=2∠C,那么∠C=。
(4)在等腰三角形中,设底角为x°
,顶角为y°
,则用含x的代数式表示y,得y=;
用含y的代数式表示x,得x=。
2、选择题:
(1)等腰三角形的一个外角为140°
,那么底角等于()
A、40°
B、100°
C、70°
D、40°
或70°
(2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()
A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半
(3)在等腰三角形ABC中,∠A与∠B度数之比为5∶2,则∠A的度数是()
A、100°
B、75°
C、150°
D、75°
或100°
(4)等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是角平分线,则“①AD⊥BC,②BD=DC,
③∠B=∠C,④∠BAD=∠CAD”中,结论正确的个数是()
A、4B、3C、2D、1
3、如图,已知△ABC中,D在BC上,AB=AD=DC,∠C=20°
,求∠BAD。
4、如图,已知△ABC中,点D、E在BC上,
AB=AC,AD=AE。
请说明BD=CE的理由。
如图,现有顶角度数互不相同的等腰三角形(AB=AC)纸片(a图、b图、c图、d图)各一块,其中有的能从一个底角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片。
(1)能剪成两块等腰三角形的纸片是,并用尺规在选中的图上作出你的剪痕(用虚线表示),虚线另一端标上字母T。
(2)将所选图中的相等线段填写在下列对应的横线上(未选中的不要填写,线段相等用等式表示,AB=AC除外):
a图;
,b图,c图,d图;
(3)计算选中的等腰三角形的顶角度数(若选中两种以上,只要求计算一种):
设等腰三角形顶角为α,一腰上的高线与底边所夹的角为β,是否存在α和β之间的必然关系?
若存在,则把它找出来;
若不存在,则说明理由。
小明是这样做的,解:
不存在,因为等腰三角形的角可以是任意度数。
亲爱的同学,你认为小明的解法对吗?
若不对,那么你是怎么做的,请你写出来。
阅读课本第二章第3节“等腰三角形的判定”,并思考下列问题:
1、怎样判定一个三角形是等腰三角形?
你有几种方法?
2、等腰三角形的判定和性质有什么联系和区别?
3等腰三角形的判定
1、掌握等腰三角形的判定方法和数学的转化思想;
2、理解等腰三角形的判定和性质的联系与区别。
(1)在△ABC中,∠A的相邻外角是110°
,要使△ABC是等腰三角形,则∠B=。
(2)在一个三角形中,等角对;
等边对。
(3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等,则它的各内角的度数是。
(4)如图,AB=AC,BD平分∠ABC,且∠C=2∠A,
则图中等腰三角形共有个。
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°
,∠ADB=72°
,
DE平分∠ADB,则图中等腰三角形的个数是()
A、3B、4C、5D、6
3、如图,在△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于点O,且OB=OC,请说明AB=AC的理由。
4、如图,已知∠EAC是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC,请说明AB=AC的理由。
5、如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,请你说明AD是BC的中垂线。
将不全等的两个等边△ABC和等边△DEF任意摆放,请你画出不少于5种的摆放示意图。
使得AE=CF,同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由。
等腰三角形底边长为10cm,从底边的一个端点引腰上的中线,分此三角形周长为两部分,其中一部分比另一部分长4cm,求等腰三角形的腰长。
小慧解得腰长为6cm,亲爱的同学,你认为小慧做的结果对吗?
如果你认为不对,那么你是怎么解的呢?
阅读课本第二章第4节“等边三角形”,并思考下列问题:
1、什么是等边三角形?
它有哪些特殊性质?
你会探索吗?
2、等边三角形与等腰三角形有何联系和区别?
4等边三角形
1、理解等边三角形的概念;
2、掌握等边三角形的特殊性质和判定方法。
(1)等边三角形的三条边都,三个内角都,且每个内角都等于。
(2)等边三角形有条对称轴。
(3)等边三角形的、、互相重合。
(4)如图,△ABC和△BDE都是等边三角形,如果∠ABE=40°
,
那么∠CBD=度。
2、如图,在等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,且CE=CD,请说明DB=DE的理由。
3、若a、b、c为△ABC的三边,且a2+b2+c2=ab+bc+ca,请说明△ABC是等边三角形。
如图,△ABC和△BDE都是等边三角形,
且A,E,D三点在一直线上。
请你说明DA-DB=DC。
5、已知,如图,△ABC是正三角形,D,E,F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF。
请你说明△DEF是正三角形。
已知:
如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,请说明AN=BM的理由。
现要求:
(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°
,使A点落在CB上,请对照原题图在下面图中画出符合要求的图形(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在
(1)所得到的图形中,结论“AN=BM”是否还成立?
请说明理由。
(3)在
(1)得到的图形中,设MA的延长线与BN相交于D点,请你判断△ABD与四边形MDNC的形状,并说明你的结论成立的理由。
小刚同学在课余时间正在研究一道数学题:
一个半径为R的圆绕着周长为10πR的正六边形外边作无滑动滚动,绕完六边后,这个圆一共转了多少圈?
小刚说:
圆的周长是2πR,六边形周长为10πR,无滑动滚动则路程相等,所以圈数等于10πR÷
2πR=5。
你认为他的解答正确吗?
阅读课本第二章第5节“直角三角形
(1)”,并思考下列问题:
1、什么是直角三角形?
它是如何表示的?
它的内角有什么特点?
2、你有几种判定直角三角形的方法?
5直角三角形
(1)
1、理解直角三角形和等腰直角三角形的有关概念及表示;
2、掌握直角三角形中两锐角互余,会根据一个角、两个角的大小关系来判定直角三角形。
(1)在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则△ABC是。
(2)在△ABC中,∠C=90°
,∠A=2∠B,则∠A=,∠B=。
(3)在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则△ABC是三角形。
(4)直角三角形两锐角之差是12度,则较大的一个锐角是度。
(1)如果三角形的一个角等于其他两个角的差,那么这个三角形是()
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、以上都错
(2)如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7,那么这个三角形是()
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形
(3)△ABC中,如果两条直角边分别为3,4,则斜边上的高线是()
A、
B、
C、5D、不能确定
(4)如图,△ABC中,∠ACB=Rt∠,在AB上截取AE=AC,
BD=BC,则∠DCE等于()
A、45°
B、60°
C、50°
D、65°
3、求直角三角形两锐角平分线所夹的锐角的度数。
4、给你一副三角板,你能用它拼出几个度数不同的角?
请把它们都写出来。
5、已知等腰三角形一腰上的高与底边成45°
角,若腰长为2cm,求它的面积。
阅读下面短文:
如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°
,现将△ABC补成长方形,使△ABC的两个顶点为长方形一边的两个端点,第三个顶点落在长方形这一边的对边上,那么符合要求的长方形可以画出两个:
长方形ACBD和长方形AEFB(如图2)。
解答问题:
(1)设图2中长方形ACBD和长方形AEFB的面积分别为S1,S2,则S1S2(填“>”、“=”或“<”)
(2)如图3,△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成长方形,那么符合要求的长方形可以画出个,利用图3把它画出来。
(3)如图4,△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文中的要求把它补成长方形,那么符合要求的长方形可以画出个,利用图4把它画出来。
(4)在(3)中所画出的长方形中,哪一个的周长最小?
为什么?
下面是小明同学在学了等腰三角形后所做的一道题,题目是这样的:
“已知△ABC是等腰三角形,BC边上的高恰好等于BC边长的一半,求∠BAC的度数。
”
解:
如图,∵AD⊥BC,AD=
BC=BD=CD,
∴∠BAD=∠B=∠C=∠CAD=45°
∴∠BAC=90°
你认为小明的解答正确吗?
若不正确,请你将它补充完整。
阅读课本第二章第5节“直角三角形
(2)”,并思考下列问题:
1、一个直角三角形斜边上的中线长与斜边长有什么关系?
请你动手做做看。
2、在一个有30°
角的直角三角形中,30°
角所对的直角边与斜边之间有数量关系吗?
若有,是什么关系?
反之它也成立吗?
5直角三角形
(2)
1、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质;
2、会利用上述性质进行计算和说明。
(1)等腰三角形的底角为15度,腰长为2a,则三角形的面积为。
(2)已知:
如图,∠BAC=90°
,∠C=30°
AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,BE=1,BC=。
(3)在△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,且AC=
AB,
则∠B=。
(1)如图,在△ABC中,∠ACB=90°
CD⊥AB于D,∠A=30°
,则AD等于()
A、4BDB、3BDC、2BDD、BD
(2)已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半,那么这个等腰三角形的一个底角等于()
A、15°
或75°
B、15°
C、75°
D、150°
或30°
(3)如图,EA⊥AB,BC⊥AB,AB=AE=2BC,D为AB的中点,
有以下判断:
①DE=AC;
②DE⊥AC;
③∠CAB=30°
;
④∠EAF=∠ADE;
其中正确结论的个数是()
A、1B、2C、3D、4
3、在一个直角三角形中,如果有一个锐角为30度,且斜边与较小直角边的和为18cm,求斜边的长。
4、如图,△ABC和△ABD中,∠C=∠D=Rt∠,E是BC边上的中线。
请你说明CE=DE的理由。
5、已知:
如图,BD,CE交于O,OA平分∠BOC,△ABD的面积和△ACE的面积相等。
请你说明BD=CE的理由。
用旋转法解题
同学们已经学过了旋转变换,想必不会陌生。
这里讲讲用旋转法解题的思想方法,它的具体步骤是:
先把一个图形(或它的一部分)绕着一个定点旋转一个适当的角度;
然后把所得的图形与原图形联系,找出解题途径,使问题得到解决。
下面两道题请你试试,看能不能用上述方法加以解决。
1、如图,长方形ABCD中,已知AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E是垂足,试说明DE=
。
2、如图,在正方形ABCD中,∠EAF=45°
,AG⊥EF于G,请说明AG=AB。
3、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,P是三角形内一点,且∠APB=∠APC,试说明PC>PB的理由。
等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°
,腰长为a,求底边上的高线长。
以下是小明同学的解题,你认为他的解题正确吗?
若不正确,请你帮他改正。
如图,底边上的高线长AD=
a
阅读课本第二章第6节“探索勾股定理
(1)”,并思考下列问题:
1、什么是勾股定理?
它体现了直角三角形三边之间的什么关系?
2、你会不会用其他方法说明勾股定理?
请看课本46—1页的阅读材料。
6探索勾股定理
(1)
1、掌握勾股定理的内容;
2、了解勾股定理的面积证法及其数形结合思想;
3、学会勾股定理的简单应用。
(1)勾股定理说的是。
(2)直角三角形的两边长分别是3cm、4cm,则第三边长是。
(3)直角三角形的周长是24cm,斜边上的中线长为5cm,则此三角形的面积是。
(4)如图,△ABC是Rt△,BC是斜边,P是三角形内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,那么PP′的长等于。
已知有不重合的两点A和B,以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,一共可以作出()
A、2个B、4个C、6个D、8个
3、在△ABC中,∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c。
(1)a=9,b=12,求c;
(2)a=9,c=41,求b;
(3)a=11,b=13,求以c为边的正方形的面积。
4、如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=1,∠DAB=30°
,∠ABC=60°
,四边形ABCD的面积为5
,求AD的长。
5、在直角三角形中,如果两直角边之和为17,两直角边之平方差为119,求斜边的长。
6、如图,在△ABC中,D是BC上一点,且满足AC=AD,
请你说明AB2=AC2+BC·
BD
勾股定理及其推广
我国著名数学家华罗庚曾经建议,要探知其他星球上有没有“人”,我们可以发射一种关于勾股定理的图形,如果他们是“文明人”,必定认识这种“语言”。
可见“勾股定理”不仅是数学的瑰宝,而且还是人类文明的一种象征。
世界上几个文明古国都对勾股定理的发现作出过自己的贡献。
大约成书于公元前2世纪的我国天文学著作《周髀》(后人改称《周髀算经》)中,已有勾股定理的记载。
勾股定理在国外又称毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的。
在漫长的岁月中,人们对勾股定理创造了形形色色的奇妙的证明方法,据不完全统计,目前已有400多种不同证法。
勾股定理实质上说的是,直角三角形勾、股、弦上三个正方形的面积之间的关系(如图1),有a2+b2=c2。
那么,亲爱的同学,你能完成下面的三个问题吗?
(1)把“正方形”改成“正三角形”(如图2),上述关系式能成立吗?
(2)把“正方形”改成“半圆”(如图3),上述关系式能成立吗?
(3)把“正方形”改成其他任意相似多边形,上述关系式还能成立吗?
题目:
如图,在等腰△ABC中,已知BE、CF是底角平分线,AM⊥BE,AN⊥CF,请你说明AM=AN的理由。
以下是小刚同学的说理过程,请你判断他的对错。
∵在等腰△ABC中,BE是∠ABC的平分线,
∴AE=EC(角平分线分对边相等)
同理,AF=FB,
∴AE=AF,
又∵BE=CF(两条底角平分线相等)
∴△ABE≌△ACF(SSS)
∴AM=AN。
阅读课本第二章第6节“探索勾股定理
(2)”,并思考下列问题:
1、给定三角形的三边长,你能否判定它是不是直角三角形?
2、若根据三角形的三边长能判定它是直角三角形,那么你能确定哪个是直角吗?
6探索勾股定理
(2)
1、掌握勾股定理的逆定理的内容;
2、会利用它进行计算、判断和说明。
(1)如果三角形中等于,那么这个三角形是直角三角形,
所对的角是直角。
(2)在△ABC中,已知AB=40,BC=41,AC=9,则∠BAC=度。
(1)边长分别是下列各组数的三角形中,能组成直角三角形的是()
A、5,10,13.B、5,7,8。
C、7,24,25。
D、8,25,27。
(2)满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是()
A、b2=a2-c2B、∠C=∠A-∠B
C、∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D、a∶b∶c=12∶13∶5
3、根据三角形的三边a,b,c的长,判断三角形是不是直角三角形:
(1)a=11,b=60,c=61;
(2)a=
,b=1,c=
4、在△ABC中,三条边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)。
那么△ABC是直角三角形吗?
5、如图,已知一个四边形的四条边AB,BC,CD和DA的长分别是3,4,13和12,其中∠B=90°
,求这个四边形的面积。
用对折法解题
用对折法解题的具体步骤是:
先把一个图形(或它的一部分)沿某直线对折,得到它的轴对称图形;
然后,与原图形联系,找出解题途径,使问题获得解决。
亲爱的同学,你能用对折法完成下面的题目吗?
如图1,正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N。
(1)请你说明MD=MN的理由。
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”,其他条件不变(如图2),则结论“MD=MN”还成立吗?
不论成立与否,请说明你的理由。
问:
边长满足关系(a-b)(a2+b2-c2)=0的△ABC是什么三角形?
小明说△ABC是等腰三角形;
小刚说△ABC是直角三角形;
小亮说△ABC是等腰直角三角形;
小慧说△ABC或是等腰三角形或是直角三角形或是等腰直角三角形。
亲爱的同学,你认为谁的说法正确,若都不正确,那么正确的应该怎样说呢?
阅读课本第二章第7节“直角三角形全等的判定”,并思考下列问题:
1、你曾经学过哪些判定两个三角形全等的方法?
这些方法需要几个已知条件?
它们能用来判定两个直角三角形全等吗?
2、若已知两个直角三角形的两边对应相等,你能否判定这两个直角三角形全等?
7直角三角形全等的判定
1、掌握直角三角形全等的特殊判定方法,并会运用;
2、理解事物的特殊与一般的关系。
(1)如图1,已知AB⊥AC,AC⊥CD,垂足分别是A,C,AD=BC。
由此可判定全等的两个三角形是△和△。
(2)如图2,已知BD⊥AE于B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或或或。
(3)如图3,在△ABC中,AD⊥BC于D,AD与BE相交于H,且BH=AC,DH=DC,那么∠ABC=度。
(4)如图4,点P是∠BAC内一点,且P到AC,AB的距离PE=PF,则△PEA≌△PFA的理由是。
(1)下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是()
A、一条直角边和一个锐角分别相等B、两条直角边对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等D、斜边和一个锐角对应相等
(2)下列说法中,错误的是()
A、三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用
B、已知两个锐角不能确定一个直角三角形
C、已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形
D、已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形
3、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BD,AE⊥CE,且AD=AE,BD和CE交于点O,请说明OB=OC的理由。
4、如图,AD∥BC,∠A=90°
,E是AB上一点,∠1=∠2,AE=BC。
请你说明∠DEC=90°
的理由。
5、如图,AD=BC,DEAC,BFAC,E,F是垂足,DE=BF。
请你说明
(1)∠DAE=∠BCF;
(2)AB∥CD成立的理由。
如图,A、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD。
请回答下列问题:
(1)BD平分EF;
(2)若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时其余条件不变,上述结论是否成立,请说明理由。
以下是小聪同学所做的一道题,题目是这样的:
“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°
”请问他的解法对吗?
已知:
如图,△ABC是直角三角形,∠C=90°
,BC=
请说明∠BAC=30°
解:
作△ABC关于直线AC的对称△AB′C,则有
∴AB′=AB,B′C=BC
∵BC=
∴AB′=AB=BB′
∴△ABC是等边三角形,∠BAB′=60°
∵∠C=90°
∴∠BAC=30°
阅读课本第三章第1节“”,并思考下列问题:
参考答案
第二章
2.1
1、
(1)22
(2)20或22,20(3)3;
2、
(1)C
(2)D;
3、5,15,15;
4、略;
5、2,2,1;
他用的是对称法,使两点之间线段最短。
不对;
剩下的角可能有4个或5个或6个。
2.2
1、
(1)底边上的高,底边上的中线
(2)30°
,30°
(3)36°
(4)180-2x,90-
y;
2、
(1)D
(2)C(3)D(4)A;
3、100°
略
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