生产函数模型.doc
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经济数学模型与方法
课程名称:
经济数学模型与方法
班级:
05级研1周次:
1课次:
1/2
目的要求:
通过本节的学习使学生了解学习经济控制论的意义,以及初步认识和了解经济控制论的研究方法;掌握经济控制论的定义
教学内容:
第二讲生产函数模型
1.经济数学模型化的步骤:
第一,模型化方向的设定:
目标的设定
1>目标
一个人无论从事什么工作总要达到某种目的。
人们有许多小目标,也有许多大目标。
如1,我们同学,这学期有大目标、小目标。
如2,社会主义现阶段的市场经济的目标:
(是各尽所能、按劳分配的公平境界,以及物资较大丰富的有效益境界。
)即:
公平与效益。
如3,何为“经济学”?
即为:
“利用有限资源、合理安排生产(资源的合理配置),生产出来的产品在消费者中合理分配,实现人类现阶段的最大满足。
”经济学家统一认同这个概念,在这个定义中指出了经济学的目标是:
“实现人类的最大满足。
”设为U函数――效应函数,体现人类满意度
人类幸福函数
经济学中,什么是好,由福利、规则经济学来定。
(不知,就目标不明确,就无法控制!
)
社会主义经济学家认为市场经济的目标的实现便是人类的最大满足;
2>量化目标
当我们给出了目标的文字描述之后,数量经济工作者还要给出目标的定量描述。
如3中:
物质是否极大丰富这个目标,一般又用人均国民生产总值来衡量。
即:
如果在第t年,人均国民生产总值为y(t)元,那么目标J可表示?
maxJ=y(t)?
否。
因为目标是可持续的增长,
当在第t+Δt时间里,人均国民生产总值为y(t+Δt)。
那么目标应该是各时间段里y的加全平均值,即:
maxJ=A(t)×y(t)+A(t+Δt)×y(t+Δt)+…A(t+nΔt)y(t+nΔt)+…
=ΣA(t+nΔt)×y(t+nΔt)
A(t)为各时间段的加全系数。
(权重函数)
令Δt→0,则有:
maxJ=∫A(t)y(t)dt――物资极大丰富
提问:
A(t)为多少?
经济学讲,A(t)涉及到一个国家的现在幸福还是将来幸福之间进行选择的问题。
有人认为:
A(t)与利率有关,A(t)=1/(1+in)折算回来,即利用利率贴现。
还有人认为一样,则A(t)=1
maxJ=∫y(t)dt
这个结果是荒谬的。
如:
(单位:
亿元)
t:
012…
y(t):
1010…
y1(t):
234…
由于
1+0+10=11>2+3+4=9
说明第一种情况优于第二种情况。
事实上,第一种情况y
(1)=0表明在t=1这个时间周期里的人均国民生产总值为0,这也就意味着人们在这个周期里无法生存!
所以目标的设定,非常重要。
一般我们用maxJ=∫y(t)dt――累加表示目标
第二,模型圆形的机理分析-参数的确立。
当给定目标的定量描述后,下一步就要确定采用什么手段来达到目标。
比如,我们的目标是人均国民生产总值累积最大,那么就要研究使国民生产总值增加的因素是什么。
用Y(t)表示第t年国民生产总值。
Y(t)与投入的资本与劳动力有关。
用K1(t)表示交通等基础设施固定资本,
用K2(t)表示厂房、设备等固定资本,
用L(t)表示劳动工时,
那么投入的K1(t),K2(t),L(t)与产出的Y(t)有如下因果关系:
Y(t)=F(K1(t),K2(t),L(t))
上式在经济学上叫生产函数。
生
产
函
数
1-d
d
△
△
1-δ1
1-δ2
×
×
分析1:
经济学的任务就是要研究上式数学表达式是什么类型的函数。
在微观经济学中,我们知道可以用柯布-道格拉斯类型的生产函数,或用CES类型的生产函数,等等。
如果用柯布-道格拉斯类型的生产函数,那么上式具体形式:
(模型化假说)
Y(t)=AK1(t)aK2(t)bL(t)1-a-b
其中,A,a,b为参数,它的大小可以由实际数据来确定。
分析2:
固定资本K1(t)与K2(t)的增加可引起Y(t),那么K1(t)与K2(t)的增加又由其它什么变量来确定呢?
它们由固定资本投资来决定。
用I1(t)表示基础设施固定资本投资,I2(t)表示厂房、设备等固定资本投资,那么投资量I1(t)与I2(t)与固定资本增加有如下因果关系:
第t+1年固定资本K1(t+1)=第t年固定资本K1(t)-第t年固定资本折旧δ1×K1(t)+第t年固定资本投资I1(t)
其中,δ1为折旧率。
上式即为:
K1(t+1)=K1(t)-δ1K1(t)+I1(t)
类似地有:
K2(t+1)=K2(t)-δ2K2(t)+I2(t)
分析3:
投资I1(t)与I2(t)的钱从哪里来呢?
在没有外债的封闭型经济中,投资的钱只能从Y(t)中来。
设Y(t)中有一固定比例100×d%(d<1)用于消费,余下用于投资。
即:
I1(t)+I1(t)=d×Y(t)
再设就业人口为常数:
L(t)=常数L
分析4:
那么我们的问题是如何分配d×Y(t)给I1(t)与I2(t)能使为均国民生产总值累积额最大?
假如I1(t)分到的份额为100×σ(t)%,即:
I1(t)=σ(t)×d×Y(t)
那么策略变量便是σ(t),即各个时间周期σ(t)应等于多少,才能使人均国民生产总值y(t)=Y(t)/L累积量最大。
第三,数学模型的建立:
1〉建立数学模型
以上我们便认为构造出从策略变量到目标变量之间的因果关系链,我们把这种具有因果关系的事物称为“系统”。
把以上数学关系式称为“系统的数学模型”。
我们把以上目标及系统数学方程式集中写在一起:
目标:
maxJ=∫y(t)dt
系统方程:
Y(t)=AK1(t)aK2(t)bL1(t)1-a-b
K1(t+1)=K1(t)-δ1K1(t)+I1(t)
K2(t+1)=K2(t)-δ2K2(t)+I2(t)
I1(t)+I2(t)=d×Y(t)
L(y)=L
I1(t)=σ(t)×d×Y(t)
y(t)=Y(t)/L
再接下来的工作便是如何去求解上述数学方程了。
当求出σ(t)的解答后,我们就明确了如何去分配资金分别投资于基础设施建设和厂房、设备方面的建设。
当然,目标设定的不同解答也会有所不同。
2>定义:
在上述数学模型中,我们称σ(t)为系统的策略变量或控制输入变量,经济学中称之为外生变量。
y(t)或J称为目标变量或输出变量。
y(t),Y(t),K1(t),K2(t)等经济学中称为内生变量。
3>系统类型:
要求解上述数学模型并非一件容易的事,一般地说,当我们依经济学知识构造出数学模型之后,要判断它属于什么类型的系统然后再应用相应的科学知识来求解。
比如,上述系统属于非线性动态离散时间系统。
需要庞德里亚金极大值原理求得。
***系统的类型有如下几种划分:
·线性系统与非线性系统
·静态系统与动态系统
·连续时间系统与离散时间系统
·确定性系统与随机性系统
·精确参数系统与模糊参数系统
·集中参数系统与分布参数系统
·实数域上系统与环上系统,或有限域上系统及格上系统
……
上述的不同组合,将得到不同的经济系统。
(学不完)
如果给出静态线性系统,它的最优化问题属于“线性规划”学科知识,静态非线性系统的优化问题属于“非线规划”学科知识。
如:
maxJ=3x+7y
约束s.t.5x+9y≤1
6x+5y≤2
线性规划为,目标、约束均为变量的线性函数。
以上我们所举的例子非线性动态离散时间系统的优化问题,它可以用本书介绍的庞得里亚金极大值原理来求解。
如果所涉及到的经济变量为随机变量,那么相应就会得到随机性系统。
由于现实的经济变量基本上都是随机变量,因此随机性动态经济系统基本知识是非常重要的。
如果我们把许多著名经济学家的知识与经验收集起来,构造出一个专家系统,那么便会涉及到数理逻辑与布尔代数的知识,由于布尔代数是格的运算,因此所建立的系统可以看作格上系统。
逻辑代数:
1+1=1,1+0=1,0+1=1,0+0=0
总之,以上我们列举了经济系统的一些类型。
其中随机性动态系统、模糊参数系统、环上系统、有限域上系统、格上系统、分布参数系统等都不在本书讲座范围。
经济控制论是涉及面很广的一个学科。
在上述各种类型的系统中,线性动态离散时间系统与线性动态连续时间系统是最基本、最常用的两种类型系统。
本书着重介绍这两种类型系统的运动分析。
做任何事都要有控制(划船),关键的问题是如何蒋控制的问题转化为数学模型。
第四,求解模型:
系统的分析。
(给定σ、d,求Y(t)=?
)
当给出系统的数学模型后,就要探讨在某种策略输入之下,系统各变量的变化过程。
简单地说,就是在确定输入变量的变化后,去求解系统方程。
系统分析包括运动分析与稳定性分析。
所谓运动分析就是探讨解的存在性或解的数学表达式,一旦求出解的数学表达式,便就确定了各变量变化规律。
所谓系统稳定性分析就是探讨各变量变化趋势。
一般地说,如果某个变量无休止上下起伏变化,则称之为不稳定,如果该变量的变化逐渐趋于平衡,则称之为渐近稳定。
例如,在上述模型中,如果参数值为:
σ(t)=0.4,A=1,b=0.3,L=1,δ1=δ2=0.1,d=0.7,那么模型可记为:
Y(t)=K1(y)0.4K2(t)0.3
K1(t+1)=0.9K1(t)+I1(t)
K2(t+1)=0.9K2(t)+I2(t)
I1(t)+I2(t)=0.7Y(t)
I1(t)=0.4×0.7×Y(t)
Y(t)=Y(t)
4>现在要分析:
在资金分配策略σ(t)=0.4情况下,系统运动过程,或各变量变化规律。
(政策变量变化时,K1,K2如何变化?
)
从上述方程可得出:
K1(t+1)=0.9K1(t)+0.28Y(t)
K2(t+1)=0.9K2(t)+0.42Y(t)
或
K1(t+1)=0.9K1(t)+0.28K1(t)0.4K2(t)0.3
K2(t+1)=0.9K2(t)+0.42K1(t)0.4K2(t)0.3
以上我们得到了二阶离散时间非线性动态系统。
它的求解是较为困难的,现在我们来分析变量K1(t)与K2(T)运动过程。
①考虑图0.1,先考虑曲线φ1:
φ1:
K1(t)=0.9K1(t)+0.28K1(t)0.4K2(t)0.3
或:
0.1K10.6=0.28K20.3
或:
0.03232K12=K2
显然,曲线φ1在[K1(t),K2(t)]状态平面上为向上弯曲的曲线。
在φ1右边的点应成立:
K1(t)>0.9K1(t)+0.28K1(t)0.4K2(t)0.3
上式右边即为K1(t+1),因此当系统状态[K1(t),K2(t)]处于φ1右边时,成立:
K1(t)>K1(t+1)
即当t→∞时,K1
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