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本研究采用单因素被试内实验设计,以画图表征解题的训练(有训练前和训练后两个水平)为自变量,以数学解题成绩与使用画图方法为因变量,自编试题对江都市仙女镇正谊小学六
(1)班学生(男生15人,女生19人)进行研究。
研究结果主要发现:
使用画图表征解题的训练能够显著提高小学生的数学成绩与画图意识。
另外还有一项有趣的发现就是:
无论是否正确解决了问题,训练前,不同难度水平,使用画图表征的小学生人数参差不齐且均较少,此时问题难度并不影响小学生解题时对画图表征的选择;
训练后,对于较低难度水平和中等难度水平的题目使用画图表征的小学生人数较多,对于难度过高的题目使用画图表征的小学生人数较少,此时问题难度影响小学生解题时对画图表征的选择。
关键词:
小学生,画图表征,训练,数学解题成绩,画图意识
Abstract
Inordertoexploresubjectsbetweenpupils’schematicrepresentationandtheresultsofmathematicalproblem-solving,adapttotherequirementofthenewmathematicalcurriculumreformationinprimaryschool,andprovidemorepracticalandtheoreticalbasisforthestrategiesofsolvingproblems.Thisstudyadoptone-wayexperimentdesignwithinsubjects,taketrainingwithschematicrepresentationasindependentvariable,(traininghastwolevels:
beforetrainingandaftertraining),andtaketheresultsofmathematicalproblem-solvingandtheuseofschematicrepresentationasdependentvariable.IworkoutasetofexaminationquestionstotestthepupilsinClass1,Grade6,JiangDuFairyTownZhengYiPrimarySchool.Thisclasshave15boysand19girls.Themainstudyconclusionfindthatmathematicaltrainingwiththeuseofschematicrepresentationcangreatlyimprovetheresultsofmathematicalproblem-solvingandconsciousnessofusingschematicrepresentation.Anotherinterestingfindingsareasfollowed:
1.regardlessofwhetherpupilscancorrectlysolvetheproblemsornot,thenumberofpupilsusingschematicrepresentationtosolveproblemswithdifferentdifficultylevelsislessandunevenbeforetraining;
2.regardlessofwhetherpupilscancorrectlysolvetheproblemsornot,thenumberofpupilsusingschematicrepresentationtosolveproblemswithlowerandmediumdifficultylevelsislargerandthenumberislesswhentheysolvetoodifficultproblemsaftertraining.Thereforethedifficultyoftheproblemsdoesn’taffectpupils’choicesofusingschematicrepresentationwhentheysolveproblemsbeforetraining,butaffectaftertraining.
Keywords:
primaryschoolpupils,schematicrepresentation,training,theresultsofmathematicalproblem-solving,consciousnessofusingschematicrepresentation
前言
1.问题的提出
问题表征(problemrepresentation)是正确解决问题的关键环节,对问题的表征是否恰当,直接影响到问题解决的难易、速度和成功。
Novick和Hurley(1999)发现,问题的适当表征与问题解决的成功之间存在正相关。
一个适宜的问题表征一般应该满足三个条件:
①表征与问题的真实结构相对应;
②表征中的各个问题成分被适当的结合在一起;
③表征结合了问题解决者的其它知识。
问题表征分为内部表征和外部表征。
外部表征有图画、示意图、方程等。
而画图表征是解决数学问题的重要表征,因此本研究探讨6年级小学生数学解题画图表征的训练对成绩的影响。
画图表征的操作性定义:
以画线段图、草图、平面图等方式表现问题中的数量关系。
画图表征的意义:
化繁为简、化抽象为具体,有助于成功解题。
1.1已有相关研究综述
中西方学者对数学问题表征进行了大量研究,并对数学问题表征的类型做了许多不同的划分。
尽管他们对数学问题表征类型的划分各有不同,但是画图表征与数学解题却又是他们某些研究的共同点,并且得出了不少具有重要价值的研究成果。
Moses(1980),Suwarsono(援引于Lean和Clements,1981),和Presmeg(1986a,1986b,1992)认为,视觉形象表征的广泛运用并不一定能提高解题成绩,有时甚至可能会阻碍问题的成功解决。
Lean与Clements(1981)的研究也发现,数学视觉形象和空间能力以及数学能力之间有负相关的关系。
而Hegarty与Kozhevnikov(1999)认为,学生在数学问题解决中存在两种不同的视觉-空间表征类型:
图解的表征(schematicrepresentation)和图片的表征(pictorialrepresentaion)。
他们还发现,图解的空间表征的使用与数学问题解决呈正相关;
图片表征的使用与数学问题解决有着显著的负相关。
赵丹(2006)的研究发现,画图表征策略与解题成绩呈显著正相关。
张庆林等(1997)研究发现,学生表征应用题的方式主要包括:
复述内容、结构表征(即画图)、寻找关键信息。
他们认为,凡是在事后提问中回答“使用画线段图”、“画图”、“在心理画图”等方法的都归为结构表征方式。
该研究发现,优、中、差三类学生在三种表征方式的使用上具有显著差异,差生更多地使用复述内容表征。
结构表征(即画图)最有利于元认知监视和正确解题,是最佳的表征方式。
不过,小学六年级学生使用结构表征(即画图)策略的人数依然偏少,而采用复述策略的人数偏高。
Krutetskii(1976),TomLowrie等(2001)研究发现,问题难度影响学生对问题表征方式的选择:
当学生解决难题或新颖的问题时,通常采用视觉化的方式进行表征;
当解决相对容易的问题时,通常采用非视觉化的方式,并且无论是否正确解决了问题都有这种倾向。
我的研究假设也与此发现类似。
董妍、路海东、俞国良(2004)研究发现复述内容、图片表征、图式表征、直译表征、语义结构分析是小学生在解应用题的时候经常采用的5种表征方式。
成功解题者和不成功解题者对各种表征方式的使用次数上没有显著差异,但在各种表征方式下的解题成绩有差异,具体体现在成功解题者在图式表征、直译表征和语义结构分析表征下的成绩显著优于不成功的解题者。
第1章研究假设及目的
第1.1节研究假设
假设一:
使用画图表征解题的训练能够显著提高小学生使用画图表征的意识和数学成绩。
假设二:
使用画图表征解题的训练对小学生画图表征的意识以及数学成绩的提高均不存在显著的性别差异。
假设三:
使用画图表征解题的训练在提高数学成绩方面,中等生与优生、差生有显著性差异,优生与差生没有显著性差异。
假设四:
使用画图表征解题的训练在提高画图表征方面,优生与中等生没有显著性差异,差生与优生、中等生有显著性差异。
假设五:
问题难度影响小学生解题时对画图表征的选择,即无论是否正确解决了问题,当小学生解决难题时,通常采用画图表征的方式;
当解决相对容易的问题时,通常不采用画图表征的方式。
第1.2节研究目的或意义
1.了解6年级小学生使用画图表征的现状;
2.探索自己感兴趣的有关小学生数学解题画图表征与解题成绩的问题;
3.验证前人的某些研究结论是否正确;
4.适应小学数学新课改后的要求,为新课改中新增加的解决问题的策略这一章节提供更多的实践和理论依据;
5.为优、中、差三类学生的解题策略的训练提供一些建议。
第2章研究方法
第2.1节实验设计
本研究采用单因素被试内实验设计,自变量为画图表征的解题训练,因变量为数学解题成绩和画图表征方法。
六
(2)班只做附录Ⅰ预测试题。
六
(1)班做附录Ⅱ前测试题、附录Ⅲ训练试题以及附录Ⅳ后测试题。
第2.2节实验对象(即被试)
选取江都市仙女镇正谊小学六年级两个平行班:
六
(1)班和六
(2)班。
六
(2)班为预试班,男生15人,女生17人。
六
(1)班为正式施测班并进行了教学实验,男生15人,女生19人。
第2.3节实验材料
自编小学应用题附录Ⅰ预测试题、附录Ⅱ前测试题、附录Ⅲ训练试题以及附录Ⅳ后测试题。
自编依据:
①刘电芝老师《小学数学学习策略(高级版)》中的图解策略以及《小学数学应用题解题11法》中的图解法【9】【10】;
②东北师范大学路海东副教授编制的数学应用题解题问卷(见其学生赵丹(2006)硕士学位论文附录Ⅲ)
【11】;
③东北师范大学程明喜(2006)硕士学位论文中使用的采用画图法解决的数学题目【12】;
④张奇等编写的《问题解决心理学》中一些用画图法来解决的题目【13】。
预测试题(附录Ⅰ)发放35份,收回32份,男生15人,女生17人;
前测试题(附录Ⅱ)发放36份,收回34份,男生15人,女生19人;
训练试题(附录Ⅲ)由本班数学老师帮助对学生进行训练;
后测试题(附录Ⅳ)发放36份,收回34份,男生15人,女生19人。
第2.4节实验步骤
①先让六
(2)班学生按要求独立完成附录Ⅰ预测试题,题目(除26,28题)均在教学大纲内,在试题纸上写下解题的全过程,包括辅助方法、思考分析、草稿、解答部分。
②根据预测试结果,按照题目的难度,选择难度系数在0.3~0.9(即答对率在70%~10%)的题目,并将这些题目分成两份等值的、有梯度的试题,作为附录Ⅱ前测试题与附录Ⅳ后测试题。
附录Ⅰ预测试题各题的难度见表2-1。
表2-1附录Ⅰ预测试题各题的难度
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
未通过人数(人)
0
14
13
11
难度
0.0
0.4
0.3
0.2
0.1
12
15
16
17
18
19
20
26
0.5
0.8
21
22
23
24
25
27
28
29
0.6
0.7
0.9
根据预测试结果,先将题号按照难度由低到高排列出来,然后从难度为0.3的题目开始,将题目一题放入前测试题,一题放入后测试题,依次类推,组成附录Ⅱ前测试题和附录Ⅳ后测试题。
最终前测试题由第5,15,2,4,13,19,27,14,21,26这十题组成;
后测试题由第8,17,3,25,18,23,24,16,22,28这十题组成。
③将预测试题中除去后测试题以及难度为0的第1题后余下的试题按难度由低到高排列组成附录Ⅲ训练试题。
④让正式施测班六
(1)班的学生按要求独立完成前测试题。
⑤依据附录Ⅲ训练试题,借助该班数学老师的帮助,对正式施测班六
(1)班的全体学生进行为期一周的训练,训练其使用画图表征的方法来解决数学题目,每天3~4题。
⑥训练后,间隔一周,再让六
(1)班学生按要求独立完成后测试题。
第2.5节数据处理
2.5.1、记分标准
前测试题以及后测试题分别由十道题目组成。
在数学成绩方面,每道题目,完全答错或未答记0分,小部分答对记1分,一半答对记2分,大部分答对记3分,完全答对记4分,总分为40分,计算数学成绩。
使用画图表征的方法解题,则该题在画图表征方面记1分,未使用画图表征的方法,则该题在画图表征方面记0分,总分为10分,计算每个学生在一份试题中使用画图表征的得分。
2.5.2、数据处理辅助工具
采用统计软件SPSS17.0和Excel2003对获得的数据进行统计分析。
第3章结果及分析
1.使用画图表征解题的训练对小学生使用画图表征的意识以及数学成绩的影响的分析
运用SPSS17.0,采用相关样本T检验,对前后测成绩以及前后测画图表征进行检验,得出结果如表3-1和表3-2:
表3-1训练前后数学成绩配对样本T检验
成对差分
t
df
Sig.(双侧)
均值
标准差
均值的标准误
差分的95%置信区间
N
下限
上限
前测数学成绩
20
34
11.322
-4.941
4.037
.692
-6.350
-3.533
-7.136
33
.000
后测数学成绩
25
10.830
由表3-1可知:
数学成绩的方差差异不是很大,说明数学成绩的离散程度变化不明显。
t=-7.136,P=0.000<0.05,说明前后测学生数学成绩有显著差异,又因为前后测数学成绩的均值之差为-4.941,所以后测数学成绩显著高于前测数学成绩。
亦即使用画图表征解题的训练显著提高了小学生的数学成绩。
符合假设一。
表3-2训练前后画图表征配对样本T检验
前测画图表征得分
1.59
2.204
-2.794
2.434
.417
-3.644
-1.945
-6.693
后测画图表征得分
4.38
3.095
由表3-2可知:
画图表征的方差差异较大,说明画图表征离散程度变化明显。
t=-6.693,P=0.000<0.05,说明前后测学生画图表征得分有显著差异,又因为前后测画图表征得分的均值之差为-2.794,所以后测画图表征得分显著高于前测画图表征得分。
亦即一份试题中,学生使用画图表征解答的题目数有了显著的提高,也就是说,使用画图表征解题的训练显著提高了小学生画图表征的意识。
2.使用画图表征解题的训练对小学生画图表征的意识以及数学成绩的提高是否存在性别差异的分析
运用SPSS17.0,采用独立样本T检验,对男女生画图表征解题训练的效果进行检验,得出结果如表3-3和表3-4:
表3-3男女生数学成绩独立样本T检验
方差方程的Levene检验
均值方程的t检验
F
Sig.
均值差值
标准误差值
后测成绩与前测成绩的差值
假设方差相等
4.289
.047
-1.038
32
.307
-1.446
1.393
-4.283
1.391
假设方差不相等
-1.113
28.125
.275
1.299
-4.105
1.214
由表3-3可知:
F=4.289,P=0.047<0.05,拒绝方差相等的假设,因此,t=-1.113,P=0.275>0.05,说明男女生在数学成绩方面训练效果无显著差异,即使用画图表征解题的训练对小学生数学成绩的提高不存在显著的性别差异。
符合假设二。
表3-4男女生画图表征独立样本T检验
后测画图表征与前测画图表征的差值
.164
.688
-3.412
.002
-2.495
.731
-3.984
-1.005
-3.419
30.411
.730
由表3-4可知:
F=0.164,P=0.688>0.05,不拒绝方差相等的假设,因此,t=-3.412,P=0.002<0.05,说明男女生在画图表征的意识方面训练效果有显著差异,即使用画图表征解题的训练对小学生画图表征的意识的提高存在显著的性别差异。
不符合假设二。
又因为男女画图表征提高程度的均值之差为-2.495,所以使用画图表征解题的训练对女生画图表征的意识的提高显著高于对男生的提高。
3.使用画图表征解题的训练在提高数学成绩方面,优、中、差生是否有差异
根据前测成绩将前后27%的人数分别分为优和差,其余的为中等,采用方差分析,对优、中、差生数学成绩方面训练效果进行分析,得出结果如表3-5和表3-6:
表3-5训练后数学成绩提高程度的方差齐性检验
Levene统计量
df1
df2
显著性
.562
2
31
.576
从表3-5中可知:
P=0.576>0.05,因此可以认为优、中、差生方差无显著差异,即方差相等,可以进行方差分析。
因此采用方差相等下的多重比较见表3-6:
表3-6训练后数学成绩提高程度的多重比较
(I)学生优差等级
(J)学生优差等级
均值差(I-J)
标准误
95%置信区间
LSD
优
中
-1.090
1.724
.532
-4.61
2.43
差
-.778
1.951
.693
-4.76
3.20
1.090
-2.43
4.61
.313
.857
-3.20
3.83
由表3-6中可知:
P值均远大于0.05,所以,使用画图表征解题的训练在提高数学成绩方面,优、中、差生两两之间均没有显著性差异。
不符合假设三。
4.使用画图表征解题的训练在提高画图表征方面,优、中、差生是否有差异
根据前测成绩将前后27%的人数分别分为优和差,其余的为中等,采用方差分析,对优、中、差生画图表征方面训练效果进行分析,得出结果如表3-7和表3-8:
表3-7训练后画图表征提高程度的方差齐性检验
.337
.716
从表3-7中可知:
P=0.716>0.05,因此可以认为优、中、差生方差无显著差异,即方差相等,可以进行方差分析。
因此采用方差相等下的多重比较见表3-8:
表3-8训练后画图表征提高程度的多重比较
均值差
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