方差分析教材ok.doc
- 文档编号:1992001
- 上传时间:2022-10-25
- 格式:DOC
- 页数:5
- 大小:242.50KB
方差分析教材ok.doc
《方差分析教材ok.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《方差分析教材ok.doc(5页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
圣博
方差分析
一、单因子方差分析:
三个工厂生产同一种零件,为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异,现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度,数据如表所示,试问三个工厂的零件强度是否相同?
工厂
零件强度
甲
103
101
98
110
乙
113
107
108
116
丙
82
92
84
86
首先我们来熟悉一下概念:
1)因子:
对指标有影响的因素称为因子,因子通常用大写字母A、B、C等表示。
在上例中,工厂别是因子。
2)水平:
在试验中因子所处的状态称为因子水平,(即因子的属性有多少个即称多少水平)用因子的字母加标来表示,譬如因子A的水平用A1、A2、A3……来表示。
上例有三个工厂分别为:
甲、乙、丙,我们分别用A1、A2、A3来表示。
3)试验条件:
在一次试验中每一个因子总取一个特定的水平,若干个因子各取一个特定的水平的组合,称其为一个试验条件。
上例中只有一个水平,所以,一个水平便是一个试验条件。
4)指标:
衡量试验条件好坏的量称为指标,用y来表示,它是一个随机变量。
在例中零件强度就是试验指标。
工厂
零件强度yij(i为不同水平:
厂,j为同一水平内数排列)
(同水平)和
均值
甲A1
103y11
101y12
98y13
110y14
412T1
1031
乙A2
113y21
107y22
108y23
116y24
444T2
1112
丙A3
82y31
92y32
84y33
86y34
344T3
863
总平均值
=100
1、平方和分解:
1)总的偏差平方和用ST(otal)来表示:
为总平均值
ST=即所有的值同总平均值差的平方和。
总数据为n个(n=r×m),故自由度fT=n-1
2、组间偏差平方和,也称为因子A的偏差平方和,用SA来表示:
SA==m[(103-100)2+(111-100)2+(86-100)2],自由度fA=r-1
3、组内偏差平方和即随机偏差:
Se(ST=SA+Se,所以只需计算两个即可。
)
Se=每组内数同组内平均值的平方和,然后三组的平方和相加。
自由度fe=r(m-1)
4、因子或误差的均方和:
MSA=SA/fA,MSe=Se/fe
5、F比与拒绝域:
F=MSA/Se/fe,当H0成立时,统计量F的分布为自由度是fA、fe的分布。
当F>F1-α(fA,fe)时,认为因子A是显著的,即诸均值不全相等;当F≤F1-α(fA,fe)时,认为因子A不显著。
上述例子得出的结果:
当α=0.05时,F=31.21,F0.95(2,9)=4.26,由于F>4.26,所以在α=0.05水平上我们的结论是因子厂家是显著的。
结论:
因为因子A显著,这就表明不同的工厂生产的零件强度有明显的差异。
·备注:
如果每个水平下的试验次数不同时,即mi不同时,步骤仍然相同,只是在计算中有两个改动:
n=;SA=其他一样。
二、双因子方差分析:
如果在一个试验中需要同时考察两个因子A与B,并设因子A有r个水平,因子B有s个水平,这时共有n=rs个不同的试验条件,也就是说有n总体。
为了减少某种钢材淬火后的弯曲变形,对四种不同的材质(B1~B4)分别进行五种不同的淬火温度(800~880记为A1~A5)进行试验,测得淬火后样品的眼神率数据如下:
AiBj
B1
B2
B3
B4
行和Ti
平均
A1:
800
4.4y11
5.2y12
4.3y13
4.9y14
18.8
4.700
A2:
820
5.3y21
5.0y22
5.1y23
4.7y24
20.1
5.025
A3:
840
5.8y31
5.5y32
4.8y33
4.9y34
20.0
5.250
A4:
860
6.6y41
6.9y42
6.6y43
7.3y44
27.4
6.850
A5:
880
8.4y51
8.3y52
8.5y53
7.9y54
33.1
8.275
列和T.j
30.5T.1
30.9T.2
29.3T.3
29.7T.4
总和T:
120.4
平均
6.10
6.18
5.86
5.94
:
6.020
这里r=4,s=5,n=rs=20
现在做这样的假设:
每一个总体的分布是正态分布,其均值为,它与因子A及B的水平有关,方差相同,数据相互间是独立的。
·无交互作用·有正向交互作用·有反向交互作用
A1A2A1A2A1A2
B1
B2
B1
B2
B1
B2
1、·交互作用:
·无交互作用:
无论B因子取何种水平,因子A两个水平时所得到的指标均值关系都是一样。
即可称A、B因子间无交互作用。
·正向交互作用:
A因子的两个水平总是总是呈现相同的趋势,但是在另一个因子B的影响下,趋向更大。
·反向交互作用:
如上图
2、无交互作用时的两因子方差分析:
ST=SA+SB+Se,fT=fA+fB+fe;
ST=,fT=rs-1;
SA=,fA=r-1;
SB=,fB=s-1;
Se=,fe=fT-fA-fB
利用上述例子得到如下数据表格:
来源
偏差平方和
自由度
均方和
F比
因子A
36.397SA
4fA
9.0992MSA
66.76
因子B
0.320
3
0.1067
0.78
误差e
13635
12
0.1363
总计T
38.352
19
查表得:
在α=0.05,从F分布表中查得F0.95(4,12)=3.26,F0.95(3,12)=3.49。
结论:
·由于求得的FA=66.76>3.26,所以,在α=0.05水平上,因子A对延伸率有显著影响;
·由于求得的FB=0.78<3.49,所以,在α=0.05水平上,因子B对延伸率没有显著影响。
·因为因子B不显著,这表明不同材质的延伸率间没有明显的差异,因为因子A是显著的,这表明淬火温度对延伸率的均值有显著影响。
一看即可清楚不同淬火温度下的指标值才是关键因子。
3、有交互作用时的两因子方差分析:
当需要考察两因子A与B的交互作用时,重复试验是不可缺少的。
在各种因子搭配下,每次都要重复进行m次试验,(这里分析的是重复数一样,即m一样。
)
压板工序盒厚同压合的温度合压力有关,现对其进行试验,并取得结果如图:
B温度
B压力
B1·60
B2·70
B3·80
行和T.j
平均
A1:
2.0
4.64.3
y111y112…y11m
T11=8.9=4.6+4.3
6.16.5
y121y122…y12m
T12=12.6
6.86.4
y131y132…y13m
T13=13.2
T.1:
34.7
8.9+12.6+
13.2
1..=5.78
A2:
2.5
6.36.7
Y211y212:
r=2
T21=13.0
3.43.8
Y221y222:
T22=7.2
4.03.8
Y231y232:
T23=7.8
T.2:
28.0
2..=5.025
A3:
3.0
4.74.3
y311y312:
r=3
T31=9.0
3.93.5
y311y312:
T32=7.4
6.57.0
y311y312:
T33=13.5
T.3:
29.9
3..=5.250
列和Ti.
T1.=30.9(8.9+13+9)
T2.=27.7
T3.=34.5
总和:
92.6
平均.i.
5.15.1.
4.53.2.
5.75.3.
:
6.020
·其中i表示不同的因子A的水平,即不同行中的i不同,第一行中i=1,第二行中i=2,一直到r。
即压力因子A有r个水平。
·其中j表示不同因子B的水平,即不同列中的j不同,第一列中j=1,第二列中j=2,一直到s。
即温度因子B有s个水平。
·其中k表示不同的因子搭配中的重复试验结果,1表示第一个试验结果,2表示第二个试验结果,直到m,即每个搭配都试验了m次。
类似前面一样进行平方和分解:
·总偏差的平方和可以分解为四项:
ST=SA+SB+SA×B+Se,fT=fA+fB+fA×B+fe其中SA、SB、SA×B、Se分别为因子A、因子B、交互作用A×B及误差的偏差平方和,fA+fB+fA×B+fe分别为它们的自由度,它们的表达式合计算公式如下:
-ST==-,fT=n-1=rsm-1
每个值同差值平方和
-SA==-,fA=r-1,
每行中的平均值5.78、5.025、5.250和总平均值6.02之间差的平方和。
-SB==-,fB=s-1,
即每列的平均值5.15、4.53、5.75同总平均值6.02之间差的平方和。
-SA×B==-
fA×B=fA×fB=(r-1)(s-1)
ij.的平均值即是每个因子搭配中的重复数据的平均值比如11.=(4.6+4.3)/2
(总体为每个搭配中的重复数据的平均值加上总平均值,减去同列平均值,再减同行平均值)的平方和。
-Se==ST-SA-SB-SA×B
fe=fT-fA+fB+fA×B=rs(m-1)
-n=rsm。
方差分析表
来源
偏差平方和
自由度
均方和=偏差平方和/自由度
F比
因子A
SA
fA=r-1
MSA=SA/fA
FA=MSA/MSe
因子B
SB
fB=s-1
MSB=SB/fB
FB=MSB/MSe
交互作用A×B
SA×B
fA×B=(r-1)(s-1)
MSA×B=SA×B/fA×B
FA×B=MSA×B/MSe
误差e
Se
fe=rs(m-1)
MSe=Se/fe
总计T
ST
fT=rsm-1
分别得到FA=29.85;FB=26.71;FA×B=71.10。
并分别查的F0.95(2,9)=4.26;F0.95(4,9)=3.63。
我们可以从F比计算值同F分布表上查询到的数据对比,如果F比大,则表示有显著性含义,即此因子为重要因子。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 方差分析 教材 ok