中考数学复习解直角三角形 专项练习题含答案解析.docx
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中考数学复习解直角三角形专项练习题含答案解析
2020年中考数学复习:
解直角三角形专项练习题
1.(2019资阳中考第22题11分)如图,南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼.一段时间后,渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处.
(1)求渔船B航行的距离;
(2)此时,在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船,其中B渔船在点D的南偏西60°方向,A渔船在点D的西南方向,我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域.请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离.(注:
结果保留根号)
2.(2019宜宾第21题8分)如图,为了测得某建筑物的高度AB,在C处用高为1米的测角仪CF,测得该建筑物顶端A的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)
3.(2019眉山第22题8分)如图,在岷江的右岸边有一高楼AB,左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF,点C与点B在同一水平面上,CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度,在坡底C处测得楼顶A的仰角为450,然后沿坡面CF上行了20米到达点D处,此时在D处测得楼顶A的仰角为300,求楼AB的高度.
4.(2019遂宁中考第21题9分)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高30cm,斜坡AB的坡度i=1:
1;加固后,坝顶宽度增加2米,斜坡EF的坡度i=1:
,问工程完工后,共需土石多少立方米?
(计算土石方时忽略阶梯,结果保留根号)
5.在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中,八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动.具体内容如下:
在一段笔直的公路上选取两点A、B,在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C,在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向,且距离为100米,又测得点B位于C点的南偏东60°方向.已知该路段为乡村公路,限速为60千米/时,兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒,请你帮助他们算一算,这辆小车是否超速?
(参考数据:
≈1.41,≈1.73,计算结果保留两位小数)
6.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点间的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前行走100米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米,求A、B两点的距离.
7.为了保证人们上下楼的安全,楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的范围是260mm~300mm含(300mm),高度的范围是120mm~150mm(含150mm).如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图,测量结果如下:
AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,各踏步互相平行,AB=CD,AC=900mm,∠ACD=65°,试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.(结果精确到1mm,参考数据:
sin65°≈0.906,cos65°≈0.423),
8.某挖掘机的底座高米,动臂米,米,与的固定夹角∠=140°.初始位置如图 1,斗杆顶点 与铲斗顶点 所在直线 垂直地面于点,测得∠=70°(示意图 2).工作时如图 3,动臂 会绕点 转动,当点 ,,在同一直线时,斗杆顶点 升至最高点(示意图 4).
(1)求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角∠ 的度数.
(2)问斗杆顶点 的最高点比初始位置高了多少米(精确到 0.1米)?
(考数据:
,,,,)
参考答案
1.(2019资阳中考第22题11分)如图,南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼.一段时间后,渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处.
(1)求渔船B航行的距离;
(2)此时,在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船,其中B渔船在点D的南偏西60°方向,A渔船在点D的西南方向,我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域.请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离.(注:
结果保留根号)
【解析】
(1)由题意得,∠CAB=30°,∠ACB=90°,BC=20,
∴AB=2BC=40海里,答:
渔船B航行的距离是40海里;
(2)过B作BE⊥AE于E,过D作DH⊥AE于H,延长CB交DH于G,
则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形,∴BE=GH=AC=20,AE=BC=20,
设BG=EH=x,∴AH=x+20,由题意得,∠BDG=60°,∠ADH=45°,
∴x,DH=AH,∴20+x=x+20,解得:
x=20,
∴BG=20,AH=20+20,∴BD==40,AD=AH=20+20,
答:
中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里,到外国渔船A的距离是(20+20)海里.
2.(2019宜宾第21题8分)如图,为了测得某建筑物的高度AB,在C处用高为1米的测角仪CF,测得该建筑物顶端A的仰角为45°,再向建筑物方向前进40米,又测得该建筑物顶端A的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)
【解析】设AM=x米,
在Rt△AFM中,∠AFM=45°,
∴FM=AM=x,
在Rt△AEM中,tan∠AEM=,
则EM==x,
由题意得,FM﹣EM=EF,即x﹣x=40,
解得,x=60+20,
∴AB=AM+MB=61+20,
答:
该建筑物的高度AB为(61+20)米.
3.(2019眉山第22题8分)如图,在岷江的右岸边有一高楼AB,左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF,点C与点B在同一水平面上,CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度,在坡底C处测得楼顶A的仰角为450,然后沿坡面CF上行了20米到达点D处,此时在D处测得楼顶A的仰角为300,求楼AB的高度.
【解析】在Rt△DEC中,∵i=DE∶EC=1∶2,且DE2+EC2=DC2,
∴DE2+(2DE)2=(20)2,解得:
DE=20m,EC=40m,………………2分
过点D作DG⊥AB于点G,过点C作CH⊥DG于点H,………………………………………3分
则四边形DEBG、DECH、BCHG都是矩形
∵∠ACB=450,AB⊥BC,∴AB=BC,……………………………………………………4分
设AB=BC=xm,则AG=(x-20)m,DG=(x+40)m,
在Rt△ADG中,∵=tan∠ADG,
∴=,解得:
x=50+30.……………………………………………………7分
答:
楼AB的高度为(50+30)米……………………………………………………8分
4.(2019遂宁中考第21题9分)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高30cm,斜坡AB的坡度i=1:
1;加固后,坝顶宽度增加2米,斜坡EF的坡度i=1:
,问工程完工后,共需土石多少立方米?
(计算土石方时忽略阶梯,结果保留根号)
【解答】解:
过A作AH⊥BC于H,过E作EH⊥BC于G,
则四边形EGHA是矩形,
∴EG=AH,GH=AE=2,∵AB=30×30=900cm=9米,
∵斜坡AB的坡度i=1:
1,∴AH=BH=,∴BG=BH﹣HG=,
∵斜坡EF的坡度i=1:
,∴FG=,∴BF=FG﹣BG=﹣,
∴S梯形ABFE=(2+﹣)×=,
∴共需土石为×200=50(81﹣81+36)立方米.
5.在某校组织的“交通安全宣传教育月”活动中,八年级数学兴趣小组的同学进行了如下的课外实践活动.具体内容如下:
在一段笔直的公路上选取两点A、B,在公路另一侧的开阔地带选取一观测点C,在C处测得点A位于C点的南偏西45°方向,且距离为100米,又测得点B位于C点的南偏东60°方向.已知该路段为乡村公路,限速为60千米/时,兴趣小组在观察中测得一辆小轿车经过该路段用时13秒,请你帮助他们算一算,这辆小车是否超速?
(参考数据:
≈1.41,≈1.73,计算结果保留两位小数)
【解析】如图,作CD⊥AB于点D.
∵在Rt△ADC中,∠ACD=45°,AC=100,
∴CD=AC·cos∠ACD=AC=100,
∴AD=CD=100.
∵在Rt△CDB中,∠BCD=60°,
∴∠CBD=30°,
∴BD=CD=100.
∴AB=AD+BD=100+100=100(+1)≈273.
又∵小轿车经过AB路段用时13秒,
∴小轿车的速度为=21米/秒.
而该路段限速为60千米/时≈16.67米/秒,
∵21>16.67,
∴这辆小轿车超速了.
6.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点间的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前行走100米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米,求A、B两点的距离.
【解析】作AM⊥EF于点M,作BN⊥EF于点N,如图所示,
由题意可得,AM=BN=60米,CD=100米,∠ACF=45°,∠BDF=60°,
∴CM===60米,
DN===20米,
∴AB=CD+DN-CM=100+20-60=(40+20)米,
即A、B两点间的距离是(40+20)米.
7.为了保证人们上下楼的安全,楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的范围是260mm~300mm含(300mm),高度的范围是120mm~150mm(含150mm).如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图,测量结果如下:
AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,各踏步互相平行,AB=CD,AC=900mm,∠ACD=65°,试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.(结果精确到1mm,参考数据:
sin65°≈0.906,cos65°≈0.423),
【解析】连接BD,作DM⊥AB于点M,
∵AB=CD,AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴∠C=∠ABD,AC=BD,
∵∠C=65°,AC=900,
∴∠ABD=65°,BD=900,
∴BM=BD·cos65°≈900×0.423≈381,
DM=BD·sin65°≈900×0.906≈815,
∵381÷3=127,120<127<150,
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定,
∵815÷3≈272,260<272<300,
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定,
由上可得,该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定.
8.某挖掘机的底座高米,动臂米,米,与的固定夹角∠=140°.初始位置如图 1,斗杆顶点 与铲斗顶点 所在直线 垂直地面于点,测得∠=70°(示意图 2).工作时如图 3,动臂 会绕点 转动,当点 ,,在同一直线时,斗杆顶点 升至最高点(示意图 4).
(1)求挖掘机在初始位置时动臂与的夹角∠ 的度数.
(2)问斗杆顶点 的最高点比初始位置高了多少米(精确到 0.1米)?
(考数据:
,,,,)
8.
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