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2、集合的运算
集合的基本运算有并、交、差。
AB={x/xA或xb}
AB={x/xA且xB} A\\B={x/xA且xB}
若集合I为全集或基本集,称I/A为A的余集或补集,记作AC集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。
3、区间和邻域
开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间,此外还有无限区间。
以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U。
点a的邻域记作U(a,),点a称为这邻域的中心,称为这邻
域的半径。
点a的去心邻域记作UO(a,)。
二、映射1、映射概念
映射定义:
设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每
个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:
XY设f是从集合X到Y上的映射,若Rf=Y,则称f为X到Y上的映射或满射;
若对X中任意两个不同元素的像不相等,则称f为X到Y上的单射;
若映
射f既是单射又是满射,则称f为一一映射或双射。
2、逆映射与复合映射
只有单射才存在逆映射
若g:
XY1,f:
Y2Z,则这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fg即fg:
XZ。
三、函数1、函数概念
设数集DR,则称映射f:
DR为定义在D上的函数,通常简记为 y=f(x),xD
其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即Df=D 构成函数的要素是定义域和对应法则。
函数的定义域通常按以下两种情形来确定:
一种是对有实际背景的函
数,另一种是对抽象地用算式表达的函数。
表示函数的主要方法有三种:
表格法、图形法、解析法。
2、函数的几种特性函数的有界性函数的单调性
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数函数的周期性
对于函数f(x)的定义域为D,若存在正数l,使得 f(x+l)=f(x) 恒成立,则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期。
L一般指最小正周期。
函数的奇偶性
设函数f的定义域关于原点对称。
若对于任一xD,f(-x)=f(x)恒成立,则称f(x)为偶函数;
若对于任一xD,f(-x)=-f(x)恒成立,则称f(x)为奇函数。
偶函数的图形关于y轴是对称的。
奇函数的图形关于原点是对称的。
3、反函数与复合函数
对于函数f来说,y=f1(x)为其反函数,f(x)称为直接函数。
直接函
数与反函数的图形关于直线y=x是对称的。
设函数y=f(u)的定义域为Df,函数u=g(x)的定义域为Dg,且其值域
RgDf,则下式确定的函数
Y=f【g(x)】,xD
称为函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,变量u极为中间变
量。
4、函数的运算5、初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统
称为基本初等函数。
有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合
步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。
第二节数列的极限
一、二、
数列极限的定义收敛数列的性质
定理一如果数列{xn}收敛,那么它的极限唯一。
定理二如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界。
定理三如果数列{xn}存在极限且极限大于零,那么存在正整数N0,当nN时,都有xn0
定理四如果数列{xn}收敛于a,那么它的
任一子数列也收敛,且极限也是a
第三节函数的极限
一、函数极限的定义
1、自变量趋于有限值时函数的极限2、自变量趋于无穷大时函数的极限
二、函数极限的性质
定理一如果函数存在极限,那么这极限唯一。
定理二如果函数的极限为a,那么存在常数M0和
0,使得当0xx0时,有f(x)M。
定理三定理四
第四节无穷小与无穷大
一、无穷小的定义二、无穷大的定义
三、若函数f(x)为无穷大,则
1为无穷小;
f(x)1为无穷大。
f(x)若函数f(x)为无穷小,则
第五节极限运算法则
定理1有限个无穷小的和也是无穷小定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论1常数与无穷小的乘积是无穷小推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小定理3关于无穷小的乘除运算
定理4两个存在极限的数列之间的乘除运算符合一般乘除运算定理5复合函数的极限运算法则
第六节极限存在准则两个重要极限
一、夹逼准则 limx0sinx1x limcosx1
x0二、准则II单调有界数列必有极限
limx1
(1)xe
x三、柯西极限存在准则
第七节无穷小的比较
一、高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小二、定理一、定理二
第八节函数的连续性与间断点
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性
第十节闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理三、一致连续性
第二章导数与微分
第一节导数概念
一、导数的定义
单侧导数:
左导数和右导数统称为单侧导数二、导数的几何意义
三、函数可导性与连续性的关系
如果函数y=f(x)在点x处可导,则函数在该点必连续;
另一方面,一个函数在某点连续却不一定在该点可导。
第二节函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式
1、常数和基本初等函数的导数公式2、函数的和、差、积、商的求导法则3、反函数的求导法则4、复合函数的求导法则
第三节高阶导数
一般的,阶导数的导数叫做n阶导数
第四节隐函数及参数方程所确定的函数的导数相关变化率
一、隐函数的导数
可以用函数十字表达的函数叫做显函数二、参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率
第五节函数的微分
一、微分的定义二、微分的几何意义
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
1、基本初等函数的微分公式
2、函数的和、差、积、商的微分法则3、复合函数的微分法则四、微分在近似计算中的应用
1、函数的近似计算2、误差估计
第三章微分中值定理与导数的应用
第一节微分中值定理
一、罗尔定理
二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理
第二节洛必达法则
第三节泰勒公式
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点
第五节函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题
第六节函数图形的描绘
第七节曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线
第八节方程的近似解
一、二分法二、切线法
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