等腰三角形典型例题练习含含答案Word文件下载.docx
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,CD是AB边上的高,∠A=30°
.求证:
AB=4BD.
9.如图,△ABC
中,AB=AC
,点
D、E分别在
AB、AC
的延伸线上,且
BD=CE,DE
与
BC
订交于点
F.求证:
DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角均分线交AC于D,过C作CE与BD垂直且交BD延伸线
于E,
求证:
BD=2CE.
11.(2012?
牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程以下:
如图①,连结AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴S△ABP=AB?
PE,S△ACP=AC?
PF,S△ABC=AB?
CH.
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,
∴AB?
PE+AC?
PF=AB?
∵AB=AC,∴PE+PF=CH.
(1)如图②,P为BC延伸线上的点时,其余条件不变,PE、PF、CH又有如何的数目关系?
请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:
若∠A=30°
,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则
AB边上的高CH=_________.点P到AB边的距离PE=_________.
12.数学课上,李老师出示了以下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延伸线上,且ED=EC,如图,试确立线段AE
关系,并说明原因”.
小敏与同桌小聪议论后,进行了以下解答:
(1)特别状况,探究结论
当点E为AB的中点时,如图1,确立线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE_________
“<”或“=”).
(2)特例启迪,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AE_________DB(填“>”,“<”或“=”).原因以下:
如图
EF∥BC,交AC于点F.(请你达成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
与DB的大小
DB(填“>”,
2,过点E作
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD
的长(请你直接写出结果).
13.已知:
如图,AF均分∠BAC,BC⊥AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连结PB交AF于点M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数目关系,并说明原因.
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE订交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系?
试证明你的结论.
(2)求∠BFD的度数.
15.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°
,F为AB延伸线上一点,点E在BC上,BE=BF,连结AE、EF
和CF,
AE=CF.
16.已知:
如图,在△OAB中,∠AOB=90°
,OA=OB,在△EOF中,∠EOF=90°
,OE=OF,连结AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系?
请说明原因.
17.(2006?
郴州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上随意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为
E,F,CG是AB边上的高.
(1)DE,DF,CG的长之间存在着如何的等量关系?
并加以证明;
(2)若D在底边的延伸线上,
(1)中的结论还建立吗?
若不建立,又存在如何的关系?
18.如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有随意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上
的高),即PD+PE=CF,若
P点在BC的延伸线上,那么请你猜想
PD、PE和CF之间存在如何的等式关系?
写出你
的猜想并加以证明.
参照答案与试题分析
,AD
均分∠BAC
交BC
于
D,若
BC=5cm,BD=3cm,则点
D到
AB
的距离为(
)
A.5cm
B.3cm
C.2cm
D.不能确立
考点:
剖析:
解答:
角均分线的性质.
由已知条件进行思虑,联合利用角均分线的性质可得点
的长,问题可解.
∵∠C=90°
,AD均分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2应选C.
的距离等于
AC
的距离即
CD
①AE=BD②CN=CM③MN∥AB此中正确结论的个数是()
平行线分线段成比率;
全等三角形的判断与性质;
等边三角形的性质.
由△ACD和△BCE是等边三角形,依据
SAS易证得△ACE≌△DCB,即可得①正确;
由
△ACE≌△DCB,可得∠EAC=∠NDC,又由∠ACD=∠MCN=60°
,利用ASA,可证得
△ACM≌△DCN,即可得②正确;
又可证得△CMN是等边三角形,即可证得③正确.
∵△ACD和△BCE是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=60°
,AC=DC,EC=BC,
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB,即∠ACE=∠DCB,∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,故①正确;
∴∠EAC=∠NDC,∵∠ACD=∠BCE=60°
,∴∠DCE=60°
,∴∠ACD=∠MCN=60°
,
∵AC=DC,∴△ACM≌△DCN(ASA),∴CM=CN,故②正确;
又∠MCN=180°
﹣∠MCA﹣∠NCB=180°
﹣60°
=60°
∴△CMN是等边三角形,∴∠NMC=∠ACD=60°
,∴MN∥AB,故③正确.应选D.
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF
的面积与△ABC的面积之比等于
1:
3
.
相像三角形的判断与性质;
第一依据题意求得:
∠DFE=∠FED=∠EDF=60°
,即可证得△DEF是正三角形,又由直角三角形中,
30°
所对的直角边是斜边的一半,获得边的关系,即可求得
DF:
AB=1:
,又由相像三角形的面
积比等于相像比的平方,即可求得结果.
∵△ABC是正三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°
∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°
,∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°
∴△DEF是正三角形,∴BD:
DF=1:
①,BD:
3②,△DEF∽△ABC,
①÷
②,=
,∴DF:
,∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1:
3.
故答案为:
1:
角均分线的定义.
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,依据角均分线性质求出
理和平角定义求出∠AED=∠CFD,依据全等三角形的判断AAS
证明:
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,
DN=DM,依据四边形的内角和定推出△EMD≌△FND即可.
即∠EMD=∠FND=90°
∵AD均分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN(角均分线性质),∠DME=∠DNF=90°
,∵∠EAF+∠EDF=180°
,∴∠MED+∠AFD=360°
﹣180°
=180°
∵∠AFD+∠NFD=180°
,∴∠MED=∠NFD,
在△EMD和△FND中
,∴△EMD≌△FND,∴DE=DF.
等腰三角形的判断与性质;
平行线的性质.
依据OB和OC分别均分∠ABC和∠ACB,和DE∥BC,利用两直线平行,内错角相等和等量代换,
求证出DB=DO,OE=EC.而后即可得出答案.
解:
∵在△ABC中,OB和OC分别均分∠ABC和∠ACB,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,
∵DE∥BC,∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO,
∴DB=DO,OE=EC,∵DE=DO+OE,∴DE=BD+EC.
等腰三角形的判断;
全等三角形的判断与性质.
用(HL)证明△EBD≌△FCD,进而得出∠EBD=∠FCD,即可证明△ABC是等腰三角形.
△ABC是等腰三角形.
连结AD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°
,且DE=DF,
∵D是△ABC的BC边上的中点,∴BD=DC,
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),∴∠EBD=∠FCD,∴△ABC是等腰三角形.
(1)∠E等于多少度?
(2)△DBE是什么三角形?
等边三角形的性质;
等腰三角形的判断.
(1)由题意可推出∠ACB=60°
,∠E=∠CDE,而后依据三角形外角的性质可知:
∠ACB=∠E+∠CDE,
即可推出∠E的度数;
(2)依据等边三角形的性质可知,
BD不只为AC边上的高,也是∠
ABC的角均分线,即得:
∠DBC=30°
,而后再联合
(1)中求得的结论,即可推出
△DBE是等腰三角形.
(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°
∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴
(2)∵△ABC是等边三角形,BD⊥AC,∴∠ABC=60°
,∴
∵∠E=30°
,∴∠DBC=∠E,∴△DBE是等腰三角形.
含30度角的直角三角形.
由△ABC中,∠ACB=90°
,∠A=30°
能够推出AB=2BC,同理可得
∵∠ACB=90°
,∴AB=2BC,∠B=60°
又∵CD⊥AB,∴∠DCB=30°
,∴BC=2BD.∴AB=2BC=4BD.
BC=2BD
,则结论即可证明.
等腰三角形的性质.
过D点作DG∥AE交BC于G点,由平行线的性质得∠1=∠2,∠4=∠3,再依据等腰三角形的性
质可得∠B=∠2,则∠B=∠1,于是有DB=DG,依据全等三角形的判断易得△DFG≌△EFC,即可
获得结论.
过D点作DG∥AE交于G点,如图,
∴∠1=∠2,∠4=∠3,
∵AB=AC,∴∠B=∠2,∴∠B=∠1,∴DB=DG,而BD=CE,∴DG=CE,
在△DFG和△EFC中
,∴△DFG≌△EFC,∴DF=EF.
延伸CE,BA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全≌△BEC,因此FE=EC,即CF=2CE,再通
过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD,因此BD=2CE.
如图,分别延伸CE,BA交于一点F.
∵BE⊥EC,∴∠FEB=∠CEB=90°
,∵BE均分∠ABC,∴∠FBE=∠CBE,又∵BE=BE,∴△BFE≌△BCE(ASA).∴FE=CE.∴CF=2CE.
∵AB=AC,∠BAC=90°
,∠ABD+∠ADB=90°
,∠ADB=∠EDC,∴∠ABD+∠EDC=90°
.又∵∠DEC=90°
,∠EDC+∠ECD=90°
,∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.
∴△ADB≌△AFC.∴FC=DB,∴BD=2EC.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=AB?
PE,S△ACP=AC?
PF,S△ABC=AB?
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,∴AB?
CH.
∵AB=AC,∴PE+PF=CH.
(1)如图②,P为
延伸线上的点时,其余条件不变,
PE、PF、CH
又有如何的数目关系?
请写出你的猜想,
并加以证明:
,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=7.点P到AB边的距离PE=4或10.
等腰三角形的性质;
三角形的面积.
(1)连结AP.先依据三角形的面积公式分别表示出
S△ABP,S△ACP,S△ABC,再由
S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH;
(2)先依据直角三角形的性质得出
AC=2CH,再由△ABC的面积为49,求出CH=7,因为CH>PF,
则可分两种状况进行议论:
①P为底边BC上一点,运用结论PE+PF=CH;
②P为BC延伸线上的
点时,运用结论PE=PF+CH.
(1)如图②,PE=PF+CH.证明以下:
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=AB?
CH,∵S△ABP=S△ACP+S△ABC,∴AB?
PE=AC?
PF+AB?
CH,又∵AB=AC,∴PE=PF+CH;
(2)∵在△ACH中,∠A=30°
,∴AC=2CH.
∵S△ABC=AB?
CH,AB=AC,∴×
2CH?
CH=49,∴CH=7.
分两种状况:
①P为底边BC上一点,如图①.
∵PE+PF=CH,∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4;
②P为BC延伸线上的点时,如图②.
∵PE=PF+CH,∴PE=3+7=10.故答案为
7;
4或10.
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延伸线上,且ED=EC,如图,试确立线段AE与DB的大小关系,并说明原因”.
当点E为AB的中点时,如图1,确立线段
或“=”).
AE
AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
=DB(填“>”,“<”或“=”).原因以下:
=DB(填“>”,“<”
2,过点E作EF∥BC,
交AC于点F.(请你达成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题
等边三角形的判断与性质;
三角形的外角性质;
(1)依据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠
D=∠ECB=30°
,求出∠DEB=30°
,求出BD=BE
即可;
(2)过E作EF∥BC交AC于F,求出等边三角形
AEF,证△DEB和△ECF全等,求出BD=EF即
可;
(3)当D在CB的延伸线上,E在AB的延伸线式时,由(
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