基于内点法的最优潮流计算Word格式.docx
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1>
1
g(Qj=&
其中扰动因子或者障碍因子u>
0。
当I或u接近辿界时,以上函数将趣于无穷大,因此满足以上障碍目标函数的极小解不可能在边界上找到。
这样就通il目标函数的变化把含不等贰限制的优化间题A变成只含等式限制优化的间题B了,因此可以直接用拉恪即日乘子法来求解。
优化间题B的EI8010目标函数为:
L=f(x)-yTh{x)-zr[g(x)-l-g]-wT[g(x)+u-g]-w^log(/r)-w^log(wr)
一>
->
>
-i
式中:
y,z和叩均为应格朗日乘子。
因此最后简化的求解间题就是求®
±
ii表这式的极小解。
2、路径跟踪袪的最优潮罚求解思路
路径跟踪法的最优潮流求解il程就是湘应恪朋日目标函数求极小值间题:
L=/(X)-yTh(x)一zT[gM-l-g\-wrlgM+u-g]-适log(/J一适log(“J
—>
aL-axaL_ayaL_azaLaraL_a/aL_aw一一一一一一一一一一=厶厶&
厶W厶4
武中:
y,z和w均为拉怡即日乘子。
该同題极小值存在的必要条件是卫搐01日函数对所有变量及乘子的偏导数为0。
U:
=h(x)=0
=vi/(x)-Vi/?
(x)y-V^(x)(z+w)=O
=g(x)_/_§
=0
T
Zu
_
J*
H
=e(x)+u-2=0
通过上述表达武可以解岀:
定义:
Gap=Tz-urw,称为互补间晾o可借:
如果x是优化间題A的最优解,当u同定时,x(u)是优化问趣B的解,那么当GapoO,iiMo时,产生的序JiJ{x(u)}收敛至x'
。
5!
iO用:
P*学。
式中ae(0,l)f$为中心参数,一般取0.1,在大多数
2r
场合可获得较好的收敛效果。
通过偏导数为0的表达式可以可得点法的修正方程为:
求解方程可得到第k次迭代的修正量,
干是最优解的一个新的近Itt解为:
I
u'
z
0■
・&
〕
-U'
U;
-V:
g(x)
△/
L-
Avr
-ur:
▽:
Aw
乂
H'
Vv/z(x)
Ax
厶
Vrv/?
(x)
_Ay_
—L“
(2-4)
兀(“D
=严+6心
严十1)
=+aQ
=w°
4-afAu
=ytk)+a^y
(A*!
)
=z,ki+adAz.
=vv,x,+©
・Aw
(2-5)
式中,你和①为步长:
0.9995min{min(—,A/<
0;
—<
0),1}
A/△“
It
af=0.9995min{min(,Azf<
0;
—,Ah;
0),1}(2-6)Az.Aw.
其潮流廿算的流程图如下图1所示,其中初始化部分
⑴、设置松弛变量I和U,保证[I,u]T>
⑵、设置也怡即日乘子w、y、z,满足[w<
0,z>
0,Y!
=0]T
(3)、设置优ItIn)S的那值。
(4)、取中心参S<
76(0,1),给定廿算ffiK,选代次数初fiK=0o
图1.点asjsit算运棺图
3、具体算例及程序实现浦程
这部分主要有算例描iiHfi程序的实现流程两部分,其中算例描述主要是对系貌参UUK优化间题进行说明。
而程序的实现流程主要描述的是最优潮流廿算中所涉及的矩阵方程的描述。
3/1、算例描述
该算例为王甥凡编写的《现代电力系统分林》中的3-1的例题,是以系统燃料最省为最优潮流的目标函数。
选择该题目作为算例分林的原因是,该题目有比较详细的解题思路以员列写岀了比较详细的迭代结果,方便对编写程序的运行结果进行比对。
求如下图所示简化系貌的系貌燃料最省的最优潮流it算:
1.6+j0.8
除了由上图所提(ft的系统母线负荷功率UftL线路参数和变压器之路参数数据、变压器便比数据之外,以下噸序给出了线路传输助率边界(表3-1),发电机有功无助出力上下界和燃料耗费曲线参数(表3-2)0若不作特姝说明,所有数据都是以标幺值形式给岀,功率基准值为10OMVA,母线电压上下界分别为门和0.9o
表3-1线路传輸助率ill界
支路号
首未端骨线号
线路传输功率ill界
1-2
2
1-3
0.65
3
2-3
4
2-4
6
5
3-5
表3-2发电机数据
发电
机序
号
出力上界
出力下界
燃料耗费曲线参数
有劝
无功
无助
二次系数
一次系数
常数
8
-3
50.4395
200.4355
1200.64
-2.1
200.55
500.745
1857.20
3.2、程序具体实现过程
针对上述系筑,首先我们先列写岀该算侧的数学模塑和有关廿算公式。
在该
算例中,共有5个节点,相应的状态量为:
丘=电mq匕a%q匕aKi
系统中有2台发电机,没有其他无功源,因此腔制变量为:
狂"
%Q“)
应该指出,此处发电机和无功源的编号与及i矣单编号无关,是独立编号的。
这是因为系筑中一个节点可能接有多台发电机的缘故。
因此系统中总变量共有14个:
*{心aPsQgqXaKq匕qK氏W
最优潮流的数学模型为:
目标函数:
min.(冬几人2+终耳+弘)+(a22PG2A2+al2PG2+am)
约東条件:
毎个节点有两个淋流方程,共有10个等式约東条件,対非发电机而言:
△£
=一仏一匕£
岭(Gycosq+B.sinq)=0
"
:
(i=1.2,3)
△Q=-QDl+X工岭(G“sinq-坊cosq)=0
y-i
对发电机节虑:
△E=工仏一匕一Xf岭(qcosq+Bt,sinq)=0
keiy-1
5(i=4,5)
△Q=》Qa_Q.+匕工岭(qsinq厂坨cosq)=0
kei;
-!
kei表示第k台发电机接在节点it。
不等式约東共有14个条件,分别是:
(心1,2)
(山1,2)
(心1,・・・,5)
(对所有5条支路)
根抵以上模塑可以形戒修正方程。
该方程包括形成等式左边的系数拒阵和等式右边的常数以阿部分。
1、形成系数矩阵
1)、等式约束的雅克比葩阵
「dh
Vv/?
(x)=
dx
等式右端包播3f子葩阵:
oh
%沁P\
沁Q、
亦
沁P,oA&
砥忑丄w
其中:
代I
〔0d
dAPs
沁Q「
「沁R
6辺
dh_
◎
•••
d\P}
cQ(;
:
dQG2
0Q』
aeJ)
2x10
沁p、
叫0
其中:
dSP八
1(/ej)
0(宀)
—=0
型I
i为发电机的序号;
j为节点号;
(S表示第i台发电机是在节点jJt
的。
6△片
沁P\
eq
6、P\
■
6△/
•
••
6△乙
明
6△出
[劳
10x10
(潮流廿算巾的雅克比葩阵)
2)、不等式约束的雅克比葩阵
oP(;
処;
呱
空
*(兀)=
匕、3、*和幻依次表示电源有功出力的上下界约束,无功电淵岀
力的上下界约東,节点电压呱值的上下界约東和线路潮流约東。
=I…
=°
y
繭.
2x2,
2X29
=0
亦2
zz1
他
2x29
=0IOk2,
宛2
-=0心2
2x5,
叫,計
-0姒-()
冲臥2X5
2x5
式中:
第2•/If/列元素为1,
3)、对角矩阵
'
...0
0'
其他元素均为0。
…说
现44
…州
叽
...理
阻
%
…现44
匸'
z=diagG//r...,z14/Zl4)
U^lW=diagg/叫,•…耳4/wj
4k海森(BJBK
H1=一▽了⑴+^h(x)y+刃g⑴(z+W)一yg⑴[DZ—fTW叱g(x)
逹是最复杂的部分,共包含四顶。
有上述推导已经可以得到其中的第呱顶为:
yg(x)0Z-fTW]£
其余三顶是:
目标函数的海森伯葩阵▽丁(Q、等武约東海森伯葩阵与也格即日乘子y的乘枳V:
/2(x)y和不等式约東海森阳矩阵与也格即日乘子z+w的乘枳▽:
g(x)(z+w)。
2、形成常数顶
Ly,L:
L‘,味©
沟可根据定义貞接求得。
厶可以表示为:
4=VJ(x)-V^(x)y-V^(x)(z+iv)4-V^(x)[r\^+ZLI)+t/-,(^-WLJ]
当知道目标函数梯度矢量
Map<
^ce5r一a\
之后,再根据以上等式和不等式约束的雅克比葩阵公式就可以求得:
4、运行结果及分桥
4.1运行结果
以下对该算例的寻优il程用数字加以说明,设4、5节自发电UI沟能有算法调节其岀力。
在初始化过程中各变量初值根据实际问题自行设置的,我们给出所用变量的处置#07:
节点电压丫十=00=1,2,3,4);
平炳节自Y=1.05,0=0;
发电机出力有功取其21界值;
松弛因子/=lur=l,当收敛条件£
=10"
时,需要迭代进行23次(例題所给出的迭代次数为17次)。
表4・1迭代过椁中各节点电压脂量的变化悄况
迭代次数
*
△V,
-0.342655
-0.167831
-0.26638
-0.229198
-0.26803566
0.533424
0.8116598
0.121828
0.7537347
-0.02621233
2.9475874
1.7281676
3.325311
1.4377643
3.001650322
0.9044296
-0.227402
2.314238
-0.410468
2.406142062
0.0317565
0.2589346
-0.18991
0.2779252
-0.23101102
-0.301923
-0.117806
-0.31384
-0.085802
-0.29148216
7
-0.396482
-0.116134
-0.52191
-0.068149
-0.51779841
0.50336
-0.045965
1.092422
-0.134319
1.128697751
9
0.2101792
-0.05228
0.570784
-0.095105
0.605124969
10
-0.150019
-0.039233
-0.13409
-0.021024
-0.11435018
11
-0.141952
-0.039185
-0.135
-0.02272
-0.1228649
12
0.3587259
0.0029517
0.638045
-0.050525
0.663350104
13
0.0328824
-0.007168
0.0966
-0.013986
0.101132708
14
0.0452686
-0.007506
0.127766
-0.014789
0.142054592
15
-0.037015
-0.005358
-0.01655
1.24E-05
-0.00740759
16
-0.030654
-0.005288
-0.01235
-0.001191
-0.00566326
17
-0.012631
-0.003095
-0.00473
-0.004306
-0.00333363
18
0.0016418
-0.00223
0.002955
-0.004447
-0.00095998
19
0.0017166
-0.002398
0.001914
-0.004628
-0.00253085
20
0.0005951
-0.000847
0.000732
-0.000783
-0.0008939
21
0.000136
-0.000195
0.000187
0.0001657
-0.0002038
22
4.42E-08
-7.14E-08
&
44E-06
1.71E-05
-6.67E-08
23
-9.43E-09
7.65E-09
1.38E-07
2.40E-08
1.58E-08
表4-2迭代过程中各节点相角增量的变化情况
选代次数
△a
10.166113
10.671005
9.959333
10.765508
9.987441809
0.2317866
-0.056322
0.443469
-0.159786
0.487075194
0.3617911
-0.808557
0.725769
-0.806886
0.251629571
0.1506635
0.1694727
0.083258
0.2051569
-0.01587529
-28.46696
-28.48845
-28.5226
-28.58592
-28.3776798
32.479474
35.220757
29.1472
35.154861
29.06743415
-0.470667
-0.412112
-0.30025
-0.363094
-0.18119718
-0.467826
-0.345623
-0.3624
-0.07659
-0.6869756
-0.086311
0.0376297
-0.27117
0.0365628
-0.42343914
6054.9484
-6300.974
6058.914
3059.0885
-121.104325
-0.158896
0.0202972
-0.13752
0.0226728
-0.13021014
-131.1933
-133.1411
-129.232
-131.1213
-131.21147
0.409651
0.4154433
0.463427
0.4182827
0.489259247
0.0008763
-0.001778
-0.11121
0.0019211
-0.10130429
0.0291783
0.03296
-0.04828
6.43E-02
-0.03148972
0.1716757
0.1009002
0.006839
-0.062816
0.022575108
-0.214753
-0.185676
-0.18778
-0.118917
-0.17647442
-6.68934
-6.67987
-6.6504
-6.62907
-6.6387642
-0.06977
-0.045184
-0.00065
-0.011004
-0.08874676
-0.00417
-0.006299
-0.00209
-0.00978
-0.0002933
0.973E-06
0.966E-06
0.97E-06
0.9718E-06
0.9797E-06
-1.42E-08
-1.43E-08
-1.41E-08
1.01E-09
1.1E-08
1.01E-09
表4-3迭代过样中有功源有功、无功谏无功增量的变化情况
有助源有功岀力増量
无功源无劝岀力增量
△匕
6.3621244
0.9378756
0.486592
2.0426169
1.1461572
0.7519606
3.407153
-3.181495
0.2643491
-0.817387
-11.7288
-1.321261
-0.263123
-0.113899
-15.2923
8.537302
0.9906992
0.2427705
3.702688
-1.677168
1.0718102
0.3074704
3.156515
0.5391201
0.5593984
0.7245499
4.392399
-0.961407
-0.217688
0.3751495
-6.52471
4.5299664
0.3661814
0.078903
-3.01366
3.0701114
0.6301053
0.0189525
1.619294
0.7513961
0.1407198
0.4162916
1.47339
0.4541527
0.2992523
-0.178165
-3.81381
3.4308557
-0.261633
0.3695489
-0.45866
0.6443822
0.3030544
-0.11
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